1、初中数学学科初中数学动点问题大全动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等，下面就此问题的常见题型作简单介绍。题型一动点形成的面积问题1面积公式：三角形面积用12Sah来表示，利用未知数的代数式来表示底和高。2面积比等于相似比的平方：面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。3相似三角形：当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三角形的比例关系求解。角度 1：利用公式法解决动点面积问题例题 1
2、：在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线2yxbxc 经过点3 0A（，）和2 3B（，）过点 A 的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C，且1tan3CAO（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接 AB、BC，求ABC的正切值；（3）若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当ABCADCSS时，求点 D 的坐标初中数学学科变式 1：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 的坐标为(,3)a（其中4a），射线 O与反比例函数12yx的图像交于点 P，点 B、C 分别在函数12yx的图像上，且/ABx 轴，/ACy 轴（1）当点 P 横坐标为 6，求直线 AO 的表达式；（2）联结 BO，
3、当 ABBO时，求点 A 坐标；（3）联结 BP、CP，试猜想：ABPACPSS的值是否随 a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPSS的值；如果变化，请说明理由Oxy（备用图）Oxy解析：（1）反比例函数12yx的图像经过横坐标为 6 的点 P，点 P 的坐标为（6，2）设直线 AO 的表达式为 ykx（0k）将点 P（6，2）代入 ykx，解得13k 所求反比例函数的解析式为13yx（2）AB/x 轴，点 B 纵坐标为 3，将3y 代入12yx，得4x B 坐标为（4，3）AB=BO，224(40)(30)a 解得9a 点 A 坐标为（9，3）（3）不变延长 AB 交 y 轴于点 D，
4、延长 AC 交 x 轴于点 E，32ADOAEOSSa点 C 坐标为（a，12a）6CEOS，同理6BDOS，ADOBDOAEOCEOSSSS，即ABOACOSSABP 与ABO 同高，ABPABOSAPSAO同理ACPACOSAPSAO1ABPACPSS 即当 a 变化时，ABPACPSS的值不变，且恒为 1初中数学学科变式 2：如图，在直角坐标系中，一条抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于C 点，其中(3,0)B，(0,4)C，点 A 在 x 轴的负半轴上，4OCOA；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结 AC、BC，点 P 是 x 轴正半轴上一个动点，
5、过点 P 作/PMBC 交射线 AC 于点 M，联结CP，若 CPM的面积为 2，则请求出点 P 的坐标；解析：（1）设这条抛物线的解析式为2(0)yaxbxc a它的顶点坐标为16(1,)3（2）过点 P 作 PHAC，垂足为 H.P 点在 x 轴的正半轴上，设0P x（，）.A)0,1(，1PAx.在 Rt AOC中，222OAOCAC；又14OAOC，17AC 490sin117PHPHPHACAOAPx，4(1)17xPH/BPCMPMBCABAC；3 00BP x（，），（，）1点 P 在点 B 的左侧时，3BPx，3417xCM17(3)4xCM2PCMS 122 CM PH，17
6、(3)14(1)22417xx解得11 0 x.P（，）2点 P 在点 B 的右侧时，3BPx，3417xCM17(3)4xCM2PCMS 122 CM PH，17(3)14(1)22417xx初中数学学科解得11 2 2x ，21 2 2x （不合题意，舍去）P（1 2 2，0）.综上所述，P 的坐标为（1，0）或（1 2 2，0）角度 2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题 2：如图，已知在梯形 ABCD 中，/ADBC，5ABDC，4AD M、N 分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN点E、F 分别在线段AN、DN 上，且/MEDN，/MFAN，联结 EF（1）如图
7、 1，如果/EFBC，求 EF 的长；（2）如果四边形 MENF 的面积是 ADN的面积的 38，求 AM 的长；解析：（1）AD/BC，EF/BC，EF/AD又ME/DN，四边形 EFDM 是平行四边形EF=DM同理可证，EF=AMAM=DMAD=4，122EFAMAD（2）38ADNMENFSS 四边形，58AMEDMFADNSSS即得58AMEDMFADNADNSSSSME/DN，AMEAND22AMEADNSAMSAD同理可证，DMFDNA即得22DMFADNSDMSAD设 AM=x，则4DMADAMx22(4)516168xx即得2430 xx 解得1 1x，23x AM 的长为 1
8、 或 3ABCDMNEF（图 1）ABCDMNEF初中数学学科变式 3：已知直线 1l、2l，12/ll，点 A 是 1l 上的点，B、C 是 2l 上的点，ACBC，60ABC，4AB，O 是 AB 的中点，D 是 CB 延长线上的点，将DOC沿直线 CO翻折，点 D 与D 重合（1）如图 1，当点D 落在直线 1l 上时，求 DB 的长；（2）延长 DO 交 1l 于点 E，直线OD 分别交 1l、2l 于点 M、N如图 2，当点 E 在线段 AM 上时，设xAE，yDN，求 y 关于 x 的函数解析式及其定义域；若DON的面积为323时，求 AE 的长解析：初中数学学科变式 4：如图 1
9、，在梯形 ABCD中，/ADBC，对角线BCAC，4AD cm，45D，3BCcm（1）求Bcos的值；（2）点 E 为 BC 延长线上的动点，点 F 在线段 CD 上（点 F 与点 C 不重合），且满足ADEAFC，如图 2，设xBE，yDF，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点 E 为射线 BC 上的动点，点 F 在射线CD 上，仍然满足ADEAFC，当 AFD的面积为2cm2时，求 BE 的长初中数学学科解析：（1）/ADBC，ACBDAC.ACBC，90ACB.90DAC.45D，45ACD.ADAC.4AD，4AC.3BC，225ABACBC.3cos5BCB
10、AB.（2）/ADBC，ADFDCE.AFCFDAFAD ，ADEFDAEDC，又AFCADE，FADEDC.ADFDCE.ADDFDCCE.在 Rt ADC中，222ACADDC，又4 ACAD，24DC.xBE，3 xCE.yDF，3244 xy.22322 xy.定义域为113 x.（3）当点 E 在 BC 的延长线上，由（2）可得：ADFDCE，2)(DCADSSDCEADF.2AFDS，4AD，24DC，4DCES.ACCES DCE21，44)3(21 BE，5BE.当点 E 在线段 BC 上，同理可得：44)3(21BE.1BE.所以 BE 的长为5或1.角度 3：利用锐角三角比
11、法解决动点面积问题例题 3：已知在平面直角坐标系 xoy（如图）中，抛物线212yxbxc经过点(4,0)A、点(0,4)C，点 B 与点 A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结 AC、BC，求ACB的正弦值；（3）点 P 是这条抛物线上的一个动点，设点 P 的横坐标为(0)m m，过点 P 作 y 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，如果QPOBCO，求 m 的值；初中数学学科解析：变式 5：已知在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线2(0)yaxbxc a与 x 轴相交于(1,0),(3,0)AB两点，对称轴l 与 x 轴相交于点C，顶点为点 D，且ADC的
12、正切值为 12（1）求顶点 D 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结 AF，若FACADC，求 F 点的坐标初中数学学科解析：（1）抛物线与 x 轴相交于1,0A，3,0B两点，对称轴l：直线1x ，2AC 90ACD，1tan2ADC，4CD，0a，1,4D（2）设214ya x将1,0 xy 代入上式，得，1a 所以，这条抛物线的表达为223yxx（3）过点 F 作 FHx轴，垂足为点 H设2,23F x xx，FACADC，tantanFACADC，1tan2ADC，1tan2FHFACAH223FHxx，1AHx，223112xxx解得17
