1、1初中数学动点最值思路方法（上）所谓“动点问题”是指图形中有一个或多个动点，在线段、射线或者弧线上运动的一类开放性题目，而解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活地运用相关数学知识解决问题在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题的基本思路数学压轴题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向，加强了对几何图形运动变化的考核，从变化的角度来研究三角形、四边形、函数图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究手段和方法来探究图形性质及变化让学生经历探索的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，把运动观点、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想有机地结合起来2目录一、利用
2、“垂线段最短”解决最值问题.2二、利用“三点共线”解决最值问题.11三、利用“轴对称变换”解决最值问题.21四、利用“旋转变换”解决最值问题.28五、“二次函数的最值性质”解决最值问题.42六、等腰三角形的存在性动点问题.55七、直角三角形的存在性动点问题.72一、利用“垂线段最短”解决最值问题【典型例题 1】难度3【思路分析】利用“垂线段最短”，线段 PE 的最小值即过 E 做 AB 的垂线段的长度.本题条件告诉了线段长度和比值，因此我们可以利用性质求最值的过程列方程求解（方程思想），同学们要好好领悟和掌握【答案解析】解：说明：此题还可用等面积法求解，同学们可自己尝试。【典型例题 2】难度4
3、【思路分析】AP 与直线 y=-x+4 垂直时，线段 AP 最短.本题同学们要熟练掌握含有 45角的直角三角形的三边的比例性质（下图中的 AM=PM=MN）.【答案解析】5【典型例题 3】难度【解题思路】【答案解析】6【典型例题 4】难度【答案解析】【典型例题 5】难度7【解题思路】【答案解析】【典型例题 6】难度8【思路分析】因为点 D 是动点，A 是定点所以线段 AD 是变化的，圆的大小也随 AD 变化，而弦 EF 是由圆 0 和ABC 确定的，所以当圆 0 的直径最小时，线段EF 的最小值也就确定了AD 何时最短？【答案解析】解：【典型例题 7】难度【答案解析】9【典型例题 8】难度【答
4、案解析】10【典型例题 9】难度【答案解析】【典型例题 10】难度【答案解析】11二、利用“三点共线”解决最值问题【典型例题 1】难度【思路分析】点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在 z 轴运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，线段 OB 的长度随之发生变化，因此需要寻找与点 O、点 B 有关的不变的量仔细观察，我们可以发现在运动过程中，点 O 在到 AC 的中点的距离不变，点 B 到 AC 的中点的距离也不变，然后求解即可【答案解析】解：12【典型例题 2】难度【答案解析】解：13【规律总结】在本例题中，主要涉及到三角形三边关系、直角三角形斜边上的中线、勾股定理、正方形的性质等
5、多个知识点为如何求一条线段最短提供了一个新的思路一一建立三角形，利用两边之和大于第三边的性质，再次强调三点共线时线段取最值【典型例题 3】难度14【思路分析】四边形 PQFE 的周长 PE+EF+FQ+PQ，其中 PQ 为定值，所以周长的最小值就是求 PE+EF+FQ 的最小值那么三条线段和的最小值如何求呢？利用作图构造兰条线段共线，来求得和的最小值连接 AC，延长 DA 至 M，使 AM=AP，延长 DC 到 N，使 CN=CQ，则当 E、F 是 MN 和 AB、BC 的交点时，四边形 PQFE 周长最小，则 PE+EF+FQ 的最小值是 MN 的长【答案解析】解：【典型例题 4】难度15【
6、思路分析】【答案解析】解：【典型例题 5】难度16【思路分析】【答案解析】解：【典型例题 6】难度17【答案解析】【典型例题 7】难度【答案解析】18【典型例题 8】难度【答案解析】19【典型例题 9】难度【答案解析】解：20【典型例题 10】难度21【答案解析】解：【扩展】三、利用“轴对称变换”解决最值问题【典型例题 1】难度22【思路分析】利用轴对称的性质解决一动点到两定点距离和最小的问题，辅助线方法是作某一定点的对称点（本题做 C 点的对称点，与 A 连接确定点 D），熟练运用此方法是本例题和变式的主要目的，同时运用到勾股定理、三角函数等相关知识本题做 C 点的对称点【答案解析】解：【典
