1、第 3 节 平面向量的数量积及平面向量的应用 基础梳理考点突破知识整合 1.向量的夹角 (1)定义 已知两个非零向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,如图所示,则AOB=叫做向量 a 与 b 的夹角,也可记作=.基础梳理 抓主干 固双基(2)范围 向量夹角 的范围是0,a 与 b 同向时,夹角=0;a 与 b 反向时,夹角=.(3)垂直关系 如果非零向量 a 与 b 的夹角是 90,我们说 a 与 b 垂直,记作 ab.2.平面向量的数量积(1)数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为,则向量 a与 b 的数量积是数量|a|b|cos ,记作 ab,即ab=|a|b|cos
2、.(2)向量的投影 设 为 a 与 b 的夹角,则向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cos ;向量 b 在 a 方向上的投影是|b|cos .(3)数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积.3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),为向量 a、b 的夹角.向量表示 坐标表示 数量积 ab=|a|b|cos ab=x1x2+y1y2 模|a|=a a|a|=2211xy 夹角 cos =a ba b cos =121222221122x xy yxyxy ab 的 充要条件 ab
3、=0 x1x2+y1y2=0|ab|与|a|b|的 关系|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2+y1y2|2211xy2222xy 4.平面向量数量积的运算律 已知向量 a、b、c 和实数,则:(1)交换律:ab=ba;(2)结合律:(a)b=(ab)=a(b);(3)分配律:(a+b)c=ac+bc.质疑探究:对于非零向量 a、b、c.(1)若 ac=bc,则 a=b 吗?(2)(ab)c=a(bc)恒成立吗?提示:(1)不一定有 a=b,因为 ac=bcc(a-b)=0,即 c 与 a-b 垂直,但不一定有 a=b.因此向量数量积不满足消去律.(2)因为(ab)c 与向量
4、 c 共线,(bc)a 与向量 a 共线.所以(ab)c 与 a(bc)不一定相等,即向量的数量积不满足结合律.5.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题.6.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积.即 W=Fs=|F|s|cos (为 F 与 s 的夹角).双基自测 1.(2013 年高考辽宁卷)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量
5、AB 同方向的单位向量为(A)(A)（35,-45）(B)（45,-35）(C)（-35,45）(D)（-45,35）解析:AB=(3,-4),则与 AB 同方向的单位向量为ABAB=15(3,-4)=（35,-45）.故选 A.2.已知|a|=4,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120,则 b在 a 方向上的投影为(D)(A)2(B)32(C)-2(D)-32 解析:b 在 a 方向上的投影为|b|cos 120=-32.故选 D.3.(2012 年高考陕西卷)设向量 a=(1,cos )与b=(-1,2cos )垂直,则 cos 2 等于(C)(A)22(B)12(C)0 (D)-1 解
6、析:ab,1(-1)+cos 2cos=0,即 2cos2-1=0.cos 2=2cos2-1=0.故选 C.4.(2013 东阳中学月考)已知一物体在共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移 s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功 W为 .解析:F1+F2=(1,2lg 2),W=(F1+F2)s=2lg 5+2lg 2=2.答案:2 考点一 平面向量数量积的运算【例 1】(1)(2013 年高考新课标全国卷)已知正方形ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE BD=.(2)(2013 年高考新课标全国卷)已知两个单位向量 a,b的
7、夹角为 60,c=t a+(1-t)b,若 bc=0,则 t=.考点突破 剖典例 知规律 思维导引:(1)建立坐标系,写出相关向量的坐标再运算或选 AB,AD 为一组基底,表示出 AE,BD 再运算.(2)通过数量积的运算,把 bc=0 转化为关于 t 的方程求解.解析:(1)AE BD=(AD+12 DC)(AD-AB)=2AD-AD AB+12 DC AD-12AB DC=22-1222=2.(2)由 bc=0 知,bc=t a+(1-t)bb=t ab+(1-t)b2=t11cos 60+(1-t)=0.即 1-12t=0,t=2.答案:(1)2(2)2 反思归纳 (1)平面向量数量积的
8、计算方法 已知向量 a,b 的模及夹角,利用公式ab=|a|b|cos 求解;已知向量 a,b 的坐标,利用数量积的坐标形式求解.(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算.即时突破 1(2013 佛山市质检(一)已知a=(1,2),b=(0,1),c=(k,-2),若(a+2b)c,则 k等于()(A)2 (B)8 (C)-2(D)-8 解析:a+2b=(1,4),由题意得 k-8=0,k=8,故选 B.考点二 向量的夹角与向量的模【例 2】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求 a 与 b 的夹角;(2)求|a+b|
