1、11.5 数系的扩充与负数的引入考 点考 纲 解 读1复数的概念和几何意义理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义.2复数的四则运算会进行复数代数形式的四则运算.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的几何意义,一般是填空题,难度不大,预计今后的高考还会保持这个趋势.2.了解数系的扩充过程,对于复数概念与运算,注意避免烦琐的计算与技巧的训练.复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法.1.虚数单位i(1)它的平方等于-1,即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成
2、立.2.复数的有关概念及其分类(1)形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中a、b分别叫做复数a+bi的实部、虚部,复数常用字母z表示.全体复数组成的集合叫做复数集,一般用字母C表示.复数a+bi(a,bR),当且仅当b=0时,它是实数;当b0时,它是虚数;当a=0且b0时,它是纯虚数.(2)复数的分类复数集、实数集、虚数集之间的包含关系的框架形式:复数a+bi(a,bR)复数集、实数集、虚数集之间的包含关系的韦恩图形式:3.复数相等两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等,即a+bi=c+di特别地,a+bi=0(a,b,c,dR)4.复数的几何意义(1)复平面:建立了直角坐标系来
3、表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴.根据实轴、虚轴的规定,可以发现:a+bi(a,bR)为实数对应点Z在x轴上;a+bi(a,bR)为纯虚数对应点Z在去掉原点外的y轴上.(2)点Z(a,b)、向量=(a,b)是复数z=a+bi(a,bR)的另外两种表示形式,它们都是复数z的几何表示.这三者之间构成了一一对应的关系:(3)复数z=a+bi(a,bR)在复平面内对应的点Z(a,b)到原点的距离|OZ|为复数的模值,即|OZ|=|z|=.5.复数的基本运算(1)复数代数形式的四则运算法则,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR):z1+z2=(a+bi)+
4、(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;1.(2011年广东中山模拟)设a是实数,且+是实数,则a等于()(A).(B)1.(C).(D)2.【解析】先化简,得+=+=+i.又因为它是实数,所以1-a=0,即a=1.故选B.【答案】B1.解关于复数基本概念型试题,一定要首先将复数转化为基本的代数形式,通过代数形式,结合试题的设问进行求解.2.解关于复数运算的试题,要注意常规的运算方法与技巧,比如:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i可以直接产生结论,而不要先利用多项式乘以多项式,然后再进行同类项合并.再比如:(a+ai)2=2a2i、-1=i2等的灵活运用.3.解关于模、复数与向量、复数与点的对应关系问题时,可以借助于图形,有时要将复数加、减的几何意义等一起进行运用.