13、2x，21x （舍），7 9,2 4F 巩固 1：如图，在直角坐标系 xOy 中，抛物线caxaxy22与 x 轴的正半轴相交于点A、与 y 轴的正半轴相交于点 B，它的对称轴与 x 轴相交于点 C，且OBCOAB，3AC（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点 D 在此抛物线上，DFOA，垂足为 F，DF 与线段 AB 相交于点 G，且2:3:AFGADGSS，求点 D 的坐标初中数学学科解析：（1）抛物线caxaxy22的对称轴为直线12aax，OC=1，OA=OC+AC=4，点 A（4，0）OBC=OAB，tanOAB=tanOBC，OBOCOAOB，OBOB14，OB=2，点 B（0，2
14、），,8160,2caac.2,41ca此抛物线的表达式为221412xxy（2）由2:3:AFGADGSS得 DG：FG=3：2，DF：FG=5：2，设mOF，得mAF 4，221412mmDF，由 FG/OB，得OAAFOBFG，24mFG，2:524:)22141(2mmm，01272 mm，4,321mm（不符合题意，舍去），点 D 的坐标是（3，45）巩固 2：如图，已知 ABC与 BDE都是等边三角形，点 D 在边 AC 上（不与 A、C 重合），DE 与 AB 相交于点 F（1）求证：BCDDAF；（2）若1BC，设CDx，AFy；求 y 关于 x 的函数解析式及定义域；当 x
15、为何值时，79BEFBCDSS？（1）证明：ABC与 BDE都是等边三角形，60ACBDE ACBOyx初中数学学科ADFBDECDBC ，ADFDBC，BCDDAF（2）BCD DAF，BCCDADAF1BC，设 CDx，AFy，11xxy，2 01yxxx（3）解法一：ABC与 BDE都是等边三角形，60EC ，60EBDCBA ，EBFCBD EBFCBD，BEBFBCBD，BEBD，1BC，2BEBF EBFCBD，79BEFBCDSS，2279BEFBCDSBESBC，279BEBF，29AF 229xx，解得1221,33xx，当13x 或 23时，79BEFBCDSS解法二：AB
16、C 与 BDE都是等边三角形，60EC ，60EBDCBA ，EBFCBD EBFCBD，79BEFBCDSS，2279BEFBCDSBESBC1BC，BEBD，279BD 过点 B 作 BHAC于点 H，60C，32BH，16DH，12CH 当点 D 在线段 CH 上时，111263CDCHDH当点 D 在线段 CH 的延长线上时，112263CDCHDH综上所述，当13x 或 23时，79BEFBCDSS巩固 3：在矩形 ABCD 中，4AB，6AD，点 P 是射线 DA 上一动点，将三角板直角顶点重合于点 P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另一直角边交射线 BA 于点 E（1）判断
17、EAP与PDC一定相似吗？请证明你的结论；（2）设 PDx，AEy，求 y 与 x 的函数关系式，并写出它的定义域；初中数学学科（3）是否存在这样的点 P，是EAP周长等于 PDC周长的 2 倍？若存在，请求出 PD 的长度；若不存在，请简要说明理由解析：（1）EAP PDC当 P 在 AD边上时，如图（1）：矩形 ABCD，=90DA，1+2=90据题意=90CPE 3+2=90，1=3，EAP PDC当 P 在 AD 边上时，如图（2）：同理可得 EAP PDC（2）若点 P 在边 AD 上，据题意：PDx6PAx4DC AEy又 EAP PDC，AEPAPDDC，64yxx，226134
18、42x xyxx06x若点 P 在边 DA延长线上时，据题意 PDx，则6PAx，4DC，AEy，EAP PDC，AEPAPDDC，64yxx，2664xxyx（3）假如存在这样的点 P，使 EAP周长等于 PDC的 2 倍若点 P 在边 AD 上 EAP PDC:6:4EAPPDCCCx，6:42x，2x 不合题意舍去；若点 P 在边 DA延长线上，同理得6:42x，14x 综上所述：存在这样的点 P 满足题意，此时14PD 巩固 4：如图，已知抛物线2yaxbxc经过点(0,4)A，点(2,0)B，点(4,0)C（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点 M 在 y 轴上，O
19、MBOABACB ，求点 M 的坐标初中数学学科解析：（1）抛物线2yaxbxc经过点(0,4)A，点(2,0)B，点(4,0)C44201640cabcabc 解得方程组的解为1214abc 这个抛物线的解析式为：2142yxx顶点为9(1,)2（2）如图：取 OA 的中点，记为点 NOA=OC=4，AOC=90ACB=45点 N 是 OA 的中点ON=2 又OB=2OB=ON又BON=90ONB=45ACB=ONBOMB+OAB=ACBNBA+OAB=ONBOMB=NBA1当点 M 在点 N 的上方时，记为 M1BAN=M1AB，NBA=OM1B，ABNAM1B1ANABABAM又AN=2
20、，AB=25110AM 又A（0，4）1(0,6)M2当点 M 在点 N 的下方时，记为 M2，点 M1 与点 M2 关于 x 轴对称，2(0,6)M综上所述，点 M 的坐标为(0,6)或(0,6)题型二动点形成的相切问题1直线和圆相切：圆心到直线距离等于半径构造直角三角形，利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径，建立等量关系2圆和圆相切：两圆半径和等于圆心距初中数学学科利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段，建立等量关系角度 4：直线与圆相切问题例题 4：如图，在ABC中，10,12,ABACBC点 EF、分别在边 BCAC、上（点F 不与点 A、C 重合）/
21、EFAB 把ABC沿直线 EF 翻折，点 C 与点 D 重合，设 FCx（1）求B的余切值；（2）当点 D 在ABC的外部时，DEDF、分别交 AB 于 M、N，若 MNy，求 y 关于 x 的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以 E 为圆心、BE 长为半径的E与边 AC1没有公共点时，求 x 的取值范围2一个公共点时，求 x 的取值范围3两个公共点时，求 x 的取值范围AECBF初中数学学科初中数学学科ABDGCEF变式 6：已知：矩形 ABCD 中，过点 B 作 BGAC 交 AC 于点 E，分别交射线 AD 于 F点、交射线 CD 于 G 点，BC6（1）
22、当点 F 为 AD 中点时，求 AB 的长；（2）联结 AG，设AFGAB x Sy=,求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（3）是否存在 x 的值，使以 D 为圆心的圆与 BC、BG 都相切？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由解析：（1）点 F 为 AD 中点，且 AD=BC=6，AF=3矩形 ABCD 中，ABC=90，BGAC 于点 E，ABE+EBC=90，ACEBC=90ABE=ACB，ABFBCF，ABAFBCAB AB=23（2）由（1）可得ABFBCFABAFBCAB ABx，BC6AF=62x；同理可得：CG=x36当 F 点在线段 AD 上时
23、DG=CG-CD=xxxx23636SAFG=1236213xxCGAF。即)60(12363xxxy当 F 点在线段 AD 延长线上时，DG=CD-CG=xxxx36362 SAFG=1236213xxCGAF即)6(12363xxxy（3）过点 D 作 DHBG 于点 H以点 D 为圆心的圆与 BC、BG 都相切CD=DHDBF=CBD矩形 ABCD 中，ACB=CBD（RtBEC 中，ACB+CBD+DBF=90ACB=30RtABC 中，tanACB=BCAB tan30=6x 32x即当32x时，以点 D 为圆心的圆与 BC、BG 都相切】初中数学学科角度 5：圆与圆相切问题；例题
24、5：如图，已知 ABC中，56ABACBC，点O 是边 BC 上的动点，以点O 为圆 心，OB 为 半 径 作 圆 O，交 边 AB 于 点 D，过 点 D 作ODPB，交边 AC 于点 P，交圆O 于点 E 设OBx（1）当点 P 与点C 重合时，求 PD的长；（2）设 APEPy，求 y 关于 x 的函数解析式及定义域；（3）联结OP，当OPOD时，试判断以点 P 为圆心，PC 为半径圆 P 与圆O 位置关系解析：（1）ACAB，ACBB，BA2180；OBOD，ODBB，又BODP，BPDA2180；PDAA；5 ACPD（2）1 当 E 在线段 DP 上时，过点 A、O 作BCAH、D
25、EOG，垂足为 H、G 在AHBRt中，90AHB，53cos ABBNB；在OGDRt中，90OGD，ODDGODG cos；xBOBODGODDG53coscos；xDGDE562；由（1）得，PDPA；DEEPPDEPPA；xy56，定义域为234625611 x2 当点 E 在线段 DP 的延长线上时，可得35192625xy，定义域为625234625 x（3）过点 A、C 分别作BCAH、ABCM，垂足分别为 H、M当ODOP 时，得 POD AHB；5:4:3:PDOPOD；xOD，xOP34，xPD35；又BCAHCMAB；524CM；在AMCRt中，90AMC，5722CMA