7、型例题 2】难度23【思路分析】本题是轴对称一一最短路线问题在坐标系中的应用一个动点到两个定点距离和最小的问题，首先要明确对称轴是什么，然后根据轴对称作出最短路线，即可得出ABC 的周长最小时 C 点的坐标【答案解析】解：【典型例题 3】难度24【思路分析】本题是一定点到两动点距离和最小的问题那么应该用到了轴对称一一最短路线问题这部分知识，将两个变量线段通过作图转化到同一条线段上【答案解析】解：【典型例题 4】难度25【答案解析】解：【典型例题 5】难度【答案解析】解：26【典型例题 1】难度27【思路分析】构造包含所求线段的兰角形，通过三边关系求解；解直角三角形求出 AB、BC，再求出 CD
8、，连接 CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出 DC 有最大值再代人数据进行计算即可得【答案解析】解：28四、利用“旋转变换”解决最值问题【典型例题 1】难度【思路分析】构造包含所求线段的兰角形，通过三边关系求解；解直角三角形求出 AB、BC，再求出 CD，连接 CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出 DC 有最大值再代人数据进行计算即可得【答案解析】解：29【典型例题 2】难度30【思路分析】本题利用旋转等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质解直角三角形、直角三角
9、形斜边上的中线等于斜边的一半，通过运用旋转和作辅助线构，造特殊图形，利用垂线段最短的性质求得最小值【答案解析】解：【典型例题 3】难度31【思路分析】通过证一组三角形全等来证明 BE 和 AD 的数量关系及位置关系思考问题中要考虑点 E 在旋转过程中的运动轨迹通过构图发现 BE 的最大和最小值【答案解析】解：32【典型例题 4】难度【答案解析】解：33【典型例题 5】难度34【答案解析】解：35【典型例题 6】难度36【思路分析】【答案解析】解：37【典型例题 7】难度38【思路分析】【答案解析】解：3940【典型例题 8】难度【答案解析】41【典型例题 9】难度【答案解析】42五、“二次函数
10、的最值性质”解决最值问题【典型例题 1】难度【解题思路】【答案解析】43【典型例题 2】难度【解题思路】44【答案解析】【典型例题 3】难度【解题思路】45【典型例题 4】难度【解题思路】【答案解析】46【典型例题 5】难度47【答案解析】【典型例题 6】难度48【解题思路】【答案解析】【典型例题 7】难度49【答案解析】50【典型例题 8】难度【解题思路】51【答案解析】52【典型例题 9】难度【答案解析】【典型例题 10】难度53【答案解析】5455六、等腰三角形的存在性动点问题【典型例题 1】难度【解题思路】56【答案解析】57【典型例题 2】难度【答案解析】58【典型例题 3】难度【解
11、题思路】【答案解析】59【典型例题 4】难度【解题思路】60【答案解析】61【典型例题 5】难度【解题思路】【答案解析】6263【典型例题 6】难度【解题思路】【答案解析】64【典型例题 7】难度65【答案解析】6667【典型例题 8】难度【解题思路】【答案解析】68【典型例题 9】难度69【答案解析】7071【典型例题 10】难度【答案解析】【典型例题 11】难度72【答案解析】七、直角三角形的存在性动点问题【典型例题 1】难度73【答案解析】解：【总结】本例和上例考查了动点问题的运用涉及到含有 30 角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等,解答时根据相似列出等式关系是解题的关键【典
12、型例题 2】难度74【解题思路】【答案解析】解：75【典型例题 3】难度【答案解析】解：7677【总结】本例主要考查了等腰三角形的性质与一次函数的综合应用，根据数形结合进行分类讨论计算是解题的关键，注意不要漏解错解【典型例题 4】难度78【解题思路】【答案解析】解：7980【总结】本例综合考查了勾股定时腰三角形阳等腰昨角形切线的判定、相似三角形的性质和判定、轴对称性质、切线长定理、直线与圆的位置关系等多个知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题难度偏大，对学生提出了较高的要求，要求能够灵活应用方程思想和分类讨论思想【典型例题 5】难度【解题思路】【答案解析】解：8182【总结】本例综合考查了勾股定时腰三角形阳等腰昨角形切线的判定、相似三角形的性质和判定、轴对称性质、切线长定理、直线与圆的位置关系等多个知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题难度偏大，对学生提出了较高的要求，要求能够灵活应用方程思想和分类讨论思想【典型例题 7】难度83【答案解析】解：84【总结】解答此题的关键是借助图形，把形的关系转化为量的关系.本例题是很好的压轴题型【典型例题 8】难度85【答案解析】86【典型例题 9】难度【答案解析】解：878889