9、;(3)若(ka+b)b,求 k 的值.解:(1)(2a-3b)(2a+b)=61,4a2-4ab-3b2=61.|a|=4,|b|=3,a2=16,b2=9,416-4ab-39=61,ab=-6,cos=a ba b=64 3=-12.又0,=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=16+2(-6)+9=13.|a+b|=13.(3)由(ka+b)b 得(ka+b)b=0,即 kab+b2=0,-6k+9=0,k=32.反思归纳 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来 解决.即时突破 2(1)(2013
10、年高考山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知OA=(-1,t),OB=(2,2),若 ABO=90,则实数 t 的值为 .(2)已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.解析:(1)若ABO=90,即 BA BO,因为 BA=OA-OB=(-3,t-2),BO=(-2,-2),所以 BA BO=(-3,t-2)(-2,-2)=6-2t+4=0,解得 t=5.(2)把|2a-b|=10 两边平方得 4|a|2-4|a|b|cos 45+|b|2=10.|a|=1,|b|2-22|b|-6=0.|b|=32 或|b|=-2(舍去).答案:(1)5(2)32 考点三
11、 向量数量积的综合应用【例 3】(2013 年高考江苏卷)已知向量 a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0 .(1)若|a-b|=2,求证:ab;(2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求,的值.思维导引:(1)将|a-b|=2 两边平方后展开证明ab=0,即可得 ab.(2)建立关于、三角函数的方程组,结合三角公式求解.(1)证明:由|a-b|=2 得(cos-cos)2+(sin-sin)2=2,即 2-2cos cos-2sin sin=2,cos cos+sin sin=0,即 ab=0,ab.(2)解:因为 a+b=(cos+cos,sin+sin)=(0,1)
12、,所以 coscos0,sinsin1,由此得,cos=cos(-),由 0,得 0-.又 0,所以=56,=6.反思归纳 对向量与三角函数的综合问题,可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题,从而可利用三角公式求解.即时突破 3(2013 惠州二调)已知平面向量 a,b,c满足|a|=1,|b|=2,|c|=4,且向量 a,b,c 两两所成的角相等,则|a+b+c|=.解析:a,b,c 成等角,a,b,c 两两成 0或 120,当 a,b,c 两两成 0时,|a+b+c|=1+2+4=7;当 a,b,c 两两成 120时,|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+
13、4+16-2-4-8=7,|a+b+c|=7.答案:7 或7 备选例题【例 1】如图所示,若 D 是ABC 内的一点,且满足AB2-AC2=BD2-CD2,求证:ADBC.证明:设 AB=c,AC=b,AD=m,BD=AD-AB=m-c,CD=AD-AC=m-b.AB2-AC2=BD2-CD2,c2-b2=(m-c)2-(m-b)2,c2-b2=m2-2mc+c2-m2+2mb-b2,即 2m(b-c)=0,即 AD(AC-AB)=0,AD BC=0,ADBC.【例 2】(2013 河南三市第二次调研)在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2 a-c)BA BC=cC
14、B CA.(1)求角 B 的大小;(2)若|BA-BC|=6,求ABC 面积的最大值.解:(1)由题意得(2 a-c)cos B=bcos C.根据正弦定理得(2 sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2 sin Acos B=sin(C+B),即2 sin Acos B=sin A,因为 A(0,),所以 sin A0,所以 cos B=22,又 B(0,),所以 B=4.(2)因为|BA-BC|=6,所以|CA|=6,即 b=6,根据余弦定理及基本不等式得 6=a2+c2-2 ac2ac-2 ac=(2-2)ac(当且仅当 a=c时取等号),即 ac3(2+2),故
15、ABC 的面积 S=12acsin B 3212,即ABC 面积的最大值为 3 232.命题探究 与向量有关的新情境问题【典例】(2012 年高考广东卷)对任意两个非零的平面向量和,定义=,若两个非零的平面向量 a,b满足 a 与 b 的夹角 ,4 2,且 ab 和 ba 都在集合Z2n n 中,则 ab 等于()(A)52(B)32(C)1(D)12 分析:结合新定义利用向量的数量积求解.解析:本小题是新定义题,又与向量的数量积相联系,由题 cos 20,2,设 a b=2cosa bb=ab cos=02n,则 ab=02cosn.a b=2cosa ba=abcos=202cosn,由 2cos2(0,1),202cosn Z2n n知 n0=1.命题意图 在高考中经常会出现以向量为背景的新情境问题,主要考查向量的概念、线性运算、数量积等基础知识,考查综合分析问题的能力,难度稍大,解决本类题目的关键是读懂题意,将所学知识运用到新定义中解决.点击进入课时训练点击进入滚动检测(二)