1、8.2 双 曲 线考 点考 纲 解 读1双曲线的定义了解双曲线的定义,并能简单地应用.2双曲线的标准方程了解双曲线的标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程.3双曲线的简单几何性质了解双曲线的简单几何性质,知道双曲线的有关性质,并能应用双曲线的简单几何性质解决有关问题,了解双曲线的一些实际应用.从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如2011年高考江西卷理科第20题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思
2、想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力.1.双曲线的定义平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线,这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点F1,F2间的距离叫做双曲线的焦距.(1)定义的数学表达式为:|PF1|-|PF2|=2a(2a|F1F2|).(2)在双曲线的定义中,若2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当|F1F2|0,b0),其中c2=a2+b2,焦点坐标为(c,0);(2)焦点在y轴上的双曲线标准方程-=1(a0,b0),其中c2=a2+b2,焦点坐标为(0,c).确定一个双曲线的标准方程,必
3、须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个条件(即确定a,b的大小),主要有定义法、待定系数法,有时还可根据条件用代入法.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤是:第一,作判断:根据条件判断双曲线焦点在x轴上还是在y轴上,还是不确定在哪个坐标轴上.第二,设方程:根据上述判断,设为-=1(a0,b0)或-=1(a0,b0),或者mx2-ny2=1(mn0).第三,找关系:根据已知条件建立a,b,c或m,n的方程组.第四,得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求双曲线的标准方程.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)图形范围|x|a,yRxR,|y|a3.双曲线
4、的简单几何性质对称性关于x轴、y轴、原点对称顶点顶点(a,0)顶点(0,a)焦点(c,0)(0,c)轴实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c离心率e=(1,+)a,b,c的关系式c2=a2+b2 一般而言:双曲线有两条对称轴,它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.双曲线都有两个顶点,顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.离心率反映双曲线开口的程度,当离心率越大,双曲线的开口越大.与双曲线-=1(a0,b0)共渐近线的双曲线方程都可以表示为-=(0),且其渐近线方程为-=0;如果双曲线的渐近线为y=x,则双曲线方程可设为-=(0)或(bx)2-(ay)2=(0).4.直线与双曲线的位置关系设双曲线方程-=1(a0,b0),直线Ax+By+C=0,将直线方程与双曲线方程联立,消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0,(1)若m0,当0时,直线与双曲线有两个交点;当=0时,直线与双曲线只有一个公共点;当0,则焦点在x轴上,若求得0,则焦点在y轴上.5.双曲线相关问题,如中点弦、弦长、与直线的位置关系等,要牢牢抓住方程组思想、消元法、根与系数之间的关系、弦长公式等方法.