26、CAM；257cos ACAMA；过点 P 作ABPN，垂足为 N 在APNRt中，90ANP，xxAN53252565，xPDPA35，PAANA cos，APAANcos；即257355325xx；解得3275x；82534xOP，32353275355PAACPC；1650165532353275 PCOB82581032353275 PCOB；PCOBOPPCOB；圆 P 与圆O 相交初中数学学科变式 7：如图，已知在 Rt ABC中，390 cos35ACBBBC，ACB=90，P是射线 AB 上的一个动点，以 P 为圆心，PA 为半径的P 与射线 AC 的另一个交点为 D，直线 P
27、D 交直线 BC 于点 E（1）当1PA 时，求 CE 的长；（2）如果点 P 在边 AB 的上，当P 与以点 C 为圆心，CE 为半径的C 内切时，求P 的半径；（3）设线段 BE 的中点为 Q，射线 PQ 与P 相交于点 F，点 P 在运动过程中，当/PECF时，求 AP 的长EADBCPABC（备用图 1）初中数学学科解析：（1）作 PHAC，垂足为 H，PH 过圆心，AH=DHACB=90，PHBC，cosB=53，BC=3，AB=5，AC=4PHBC，ABPABCPH，513PH，53PH，54 DHAHDC=512，又DCDHCEPH，5125453CE，59CE当P 与C 内切时
28、，点 C 在P 内，点 D 在 AC 的延长线上过点 P 作 PGAC，垂足为 G，设 PA=x，则xPG53，xDGAG54458xCD，xCG544，DGDCPGCE，xxxCE5445853，356xCE（1 分）P 与C 内切，PCCEPA，22)544()53()356(xxxx0175130242xx，12351 x，252 x（舍去）当P 与C 内切时，P 的半径为1235（3）ABC+A=90，PEC+CDE=90 A=PDA，ABC=PECABC=EBP，PEC=EBP，PB=PE点 Q 为线段 BE 的中点，PQBC，PQAC当 PECF 时，四边形 PDCF 是平行四边形
29、，PF=CD当点 P 在边 AB 的上时，xx584，1320 x当点 P 在边 AB 的延长线上时，458xx，320 x综上所述，当 PECF 时，AP 的长为1320 或320初中数学学科变式 8：如图，在 ABC中，ACB 为直角，0301AAB，半径为 1 的动圆 Q的圆心从点 C 出发，沿着 CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点 P 从点 B出发，沿着 BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为 t 秒（0t 5）以 P 为圆心，PB 长为半径的P 与 AB、BC 的另一个交点分别为 E、D，连结 ED、EQ（1）判断并证明 ED 与 BC
30、的位置关系，并求当点 Q 与点 D 重合时 t 的值；（2）当P 和 AC 相交时，设 CQ 为 x，P 被 AC截得的弦长为 y，求 y 关于 x 的函数；并求当Q 过点 B 时P 被 AC 截得的弦长；（3）若P 与Q 相交，写出 t 的取值范围初中数学学科解析：（1）连接 PD，B、E、D 都在P 上PB=PD，PBD=PDB，PD=PE，PDE=PEDBDE 的内角和为 180BDE=BDP+PDE=90，即：DEBCBCA=90，30ADECA，BDEBCA，21 BABCBEBD设 CQ=CD=t，BD=5-t，BE=2t代入有2125tt解得：25t当25t时 Q 与 D 重合，
31、（2）设P 和 AC 相交于 M、N，BP=CQ=x，AP=AB-BP=10-x 过点 P 作 PHAC 于点 H在 RtAPH 中，易知：APPH21PH=)10(21x在 RtPHN 中，易知：HN=22PHPN=100203212xx10020322xxMHMN当Q 经过 B 点时，（如图）CQ=CBQB=4，将414 t代入得：72MN（3）当 QP 与Q 外切时，如图，易知此时QBP=60，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t49717t，从此时起直至停止运动，P 与Q 都处于相交位置P 与Q 相交时 t 的取值范围为：549717t初中数学学科角度 6：圆与其他结合问题例题 6：已
32、知：8AB，O经过点 AB、.以 AB 为一边画平行四边形 ABCD，另一边CD 经过点O（如图 1）.以点 B 为圆心，BC 为半径画弧，交线段OC 于点 E（点 E 不与点O、点C 重合）.（1）求证：ODOE；（2）如果O的半径长为 5（如图 2），设,ODx BCy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果O的半径长为 5，联结 AC，当 BEAC时，求OD 的长.图 1图 2备用图解析：（1）联结OA、OB（如图 1-1），易得OBOA，OBAOAB.四边形 ABCD是平行四边形，AB CD，BCAD.BCBE，BCAD，BEAD 又 AB CD，四边形 ABED
33、是等腰梯形.EBADAB又OBAOAB，OBAEBAOABDAB.即OBEOAD在AOD 和BOE 中，OBOA，OBEOAD，BEAD，AODBOE.OEOD 图 1-1图 1-3图 1-2初中数学学科方法 2：BEDADE，EBODAO，BEAD，AODBOE.方法 3：BEDADE，EBODAO，OBOA，AODBOE.方法 4：如图 1-2，过点O 作ABOH，过点 D 作ABDG，过点 E 作ABEI.方法 5：如图 1-3，过点O 作ABOH，垂足为 H，联结 DH、EH.（2）如图 2-1，过O 作ABOH，垂足为 H，过点 D 作ABDG，垂足为G.联结OB，3OH，4 BHA
34、H，得到3 OHDG，在 RtADG 中，xAG 4，yBCAD，利用222AGDGAD得到2582xxy，函数定义域40 x，（3）如图 3-1，过点O 作ACOM，交 AC 于点M，交 AB 于点 N.证明四边形ONBE 是平行四边形，利用ODOEBN，CDAB 得到ANOC，利用AMNCMO 或COANCMAM 得到CNAM，进而得到OM是 AC 的垂直平分线，5 OAOC，利用8 ABCD，5OC得到3OD方法 2.如图 3-2；方法 3：如图 3-3；方法 4（利用圆周角，略）.图 2-1图 3-1图 3-2图 3-3初中数学学科变式 9：已知：以 O 为圆心的扇形 AOB 中，90
35、AOB，点 C 为 AB 上一动点，射线AC 交射线 OB 于点 D，过点 D 作 OD 的垂线交射线 OC 于点 E，联结 AE.（1）如图 1，当四边形 AODE 为矩形时，求ADO 的度数；（2）当扇形的半径长为 5，且 AC=6 时，求线段 DE 的长；（3）联结 BC，试问：在点 C 运动的过程中，BCD 的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.【答案：（1）AODE 为矩形，AD=OE，且 AD=2AC，OE=2OC.点 C 在 AB 上，OA=OC.OE=2OC=2OA.AD=2OA.AODE 为矩形，AOOD.ADO=30（2）作 OHAC，垂足为 H.O 为
36、圆心，AH=HC，又AC=6，AH=3.AOB=90，AOOD.EDOD，AO/ED.ACAOCDDE.AC=6，AO=5，CD=65 DE.AOOD，OHAC，cosAHAOAAOAD.356565 DE.DE=3518.（3）BCD 的大小不变，设A=，OBC=O 为圆心，点 C 为 AB 上，OA=OC=OB.ACO=A=，OCB=OBC=.AOC=1802，BOC=1802.AOB=90，1802+1802=90.135.BCD=180()45.AOBCDE（备用图）AOBCDE（图 1）初中数学学科巩固 5：如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线224yaxax与 x 轴相交
37、于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，其中点 A 的坐标为（-3，0）点 D 在线段 AB 上，AD=AC（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以 DB 为半径的圆 D 与圆 C 外切，求圆 C 的半径；（3）设点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 BC 上如果线段 MN 被直线 CD 垂直平分，求BNCN的值解析：（1）抛物线224yaxax经过点 A（-3，0），2(3)2(3)40aa解得415a 所求抛物线的关系式为24841515yxx抛物线的对称轴是直线1x （2）当0 x，时，4y ，即得 C（0，-4）又由 A（-3，0），得22(30)(04)5
38、AC AD=AC=5又由 A（-3，0），得 D（2，0）22(20)(04)2 5CD 又由直线1x 为抛物线24841515yxx的对称轴，得 B（5，0）BD=3设圆 C 的半径为 r圆 D 与圆 C 外切，CD=BD+r即得 2 53r解得2 53r 圆 C 的半径长为 2 53（3）联结 DNAC=AD，ACD=ADC线段 MN 被直线 CD 垂直平分，MD=ND即得MDC=NDCNDC=ACDND/AC BNBDNCDA即得 AD=5AB=8，即得 BD=3，35BNBDCNDAABOCxy初中数学学科巩固 6：在 Rt ABC中，90103tan4BACBCABC，点 O 是 A
