1、课时作业31 平面向量数量积的应用一、选择题1(2020株洲模拟)在ABC 中，(BCBA)AC|AC|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形C解析：由(BCBA)AC|AC|2，得AC(BC BAAC)0，即AC(BCBACA)0,2ACBA0，ACBA，A90.又根据已知条件不能得到|AB|AC|，故ABC 一定是直角三角形2已知点 A(2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足PAPBx2，则点P 的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线D解析：PA(2x，y)，PB(3x，y)，PAPB(2x)(3x)y2x2，y2x6，即点 P 的轨迹是抛
2、物线3在ABCD 中，|AB|8，|AD|6，N 为 DC 的中点，BM 2MC，则AM NM 等于()A48 B36C24 D12C解析：AM NM(ABBM)(NC CM)AB23AD 12AB13AD 12AB 229AD 21282296224，故选 C4已知向量 m(1，cos)，n(sin，2)，且 mn，则 sin26cos2 的值为()A12B2C2 2D2B解析：由题意可得 mnsin2cos0，则 tan2，所以sin26cos22sincos6cos2sin2cos22tan6tan212.故选 B5已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点
3、 P 满足OP OA(ABAC)，(0，)，则点 P的轨迹一定通过ABC 的()A内心B外心C重心D垂心C解析：由原等式，得OP OA(ABAC)，即AP(ABAC)，根据平行四边形法则，知ABAC是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应AD 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心6(2020安徽联考)已知ABC 中，AB6，AC3，N 是边 BC上的点，且BN2NC，O 为ABC 的外心，则ANAO 的值为()A8B10C18D9D解析：由于BN2NC，则AN13AB23AC，取 AB 的中点为E，连接 OE，由于 O 为ABC 的外心，则EO AB，AO AB12AB
4、EO AB12AB 2126218，同理可得AC AO 12AC 2123292，所以AN AO 13AB23AC AO 13ABAO 23AC AO 13182392639，故选 D7(2020广东广雅中学等四校联考)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 120，kR，则|akb|的最小值为()A34B 32C1D32B解析：两个单位向量 a，b 的夹角为 120，|a|b|1，ab12，|akb|a22kabk2b2 1kk2k12234，kR，当 k12时，|akb|取得最小值 32，故选 B8(2020南昌测试)在梯形 ABCD 中，ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，动点 P
5、和 Q 分别在线段 BC 和 CD 上，且BPBC，DQ 18DC，则APBQ 的最大值为()A2B32C34D98D解析：因为 ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，所以四边形 ABCD 是直角梯形，且 CM 3，BCM30，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为BPBC，DQ 18DC，动点 P 和 Q 分别在线段 BC 和CD 上，则 18，1，B(2,0)，P(2，3)，Q18，3，所以APBQ(2，3)182，3 5 14418.令 f()5 14418且 18，1，由对勾函数性质可知，当 1 时可取得最大值，则 f()m
6、axf(1)51441898.二、填空题9已知 O 为ABC 内一点，且OA OC 2OB 0，则AOC与ABC 的面积之比是.12解析：如图所示，取 AC 的中点 D，OA OC 2OD，OD BO，O 为 BD 的中点，面积之比为高之比即SAOCSABCDOBD12.10已知|a|2|b|，|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有两相等实根，则向量 a 与 b 的夹角是.23解析：由已知可得|a|24ab0，即 4|b|242|b|2cos0，cos12.又0，23.11.如图，A 是半径为 5 的圆 C 上的一个定点，单位向量AB在 A点处与圆 C 相切，点 P 是圆 C 上
7、的一个动点，且点 P 与点 A 不重合，则APAB的取值范围是 5,5解析：如图所示，以 AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y轴，建立平面直角坐标系设点 P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，则AB(1,0)，AP(x，y)，所以APAB(x，y)(1,0)x.因为点 P 在圆 x2(y5)225 上，所以5x5，即5APAB5.三、解答题12已知点 P(0，3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，点 M 满足PAAM 0，AM 32MQ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程解：设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，设 A(a,0)，Q(0，b)(
8、b0)，则PA(a,3)，AM(xa，y)，MQ(x，by)，由PAAM 0，得 a(xa)3y0.由AM 32MQ，得(xa，y)32(x，by)32x，32yb，xa32x，y32y32b，ax2，by3.b0，y0，把 ax2代入到中，得x2xx2 3y0，整理得 y14x2(x0)动点 M 的轨迹方程为 y14x2(x0)13在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 mcosB，2cos2C21，n(c，b2a)，且 mn0.(1)求角 C 的大小；(2)若点 D 为边 AB 上一点，且满足AD DB，|CD|7，c2 3，求ABC 的面积解：(1)由题意知 m
9、(cosB，cosC)，n(c，b2a)，mn0，则 ccosB(b2a)cosC0.在ABC 中，由正弦定理得 sinCcosB(sinB2sinA)cosC0，整理得 sinCcosBsinBcosC2sinAcosC0，即 sin(BC)2sinAcosC故 sinA2sinAcosC，又 sinA0，cosC12，C(0，)，C3.(2)由AD DB 知，CD CACBCD，2CD CACB，两边平方得 4|CD|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又 c2a2b22abcosACB，a2b2ab12.由得 ab8，SABC12absinACB2 3.14(2020福建漳州月
10、考)已知非零向量 a，b，满足|a|2|b|，若函数 f(x)13x312|a|x2abx1 在 R 上存在极值，则 a 和 b 夹角的取值范围为()A0，6B3，C3，23D3，B解析：由题意可知，f(x)x2|a|xab，f(x)在 R 上存在极值，f(x)0 在 R 上有两个不等实数根，|a|24ab0.设 a 与 b 的夹角为，则有|a|24|a|b|cos0，|a|4|b|cos，又知|a|2|b|，cos|a|4|b|2|b|4|b|12，又知 0，3，即 a 与 b 夹角的取值范围为3，故选 B15已知|OA|OB|1，点 C 在线段 AB 上，且|OC|的最小值为12，求|OA tOB|(tR)的最小值解：|OA|OB|1，点 O 在线段 AB 的垂直平分线上点 C 在线段 AB 上，且|OC|的最小值为12，当 C 是 AB 的中点时|OC|最小，此时|OC|12，OB 与OC 的夹角为 60，OA，OB 的夹角为 120.又|OA t OB|2 OA 2 t2 OB 2 2t OA OB 1 t2 2t11cos120t2t1t1223434，当且仅当 t12时等号成立|OA tOB|2 的最小值为34，|OA tOB|的最小值为 32.