1、第6讲 函数的单调性【学习目标】了解函数单调性的概念及几何意义，掌握基本初等函数的单调性，会求(判断或证明)函数的单调区间，并能运用函数单调性解决有关问题【基础检测】1下列说法正确的是()A定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1x2，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2(a，b)，使得当x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1I2上也一定为增函数D若f(x)在区间I上为增函数，且f(x1)f(x2)(x1
2、，x2I)，那么x1x2D【解析】A、B都丢掉了“任意”的x1，x2，故错对于C，可举反例：y，故选D.2下列函数中，在区间(0,1上是增函数的是()Ay|x|By3xCyDyx24A【解析】作出简图，从图象中可直观得出答案A.C4设函数yf(x)在R上有定义，对于给定的函数k，定义函数fk(x)，若函数f(x)，则函数的单调递减区间为1，)5设f(x)，g(x)都是单调函数，有如下四个命题：若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)g(x)单调递增；若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)g(x)单调递增；若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)g(x)单调递减；若f(
3、x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)g(x)单调递减其中正确的命题序号是.【知识要点】1单调函数的概念(1)增函数：如果对于定义域D内某个给定区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(2)减函数：如果对于定义域D内某个给定区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有，那么就说f(x)在这个区间上是减函数f(x1)f(x2)(3)单调性：如果函数yf(x)在某个区间上是，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做yf(x)的，具有单调性的函数叫单调函数2判断函数单调性的常用方法(1)定义法(2)性质法：两
4、个增(减)函数的和仍为增(减)函数，一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数增函数或减函数单调区间(3)转换法：奇函数图象关于原点对称的区间上的单调性；偶函数图象关于y轴对称的区间上的单调性(4)复合法：复合函数单调性，若yf(x)和ug(x)在相应区间上增减性相同，则yfg(x)在这个区间上为；若yf(u)和ug(x)在相应区间上增减性相反，则yfg(x)在这个区间上是(5)导数法：若yf(x)的导数为yf(x)，则f(x)0时，函数；f(x)0时，函数不变相反增函数减函数递增递减【点评】(1)证明函数的单调性，一般从定义入手，也可以应用导数理论(2)判断函数的单调性或者求函数的
5、单调区间常用方法有：定义法；导数法；图象法；复合函数法；化归基本初等函数法【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力三、函数单调性的综合应用例3已知函数f(x)x3bx2cx的导函数的图象关于直线x2对称(1)求b的值；(2)若f(x)在xt处取得极小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域因此，当且仅当c12时，函数f(x)在xx2处存在唯一极小值，所以tx22.于是g(t)的定义域为(2，)由f(t)3t212tc0得c3t212t.于是g(t)f(t)t36t2ct2t36t2，t(2，)当t2时，g(t)6t212t6t(2
6、t)0，所以函数g(t)在区间(2，)内是减函数，故g(t)的值域为(，8)【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的定义域、值域等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力备选题例4设函数f(x)xekx(k0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围1在研究函数的单调性时，常需要先将函数解析式化简变形，等价转化为讨论一些熟知函数的单调性问题，因此，掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程，同时应充分注意函数的等价性2函数单调性的证明方法：定义证明法导数证明法3判断函数的单调性的
7、方法：(1)观察法；(2)图象法；(3)定义法；(4)复合函数法；(5)导数法注意：确定单调性一定是相对于某个区间而言，并且一定要在定义域内4运用奇偶函数的性质及其与单调性的关系是进行单调区间转换的一种有效手段奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)f(x)f(|x|)5已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程，解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不等式，同时要注意定义域的这一隐性的限制条件【命题立意】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性，及解决含参问题，考查分类讨论的思想，考查学生运算能力，综合分析问题能力和问题的化归转化能力，难度
8、较大B2下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)exDf(x)ln(x1)A【解析】依题意可得函数应在x(0，)上单调递减，故选A.3已知函数f(x)，若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是()A(2,3 B2,3C(0,3 D0,3A【解析】由已知得：解得：2，u(x)2x1在(，)上单调递增ylog5u(x)也是递增的应填(，)5设f(x)，则不等式f(x)2的解集为.(，1)2，)【解析】当x2时，f(x)22ex12x1，x1.当x2时，log3(x21)20 x2191x 或x1，2xf(a)，则实
9、数a的取值范围是.(1,0)(1，)7已知函数f(x)x，函数g(x)f(x)sinx是区间1,1上的减函数(1)求的最大值；(2)若g(x)t2t1在x1,1上恒成立，求t的取值范围【解析】(1)f(x)x，g(x)xsinx，g(x)在1,1上单调递减，g(x)cosx0，cosx在x1,1上恒成立1，故max1.(2)由已知得g(x)maxg(1)sin1，只需sin10(其中1)恒成立令h()(t1)t2sin11(1)，则而t2tsin10恒成立t(，1)为所求8已知函数f(x)(a1)lnxax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a1.如果对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|，求a的取值范围