39、B 边上动点，以 O 为圆心，OB 为半径的O 与边 BC 的另一交点为 D，过点 D 作 AB 的垂线，交O于点 E，联结 BE、AE（1）当/AEBC（如图（1）时，求O 的半径长；（2）设 BOxAEy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3）若以 A 为圆心的A 与O 有公共点 D、E，当A 恰好也过点 C 时，求 DE 的长【答案：（1）DEAB，AB 过圆心 O，AB 平分 DE，BE=BD，EBA=DBA，AE/BC，EAB=DBA，EAB=EBA，BE=AE，BD=AE，又DEAB，ACAB，AC/DE，AEDC 为平行四边形，AE=DC，BD=DC=5作 OHBC
40、 于 M，则 BH=DH=12 BD=52，3tan4ABC，BO=258，O 半径 258（2）联结 AD，DEAB，AB 过圆心 O，AB 平分 DE，AB 是 DE 的中垂线，AD=AE=y，作 OHBC 于 H，则 BH=DH，在 RtBOH 中，BO=x，3tan4ABC，BH=45 x，BD=85 x，作 AMBC 于 M，则得 AM=245，BM=325，DM=32855 x，在 RtADM 中，222ADAMDM，即22224328()()555yx，28=8255yxx（2504x）图（1）ABCDEOACBEOD备用图ABC备用图初中数学学科（3）设 DE、AB 交于点 P
41、，则 DP=EP，方法一、情况 1：D 与 C 不重合A 过点 D、C，AD=AC，作 AKBC 于 K，则 DK=CK=185，BD=10-2185=145，DP=BDsinABC=14342=5525，DE=8425情况 2：D 点与 C 点重合时，E、A、C 三点共线，DE=2AC=12.DE 的长为 12 或 8425方法二、设 DP=x，3tan4ABC，BD=5 x3，BP=4 x3，AP=48-x3，联结 EA，A 过点 D、E、C，AE=AC=6，在 RtAEP 中，222AEEPAP，整理得2251922520 xx，解得12426,25xx经检验，都符合题意DE 的长为 1
42、2 或 8425初中数学学科题型三动点形成的相似问题角度 7：动点横竖型相似问题例题 7：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数214yxbxc 的图像经过点4,0A、0,2C（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点2,0B 是否在该函数的图像上；（2）设所求函数图像的对称轴与 x 轴交于点 D，点 E 在对称轴上，若以点 C、D、E 为顶点的三角形与 ABC相似，试求点 E 的坐标解析：（1）cbxxy241过点4 0A（，）、0 2C（，），2,21cb211242yxx 当2x 时，0y，点(2,0)B在二次函数的图像上（2）二次函数的对称轴为直线1x 10D（，）点 E 在对称轴
43、上，且对称轴平行 y 轴，OCDCDE又6AB，2 5AC，5CD，2OC，1OD 易得OCDOACOCDOAC，从而CDEOAC 若以点 C、D、E 为顶点的三角形与 ABC相似则有以下两种情况：）当ABDCACDE 时，即6552DE，解得：35DE点 E 的坐标为)35,1(AC Oxy1AC Oxy1 DBEE初中数学学科）当ACDCABDE 时，即5256DE，解得：3DE点 E 的坐标为)3,1(综上点 E 的坐标为)35,1(或)3,1(变式 10：如图，已知在 ABC中，90A，3 2ABAC，经过这个三角形重心的直线 DEBC，分别交边 AB、AC 于点 D 和点 E，P 是
44、线段 DE 上的一个动点，过点 P 分别作 PMBC，PFAB，PGAC，垂足分别为点 M、F、G，设 BMx，四边形 AFPG 的面积为 y（1）求 PM 的长；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结 MF、MG，当 PMF与 PMG相似时，求 BM 的长初中数学学科解析：（1）过点 A 作 AHBC，垂足为点 H，交 DE 于点 Q90BAC，3 2ABAC，6BC 又 AHBC，132BHCHBC，Q 是 ABC的重心113QHAH DEBC，PMBC，AHBC，1PMQH（2）延长FP，交BC 于点N90BAC，ABAC，45B 于是，由 FNAB，得45P
45、NM 又由 PMBC，得1MNPM，2PN 1BNBMMNx，2(1)2FBFNx223 2(1)(5)22AFABFBxx，22(1)2(1)22FPFNPNxx PFAB，PGAC，90BAC，90BACPFAPGA 四边形 AFPG 是矩形22(1)(5)22yFP AFxx，即所求函数解析式为215322yxx 定义域为15x（3）四边形 AFPG 是矩形，)5(22xAFPG由135FPMGPM ，可 知，当PMF与PMG相 似 时，有 两 种 情 况：PFMPGM 或PFMPMG（）如果PFMPGM，那么 PFPMPGPM即得 PFPG22(1)(5)22xx解得3x 即得3BM（
46、）如果PFMPMG，那么 PFPMPMPG即得2PMPF PG22(1)(5)122xx 解 得1 32x，232x 即 得32BM 或32BM 当 PMF与 PMG相似时，BM 的长等于 32或3或32】初中数学学科角度 8：动点斜线型相似问题例题 8：已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数213yxbxc 的图像经过点1()1,A 和点()2,2B，该函数图像的对称轴与直线OA、OB 分别交于点C 和点 D（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：ABOCBO；（3）如果点 P 在直线 AB 上，且 POB与 BCD相似，求点 P 的坐标解析：（1）由题意，得.23
47、42,311cbcb解得.2,32cb所求二次函数的解析式为232312xxy对称轴为直线1x（2）证明：由直线 OA 的表达式 yx，得点 C 的坐标为 11（，）10AB，10BC，ABBC又2OA，2OC，OAOCABOCBO（3）解：由直线 OB 的表达式 yx，得点 D 的坐标为(1,1)由直线 AB 的表达式3431xy，得直线与 x 轴的交点 E 的坐标为4 0（，）POB与 BCD相似，ABOCBO，BOPBDC 或BOPBCD（i）当BOPBDC 时，由135BDC，得135BOP 点 P 不但在直线 AB 上，而且也在 x 轴上，即点 P 与点 E 重合点 P 的坐标为4
48、0（，）（ii）当BOPBCD 时，由 POBBCD，得BCBDBOBP 而22BO，2BD，10BC，1052BP又102BE，1058PE作 PHx轴，垂足为点 H，BFx轴，垂足为点 F初中数学学科 PHBF，EFEHBEPEBFPH而2BF，6EF，58PH，524EH54OH点 P 的坐标为 4 8(,)5 5综上所述，点 P 的坐标为(4,0)或 4 8(,)5 5角度 9：二次相似问题例题 9：如图，在 Rt ABC中，90ACB，CE 是斜边 AB 上的中线，10AB，4tan3A，点 P 是CE 延长线上的一动点，过点 P 作PQCB，交CB 延长线于点Q，设,EPx BQy
49、（1）求 y 关于 x 的函数关系式及定义域；（2）联结 PB，当 PB 平分CPQ时，求 PE 的长；（3）过点 B 作 BFAB交 PQ于 F，当 BEF和 QBF相似时，求 x 的值解析：（1）在 Rt ABC中，90ACB，34tan ACBCA，10AB8BC，6ACCE 是斜边 AB 上的中线，521ABBECEABCPCB，90ACBPQC BQCABC，54 ABBCPCCQ，即5458xy445yx，定义域为5x（2）过点 B 作 BMPC，垂足为 M PB 平分CPQ，PQBQ，垂足为Q yBQBM52485353BCBM524454x11x（3）90ACBQ，AQBF B
50、QFABC当 BEF和 QBF相似时，可得 BEF和ABC也相似初中数学学科分两种情况：1)当AFEB时，在 Rt FBEE 中，90FBE，5BE，yBF35534)454(35x，解得10 x；2)当ABCFEB时，在 Rt FBE中，90FBE，5BE，yBF35543)454(35x，解得16125x；综合16125x或10角度 10：A-A 相似问题例题 10：如图，已知等边ABC的边长为 6，点 D 是边 BC 上的一个动点，折叠ABC，使得点 A恰好与边 BC 上的点 D 合，折痕为 EF（点 E、F 分别在边 AB、AC 上）（1）当:5:4AE AF 时，求 BD的长：（2）
51、当 EDBC时，求 EB 的值；（3）当以 B、E、D 为顶点的三角形与 DEF相似时，求 BE 的长解析：（1）ABC是等边三角形，60CBA，CABCAB.由题意可知 AEFDEF，60AEDF，AEDE，AFDF.45 AFAEDFDE.学&科&网Z&X&X&K初中数学学科BDFEDFBDE，CCFDBDFEDFBDECCFD.又CEDF60，CFDBDE.CB，BDECFD.方法 BDECFD，CDBEDFDECFBD.设kAE5，则由4:5:AFAE知kAF4，kAEDE5，kAFDF4，kBE56，kCF46.设xBD，则xCD 6.xkkkkx6564546.即.45656,45
52、46xkkx整理，得.2024530,20304kxkx，解得4x，即4BD.方法 BDECFD，DFDECCCDFBED（相似三角形的周长的比等于相似比）.DFDECDFCDFBDEBDE.又6ABBEDE，6ACFCDF，BDCD 645126BDBD.解得：4BD.方法过点 E 作BCEM，过点 D 作ACDN 设kAE5，xBD，依题意易得kAF4kAEDE5，kAFDF4ABCDEFMN初中数学学科kBE56，kCF46，xCD 6.在 Rt BEM中，)56(2121kBEBM，)56(21kxDM在 Rt FDN中，)6(2121xCDCN)6(2146xkFN，)6(23xDN
53、易证 DEMFDN，DFDEFNDM.进而可得45)6(2146)56(21xkkx，整理，得kx2018（1）在 Rt FDN中，依据勾股定理可得222)6(2146)6(43)4(xkxk（2）整理（2），并将（1）代入（2），可得01272 xx.解得31 x（不合题意，舍去）42 x.即4BD.（2）当BCED 时，如图.30609090BBED75)30180(21AEFDEF.过点 E 作DFEH，垂足为 H.30609090EDFDEH，453075DEHDEFFEH.在 Rt BED中，EBEBDEBEBED2330coscos，ABCDEFHDEH初中数学学科在 Rt DEH
54、中，EBEDEDDEHEDEH432330coscos，在 Rt EHF中，EBEHEHEF423245cos.322EFEB.（3）分两种情况讨论：当以 B、E、D 为顶点的三角形与 DEF相似，顶点 B、D、E 分别与 D、E、F 对应时，可得DEFBDE.EFBC.60BAEF，60AEFDEF.易得 AEF、DEF、DFC、DEB是四个边长相等的等边三角形.321ABAEEFEDBE.当以 B、E、D 为顶点的三角形与 DEF相似，顶点 B、D、E 分别与 D、F、E 对应时，可得DFEBDE.又DFCBDE，AFEDFE，6018031DFCDFEAFE.易得 AEF、DEF、DFC
55、、DEB四个边长相等的等边三角形.321ABAEEFEDBE.综上所述，当以 B、E、D 为顶点的三角形与 DEF相似时，3BE初中数学学科巩固 7：在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线2yxbxc与 x 轴交于 A、B 两点（点 A在点 B 的左侧），点 B 的坐标为3,0，与 y 轴交于点0,3C，顶点为 D（1）求抛物线的解析式及顶点 D 坐标；（2）联结 AC、BC，求ACB的正切值；（3）点 P 是抛物线的对称轴上一点，当 PBD与 CAB相似时，求点 P 坐标解析：（1）抛物线2yxbxc过点3,0B，0,3C 9303bcc 43bc 243yxx顶点 D 的坐标为2,1（2）抛
56、物线243yxx与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧）1,0A又0,0O，0,3C，3,0B3BOCO90COB 45,3 2OBCBC；过点 A 作 AHBC，垂足为 H，90AHB2AB 2AHBH2 2CHBCBH，21tan22 2AHACBCH（3）抛物线243yxx的对称轴为直线2x 点 P 是抛物线对称轴上一点，可设点 P 的坐标为2,n把对称轴直线2x 与 x 轴的交点记为 E，则点 E 的坐标为2,02,1D，3,0B1,2DEBEBD；90BED45EDBEBD 45CBOBDE 当 PBD与 CAB相似时，点 P 在点 D 的上方，并存在以下两种情况：1)BDBA
57、DPBC2213 2n2n 2,2P2)BDBCDPBA23 212n13n 12,3P综上所述，当 PBD与 CAB相似时，点2,2P或12,3P初中数学学科巩固 8：如图，二次函数2yaxbxc的图像经过点 3,0,1,0,0,3ABC.（1）求此函数的解析式；（2）用配方法（写出配方过程）将此函数化为2ya xmk的形式，写出其顶点坐标；（3）在线段 AC 上是否存在点 P（不含 A、C 两点），使 ABP与 ABC相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：（1）由题意得：30039ccbacba，解得：321cba.此函数解析式为322xxy.（2）322xxy1
58、3)12(2xx4)1(2 x.顶点为 1 4（，）.（3）假设存在点 P，使 ABP与ABC相似，则APABACAB 或ABAPACAB.当APABACAB 时，ACAP.（不合题意，舍去）当ABAPACAB 时，328AP.由题意易得直线 AC 的解析式为：3xy，设 3,xxP，其中03x，则 3283322xx.解得：317,3121xx（舍去）.初中数学学科38,31P.巩固 9：如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，4AB，5ADCD，3cot4C点 P 在边 BC 上运动（点 P 不与点 B、点 C 重合），一束光线从点 A 出发，沿 AP 的方向射出，经过 BC 反
59、射后，反射光线 PE 交射线 CD 于点 E（1）当 PECE时，求 BP 的长度；（2）当点 E 落在线段 CD 上时，设 BPx，DEy，试求 y 与 x 之间的函数关系，并写出其定义域；（3）联结 PD，若以点 A、P、D 为顶点的三角形与 PCE相似，试求 BP 的长度解析：（1）根据已知，得8BC，APBEPC PECEEPCC APBC 法一：34cot C43ABBP4AB 3BP 即3BP 时，PECE法二：APDC5PCAD3BP 即3BP 时，PECEFEPBADCADBD（备用图）DABCEP初中数学学科（2）延长 PE 与 AD 的延长线交于点 F，BPx8PCx，2A
60、Fx DEy5DCAD5ECy25DFx AFBC，ECDEPCDF 即yyxx5852，3525xxy点 E 在线段 CD 上，函数定义域为x258（3）ADBCDAPAPB，APBEPC DAPEPC 若 APD与 PCE，则有如下两种情况：（）ADPC 时，推出2BP 时，APDPEC；（）APDC 时法一：又ADPDPC APDDCP，PCADPD222254xPD，xx855162解得22152,1x，经检验，均符合题意故22152,1x时，APDPCE；BP 为 2，2215 时，APD与 PCE相似法二：过点 D 作 DHAP于点 HDAPAPB ADAHAPBPADDHAPAB
61、,224xAPFEPBADCkHEPBADC初中数学学科22165,1620 xxAHxDH2216516xxxHP34cot C43cotDHHPDPH22216203165164xxxx，解得22152,1x经检验，均符合题意故22152,1x时，APDPCE；当 BP 为 2，2215 时，APD与 PCE相似初中数学学科题型四动点形成的等腰三角形问题角度 11：代数法解决动点等腰三角形问题例题 11：如图，已知抛物线2144yxbx 与 x轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点C，若已知 B 点的坐标为8,0B（）（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；（2）连接 AC、BC，试判断
62、 AOC与 COB是否相似？并说明理由；（3）M 为抛物线上 BC 之间一点，N 为线段 BC 上的一点，若/MNy 轴，求 MN 最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）抛物线的解析式为213442yxx，对称轴方程为直线3x（2）AOCCOB 在 AOC和 COB中，90AOCBOC 2,4,8,OAOCOAOCOBOCOB，AOCCOB（3）当4x 时 MN 有最大值 4（4）抛物线的对称轴方程为3x，可设点(3,)Qt，则有：2224202 5AC；222525AQtt，223(4)CQt当
63、 AQCQ时，有2225(4)9tt，解得10,(3,0)tQ当 ACAQ时，有22252 5,5tt ，无根，不能构成等腰三角形；当 ACCQ时，有2(4)92 5t，解得411t，Q 点坐标为23(3,411),(3,411)QQ综上所述，点Q 的坐标为1(3,0)Q，23(3,411),(3,411)QQ】初中数学学科变式 11：如图，已知 tan2MON，点 P 是MON内一点，PCOM，垂足为点 C，2PC，6OC，A 是 OC 延长线上一点，联结 AP 并延长与射线ON 交于点 B（1）当点 P 恰好是线段 AB 的中点时，试判断 AOB的形状，并说明理由；（2）当CA 的长度为多
64、少时，AOB是等腰三角形；（3）设 APkAB，是否存在适当的 k，使得APCOBPCSkS四边形，若存在，试求出 k 的值；若不存在，试说明理由解析：（1）AOB是直角三角形（2）CA 的值为35 112、时，AOB是等腰三角形（3）11263xkax角度 12：三线合一与锐角三角比法解决动点等腰三角形问题例题 12：如图，已知矩形 ABCD中，6AB，8BC，E 是 BC 边上一点（不与 B、C 重合），过点 E 作 EFAE交 AC、CD 于点 M、F，过点 B 作 BGAC，垂足为G，BG 交 AE 于点 H；（1）求证：ABHECM；（2）设 BEx，EHyEM，求 y 关于 x 的
65、函数解析式，并写出定义域；（3）当 BHE为等腰三角形时，求 BE 的长；初中数学学科解析：（1）略（2）4243xyx定义域为 08x（）；（3）BE 的长为9 73 2 4、角度 13：相似转化解决动点等腰三角形问题例题 13：如图，抛物线22yaxaxb经过点30,2C，且与 x 轴交于点 A、点 B，若2tan3ACO（1）求此抛物线的解析式（2）若抛物线的顶点为 M，点 P 是线段 OB 上一动点（不与点 B 重合），45MPQ，射线 PQ 与线段 BM 交于点 Q，当MPQ为等腰三角形，求点 P 的坐标【答案：（1）21322yxx（2）P 坐标为(1 0)，或 32 20（,）变
66、式 12：已 知 在 梯 形 ABCD 中，/ABDC，2ADPD，2PCPB，ADPPCD，4PDPC，（1）求证：/PDBC；（2）若点Q 在线段 PB 上运动，与点 P 不重合，联结CQ并延长交 DP的延长线于点O，如图 2，设 PQx，DOy，求 y 与 x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）若点 M 在线段 PA 上运动，与点 P 不重合，联结CM 交 DP于点 N，当 PNM是等腰三角形时，求 PM 的值APDCB图 1APDCB图 2QO初中数学学科解析：（1）略；（2）82yx定义域是：02x；（3）6PM 巩固 10：在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线24yaxax
67、c（a0）经过点(0,4)A(3,1)B 两点，顶点为 C（1）求该抛物线的表达式及点 C 的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线沿 y 轴向上平移 m（0m）个单位，所得新抛物线与 y 轴的交点记为点 D，当 ACD是等腰三角形时，求点 D 的坐标；（3）若点 P 在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结 PO，将线段 PO 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段PO，若点O 恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点 P 的坐标解析：（1）表达式为244yxx顶点C 的坐标为-2,0（）（2）D 的坐标为（0，524）（3）P（2，1）巩固 11：如图，梯形 ABCD 中，/ADBC，对角线 ACBC，
68、9AD，12AC，16BC，点 E 是边 BC 上的一个动点，EAFBAC，AF 交CD 于点 F，交 BC 延长线于点G，设 BEx（1）试用 x 的代数式表示 FC（2）设 FGyEF，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域（3）当AEG是等腰三角形时，直接写出 BE 的长解析：（1）35CFx；（2）343:20(016)551004xyxxxx（3）251072BE、初中数学学科题型五动点形成的直角三角形问题动点直角三角形问题，一般都需要讨论哪个角是可能构成直角，然后根据题型，运用不同的方法如下为总结的四种方法：1.先讨论哪个角是直角，然后第一类用一线三直角构造相似求解，分别用未
69、知数的式子表示出一线三直角模型的边长；2.用边角边，即两边对应成比例夹角相等，一般是动点构成的直角三角形与已知的直角三角形相似，需要求出已知直角三角形的边长，以及用未知数的式子求出动点直角三角形的边长，通过对应边成比例建立等式；3.利用三角比来求解，实际上这个和上面一种情况类似，但是动点构成的直角三角形中，某个锐角的三角比已知，这样，直接在动点三角形中运用三角比直接可以建立等式；4.第四种方法就比较简单粗暴了，就是把动点直角三角形三边的长度用未知数的式子，或者直接是数字表示出来，用勾股定理建立等式，求解出未知数角度 14：动点直角三角形之一线三直角问题；例题 14：已知如图在平面直角坐标系 x
70、oy 中，抛物线23yaxbx与 x 轴分别交于点(2,0)A、点 B（点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴交于点C，1tan2CBA（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为 D，求四边形 ABCD 的面积；（3）设抛物线上的点 E 在第一象限，BCE是以 BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点 E 的坐标解析：（1）当0 x 时，3y，(0,3)C在 Rt COB中，1tan2CBA12COOB6O B，点(6,0)B把(2,0)A(6,0)B分别代入23yaxbx，得：得 4230,36630.abab 解得：1;42.ab 该抛物线表达式为21234yxx（2）2211
71、23(4)144yxxx，顶点41D（，）628ABCABDACBDSSS四边形初中数学学科（3）点 E 的坐标是 10 8（，）或 16 35（，）角度 15：动点直角三角形之 SAS 问题例题 15：已知：如图，抛物线2445yxmx 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、B，（点 A 在点 B 的左侧）且满足4OCOA设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M（1）求抛物线的解析式及点 M 的坐标；（2）联接CM，点 Q 是射线CM 上的一个动点，当 QMB与 COM相似时，求直线 AQ的解析式解析：（1）根据题意：0 4C（，），4OCOA，0A（-1，）把点 A 代入得4045m 解
72、得16=5m抛物线的解析式2416455yxx 2416455yxx 24362)55x（，(2 0)M，（2）根据题意得：3BM，2tanCMO，直线 CM：4yx（i）当90COMMBQ 时，COMQBM2BQtan BMQBM6BQ，即5,6Q（），AQ：1yx（ii）当90COMBQM 时，COMBQM，同理 Q（13655，-）AQ：1133yx 初中数学学科变式 13：如图，在ABCRt中，90C，5AB，43tanB，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，DEDF 交射线 AC 于点 F（1）求 AC 和 BC 的长；（2）当 EFBC时，求 BE 的长；（3）
73、联结 EF，当DEF和 ABC相似时，求 BE 的长解析：（1）在ABCRt中，90C43tan BCACB，设kAC3，kBC 4，55 kAB，1k，3AC，4BC（2）过点 E 作BCEH，垂足为 H 易得EHBACB设kCFEH3，kBH4，kBE5 EFBCFDCEFD90CFDE，EFDFDCCDFDFDEF CDEFFD2，即)44(2492kk化简，得04892 kk解得91324 k（负值舍去）92013105 kBE（3）过点 E 作BCEH，垂足为 H 易得EHBACB设kEH3，kBE590HDEHED90HDEFDCFDCHED90CEHDACFEDBACB（备用图）
74、ACB（备用图）初中数学学科 EHDDCFDFDECDEH 当DEF和 ABC相似时，有两种情况：43 BCACDFDE；43CDEH，即4323k，解得21k255 kBE34 ACBCDFDE；34CDEH即3423k，解得98k，9405 kBE综合、，当DEF和 ABC相似时，BE 的长为 25 或 940角度 16：动点直角三角形之三角比问题例题 16：已知：如图，在 Rt ABC中，90C，2BC，4AC，P 是斜边 AB上的一个动点，PDAB，交边 AC 于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合），E 是射线 DC上一点，且EPDA 设 A、P 两点的距离为 x，BEP的面积为
75、y（1）求证：2AEPE；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与 ABC相似时，求BEP的面积解析：（1）90APDC，AA ，ADPABC21 ACBCAPPDEPDA ，PEDAEP，EPDEAP21 APPDAEPE2AEPE（2）由 EPDEAP，得21 APPDPEDE，2PEDE24AEPEDE作 EHAB，垂足为点 H APx，xPD21 PDHE，34 ADAEPDHExHE32又52AB，xxy32)52(21，即xxy352312 定义域是5580 x另解：由 EPDEAP，得21 APPDPEDE，2PEDE24AEPEDExxAE352
76、25341 2 52 52233ABESxxABBPSSABEBEP，初中数学学科即5252352xxyxxy352312 定义域是5580 x（3）由 PEHBAC，得ACABHEPE，xxPE352532当 BEP与 ABC相似时，只有两种情形：90BEPC 或90EBPC （i）当90BEP 时，ABBCPBPE，515235 xx解得453x1625453352516931y（ii）当90EBP 时，同理可得253x，45y变式 14：已知 ABC为等边三角形，6AB，P 是 AB 上的一个动点（与 A、B 不重合），过点 P 作 AB 的垂线与 BC 相交于点 D，以点 D 为正方形
77、的一个顶点，在 ABC内作正方形 DEFG，其中 D、E 在 BC 上，F 在 AC 上，（1）设 BP 的长为 x，正方形 DEFG 的边长为 y，写出 y 关于 x 的函数解析式及定义域；（2）当2BP 时，求CF 的长；（3）GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出 BP 的长；若不能，请说明理由.解析：（1）ABC为等边三角形，60BC ，6ABBCAC.DPAB，BPx，2BDx又四边形 DEFG 是正方形，EFBC，EFDEy，yEC33.6332yyx，339)33(xy.（63 3 x 3）（2）当2BP 时，3392)33(y33.23232yCF.初中数学学科（3）GDP能
78、成为直角三角形.90PGD 时，yyx36，6(3 1)(33)9 3 3xx 得到：113630 x.90GPD时，yxx234，234xx339)33(x，得到：336 x.当GDP为直角三角形时，BP 的长为113630 或者336 x.角度 17：动点直角三角形之勾股定理问题例题 17：如图，AOB的顶点 A、B 在二次函数21332yxbx 的图像上，又点 A、B 分别在 y 轴和 x 轴上，tan1ABO（1）求此二次函数的解析式；（2）过点 A 作 ACBO交上述函数图像于点C，点 P 在上述函数图像上，当POC与ABO相似时，求点 P 的坐标解析：（1）点 A 在二次函数233
79、12bxxy的图像上，)23,0(A在 Rt AOB中，90AOByOAOBOx初中数学学科1tanBOAOABO，23 AOBO，)0,23(B点 B 在二次函数23312bxxy的图像上，02323)23(312b，21b2321312xxy（2）ACBO交上述函数图像于点C，设)23,(xC232321312xx，解得23,021xx)23,23(C，23 AOAC，223OC设抛物线2321312xxy与 x 轴的另一交点为 D，可得，)0,3(D223)230()233(22CD，3OD222ODCDOC，90OCD易得，Rt OCARt ABO，Rt ODCRt ABO，)23,0
80、(P或)0,3(P巩固 12：如图，直角坐标平面内的梯形OABC，OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，/OABC，点 E 在对角线OB 上，点 D 在OC 上，直线 DE 与 x 轴交于点 F，已知2OEEB，3CB，6OA，3 5BA，5OD（1）求经过点 A、B、C 三点的抛物线解析式：（2）求证：ODEOBC：（3）在 y 轴上找一点G，使得 OFGODE，直接写出点G 的坐标初中数学学科解析：（1）2163yxx 或者436)23(312 xy（2）2 4E（，），2 5OE，3 5OB，2 55OEOCODOB，DOEBOC 故得证（3）0 5（，）、05（，）、0 20（，）、
81、020（，）】巩固 13：已知：如图，二次函数22416333yxx的图像与 x 轴交于点 A、B（点 A在点 B 的左侧，抛物线的顶点为 Q，直线 QB 与 y 轴交于点 E（1）求点 E 的坐标；（2）在 x 轴上方找一点 C，使以点 C、O、B 为顶点的三角形与 BOE相似，请直接写出点 C 的坐标初中数学学科解析：（1）令0y，得224160333xx解方程得122,4xx(4,0)B又22(1)63yx，(1,6)Q设直线 BQ：(0)ykxb k，406kbkb ，解得28yx，(0,8)E（2）12345616 84 8(0,2),(0,8),(4,2),(4,8),(,),(,
82、)5 55 5CCCCCC 巩固 14：已知：正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 为 BC 边的中点，点 P 为 AB 边上一动点长，沿 PE 翻折BPE得到FPE，直线 PF 交CD 边于点Q，交直线 AD 于点G（1）如图，当1.5BP 时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线 AD 上时，设 BPx，DGy，求 y 关于 x 的函数关系式，并初中数学学科写出 x 的取值范围；（3）延长 EF 交直线 AD 于点 H，若 CQEFHG，求 BP 的长解析：（1）由题意，得,90,BEEFPFEBBEPFEP 点 E 为 BC 的中点22BEECEFEC又90,EFQCEQEQ EF
83、QECQ,90FEQCEQBEPCEQ 又90BPEBEPBPECEQ ，90BC BPECEQ1.522BPBEECQCCQ即83CQ（2）由（1）知：BPECEQ，BPBEECCQ，242xCQCQx44DQxQDAP4,4DGDQAPx AGyAGAP ，又，4444yxyx21616(12)4xyxx（3）由题意知：90CGFH当点 G 在线段 AD 的延长线上时，由题意知：GCQECQEFQE22DQCFQCCQEG90DQGG 30G30BQPCQEG，2tan3033BPBE 当点 G 在线段 DA 的延长线上时，由题意知：GQCE 同理可得：30G，30BPEG ，cot302
84、 3BPBE 综上所述，BP 的长是 233或 2 3巩固 15：如图，二次函数2yxbxc图像经过原点和点(2,0)A，直线 AB 与抛物初中数学学科线交于点 B，且45BAO（1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标；（2）在直线 AB 上是否存在点 D，使得 BCD为直角三角形若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，说明理由解析：（1）（2）由可以知道直线 AB 的一次项系数为-1,从而可求得直线 AB 的解析式为.当时.根据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1 可求得直线 CD 的解析式为,将与联立可求得点 D 的坐标为;当时.将与联立得求得点 B 的坐标 为,然 后 根据 待 定 系
85、 数法 求 得 直 线 BC 的 解 析式 为 直 线 BC 的 解 析式 为,根据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1 可求得直线 CD 的解析式为,将与联立可求得点 D 的坐标为初中数学学科题型六动点形成的平行四边形问题角度 18：动点平行四边形之三定一动方法例题 18：已知抛物线2(0)yaxbx c a，过点)0,3(A，)0,1(B，)3,0(C三点（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 P，求PAC正切值；（3）若以 A、P、C、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标解析：（1）由题意得：30039ccbacba解得：321cba322xxy（2）322xxy
86、4)1(2 x)4,1(P52PA，2PC，23AC222ACPCPA090PCA31232tanACPCPAC（3）直线 AC的解析式是：3 xy；直线 AP的解析式是：62 xy直线 PC的解析式是：3xy当 AC是平行四边形的一条对角线时：直线 MC的解析式是：32 xy直线 AM 的解析式是：3xy)1,2(M当 PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得)7,2(M当 AP是平行四边形的一条对角线时：)1,4(M)1,2(M或)7,2(M或)1,4(M初中数学学科变式 15：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线243ymxm与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，点 C 在线段 AB
87、 上，且2AOBAOCSS（1）求点 C 的坐标（用含有 m 的代数式表示）；（2）将 AOC沿 x 轴翻折，当点 C 的对应点 C恰好落在抛物线232183yxmxm上时，求该抛物线的表达式；（3）设点 M 为（2）中所求抛物线上一点，当以 A、O、C、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标解析：（1）(3,2)Cm（2）该抛物线的表达式为23331832yxx（3）点 M 的坐标为(3,3)或(3,3)或(9,3)初中数学学科角度 19：动点平行四边形之两定两动方法例题 19：如图，抛物线32bxaxy与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、B 两点，3
88、1tanOCA，6ABCS（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，如果 A、C、E、F 构成平行四边形，请写出点 E 的坐标（不必书写计算过程）解析：（1）(3,0)B（2）把223yxx,顶点坐标(1,4)（3）AC 为平行四边形的一边时123(1,0),(27,0),(27,0)EEE AC 为平行四边形的对角线时 E4(3，0）CABOyx初中数学学科变式 16：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为原点，点 A、C 的坐标分别为(2,0),(1,3 3)将AOC绕 AC 的中点旋转 180，点 O 落到点 B 的位
89、置，抛物线xaxy322 经过点 A，点 D 是该抛物线的顶点（1）求证：四边形 ABCO 是平行四边形；（2）求 a 的值并说明点 B 在抛物线上；（3）若点 P 是线段 OA 上一点，且APDOAB，求点 P 的坐标；（4）若点 P 是 x 轴上一点，以 P、A、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在 y 轴上，写出点 P 的坐标解析：（1）证明：AOC绕 AC 的中点旋转 180，点 O 落到点 B 的位置，CAOCAB,AOCCBAOB，四边形 ABCO 是平行四边形（2）3a，xxy3232 点 B 的坐标为（3，33）,满足此函数解析式，点 B 在此抛物线上（3）点 P
90、的坐标为（34，0）（4）)0,1(1P，)0,1(2 P，3(3,0)P初中数学学科变式 17：在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(1,0)A 的抛物线23yxbx 与 y 轴交于点 C，点 B 与点 A、点 D 与点 C 分别关于该抛物线的对称轴对称（1）求 b 的值以及直线 AB 与 x 轴正方形的夹角；（2）如果点 E 是抛物线上一动点，过 E 作 EF 平行于 x 轴交直线 AD 于点 F，且 F 在 E的右边，过点 E 作 EGAD与点 G，设 E 的横坐标为 m，EFG的周长为 l，试用 m 表示 l；（3）点 M 是该抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，Q 是坐标平面内一
91、点，如果以点 A、M、P、Q 为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点 Q 的坐标解析：（1）2b，夹角为 45（2）2(21)(21)2 22lmm（3）123417(0,25),(0,25),(2,),(2,)22QQQQ初中数学学科变式 18：在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0），点 B（0，3）点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向右平移，点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度向右平移，又 P、Q 两点同时出发（1）联结 AQ，当 ABQ是直角三角形时，求点 Q 的坐标；（2）当 P、Q 运动到某个位置时，如果沿着直线 AQ 翻折，点 P 恰好落在线段 AB 上，
92、求这时AQP的度数；（3）过点 A 作 ACAB，AC 交射线 PQ 于点 C，联结 BC，D 是 BC 的中点在点P、Q 的运动过程中，是否存在某时刻，使得以 A、C、Q、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时ABCcot的值；若不存在，试说明理由解析：（1）1225(,3),(4,3)4QQ；（2）45AQP（3）当点 C 在线段 PQ 上时，延长 BQ 与 AC 的延长线交于点 F，ACAB，AOBFHA，FHAOFAAB 即345 FA，415FA/DQAC，DQ=AC，且 D 为 BC 中点，FC=2DQ=2AC，45AC在 Rt BAC中，ABCcot=4当点 C 在
93、PQ 的延长线上时，记 BQ 与 AC 的交点为 F，记 AD 与 BQ 的交点为 G，/CQAD，CQ=AD 且 D 为 BC 中点，AD=CQ=2DG，CQ=2AG=2PQFC=2AF445AC在 Rt BAC中，94cotABC初中数学学科巩固 16：如图，抛物线cbxxy2经过直线3 xy与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使:5:4APCACDSS的点 P 的坐标；（3）点 M 为平面直角坐标系上一点，写出使点 M、A、B、D 为平行四边形的点 M 的坐标解析：（1）抛物线
94、的解析式是322xxy（2）点 P 的坐标为12(4,5),(2,5)PP（3）点 M 的坐标为123(2,1),(2,7),(4,1)MMM巩固 17：如图，点 A（2，6）和点 B（点 B 在点 A 的右侧）在反比例函数的图像上，点C 在 y 轴上，/BCx 轴，2tanACB，二次函数的图像经过 A、B、C 三点（1）求反比例函数和二次函数的解析式；（2）如果点 D 在 x轴的正半轴上，点 E 在反比例函数的图像上，四边形 ACDE 是平行四边形，求边 CD 的长解析：（1）反比例函数的解析式为xy12 二次函数的解析式为23212xxy（2）延长 AC 交 x 轴于 G，作 EHx轴，
95、垂足为 H5CD 初中数学学科初中数学学科题型七动点形成的梯形问题角度 20：动点梯形问题之三定一动例题 20：如图，在平面直角坐标系 xoy 中，二次函数cbxxy231的图像与 y 轴交于点 A，与双曲线xy8有一个公共点 B，它的横坐标为 4，过点 B 作直线xl/轴，与该二次函数图像交于另一个点C，直线 AC 的截距是-6（1）求二次函数的解析式；（2）求直线 AC 的表达式；（3）平面内是否存在点 D，使DCBA、为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点 D 坐标，如果不存在，说明理由解析：（1）212633yxx;（2）463yx；(3)1214 18(-2-6),()55DD，
96、;】初中数学学科变式 19：如图，在边长为6 的正方形 ABCD 中，点 E 为 AD 边上的一个动点（与点 A、D 不重合）45EBM，BE 交对角线 AC 于点 F，BM 交对角线 AC 于点G，交CD于点 M.（1）如左图，联结 BD，求证：DEBCGB，并写出:DE CG 的值；（2）联结 EG，如右图，若设 AEx，EGy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当 M 为边 DC 的三等分点时，求EGFS的面积.初中数学学科初中数学学科巩固 18：如图，矩形OMPN 的顶点 O 在原点，M、N 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，63OMON，反比例函数xy6的图
97、像与 PN 交于 C，与 PM 交于 D，过点 C 作CAx轴于点 A，过点 D 作 DBy轴于点 B，AC 与 BD 交于点 G（1）求证：AB/CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点 E，使以 B、C、D、E 为顶点，BC 为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点 E 的坐标；若不存在请说明理由解析：矩形63OMPNOMON，点P（6,3）点 C、D 都在反比例函数6yx=图像上，且点 C在 PN 上，点 D 在 PM 上，点2 3C（，），点6 1D（，），又 DBy轴，CAx轴，2 001AB（，），（，）2421BGGDCGAG，12AGGC=，2 14 2BGGD=，=AGBGGCGD
98、 AB/CD（2）PNDB，当1DEBC时，四边形1BCE D 是等腰梯形此时1Rt CNBRt E PD，12PECN，点1 4 3E（，）/CD AB，当 E2 在直线 AB 上，22DEBC，四边形2BCDE 为等腰梯形，直线 AB 的解析式为112yx=-+设点 E2（x，112 x-+）22 2DEBC，8)21()6(22xxOyAxBCDNPMGE1E2HOyAxBCDNPGE1E2初中数学学科5281 x，42 x（舍去）；E2（528，59）巩固 19：已知：如图 1，在 Rt OAC中，AOOC，点 B 在OC 边上，6OB，12BC，90ABOC动点 M 和 N 分别在线
99、段 AB 和 AC 边上（1）求证：AOBCOA，并求cosC 的值；（2）当4AM 时，AMN与 ABC相似，求 AMN与 ABC的面积之比；（3）如图 2，当/MNBC 时，将 AMN沿 MN 折叠，点 A落在四边形 BCNM 所在平面的点为点 E 设 MNx，EMN与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y，试写出 y 关于 x的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围解析：（1）181cos3212 3OCCAC.（2）181cos3212 3OCCAC，30C.6 336OAtan ABOOB,60ABO.30BAC.12ABBC.当 AMN=B 时，（如图）AMNABC 4AM，22
100、22:4:121:9AMNABCSSAMAB.当 AMN=C 时，（如图）AMNACB 4AM，初中数学学科2222:4:121:9AMNABCSSAMAB.4AM，2222:4:12 31:27AMNABCSSAMAC.（3）可以求得：33612362121BCAOS ABC./MNBC，AMNABC.22:AMNABCSSMNBC：.22:36 3:12AMNSx.2134AMNSx.当 EN 与线段 AB 相交时，设 EN 与 AB 交于点 F（如图），/MNBC，o30ANMC.ANMBAC.AMMNx.将 AMN沿 MN 折叠，30oENMANM.o90AFN.111222MFMNAMx.:FMNAMNSSMF AM.211:3:1:242yxx x.213(08)8yxx.当 EN 与线段 AB 不相交时，设 EN 于 BC 交于点G（如图），/MNBC:CN ACBM AB.:12 3(12):12CNx.12 33CNx.CNGCBA，22:CNGABCSSCNBC：.22:36 3(12 33):12CNGSx.213(12 33)4CNGSx.初中数学学科221136 333(12 33)44ABCAMNCNGSSSSxx阴.即2318 372 3(812)yxxx.
