1、第二章函数、导数及其应用第九节函数与方程抓 基 础明 考 向提 能 力教 你 一 招我 来 演 练返回返回备考方向要明了考 什 么1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.返回怎 么 考1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图象与性质交汇命题.返回返回1.函数的零点(1)定义对于函数yf(x)(xD)，把使成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数
2、的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x)有f(x)0 x轴零点返回3函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数yf(x)在区间内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个也就是f(x)0的根f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)无交点零点个数两个一个零个(x1,0)，(x2,0)返回3用二分法求方程近似解(1)二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端
3、点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法f(a)f(b)0一分为二零点返回(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度.即：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.返回返回1(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是 ()答案：C返回答案：C返回3(教材习题改编)在以下区间中，存在函数
4、f(x)x33x3的零点的是 ()A1,0 B1,2C0,1 D2,3返回答案：C解析：注意到f(1)70，f(0)30，f(2)110，f(3)330，结合各选项知，选C.返回解析：由f(2)f(3)0可知答案：(2,3)返回答案：(2,0)5已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)x2xa在(0,1)上有零点f(0)f(1)0.即a(a2)0，解得2a0.返回返回1函数的零点不是点函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个
5、数字，而不是一个坐标返回2函数零点具有的性质对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：(1)当它通过零点(不是偶次零点)时，函数值变号；(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号返回3零点存在定理的零点个数(1)在(a，b)上存在零点(此处的零点不仅指变号零点)，个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个(2)若函数在(a，b)上有零点，不一定有f(a)f(b)0时，2ln x0，解得xe2，则f(x)在(0，)上有一个零点，所以f(x)共有2个零点返回返回答案C返回巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！)答案：B返回返回答案：D返回冲关锦囊函数零点的判断方法(1)直接求零点：
6、令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；返回(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点返回精析考题例2(2012济南模拟)若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下：那么方程x3x22x20的一个近似根(精确度0.1)为_f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1
7、.437 5)0.162f(1.406 25)0.054返回答案1.437 5(答案不唯一)自主解答通过参考数据可以得到：f(1.375)0.2600，且1.437 51.3750.062 50.1，所以，方程x3x22x20的一个近似根为1.437 5.返回3(2012锦州模拟)用二分法求方程x32x50在区间2,3上的近似解，取区间中点x02.5，那么下一个有解区间为_返回答案：2,2.5返回冲关锦囊求函数的零点在某精确度下的近似值，首先要熟练掌握用二分法求函数零点的一般步骤其次要注意正确计算，不能有小的计算错误第三确定好精确度，根据精确度终止计算.返回精析考题例4(2011辽宁高考改编)
8、已知函数f(x)exxa有零点，则a的取值范围是_返回自主解答f(x)exxa，f(x)ex1.令f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是增函数故f(x)minf(0)1a.若函数f(x)有零点，则f(x)min0.即1a0，a1.答案(，1返回若函数变为f(x)ln x2xa，其他条件不变，求a的取值范围返回返回巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！)4(2012天津联考)若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(2,2)B2,2C(，1)D(1，)返回答案：A解析：函数f(x)有3个不同的零点，即其图象与x轴有3个不同的交
9、点，因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可f(x)3x23，令3x230，则x1，故极值为f(1)和f(1)，f(1)a2，f(1)a2，所以应有(a2)(a2)0，故a(2,2)返回5(2012南通质检)已知函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是_答案：(2,3)解析：因为(1k)24k(1k)20对一切kR恒成立，又k1时，f(x)的零点x1(2,3)，故要使函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)f(3)0，即2k3.返回冲关锦囊此类利用零点求参数范围的问题，可利用方程，有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，
10、使得问题简单明了，这也体现了数形结合思想返回返回数学思想数形结合思想与转化化归思想在解决方程根的问题中的应用返回返回巧妙运用当x2时，f(x)3(x1)20，说明函数在(，2)上单调递增，函数的值域是(，1)，又函数在2，)上单调递减，函数的值域是(0,1方程f(x)k有两个不同的实根，转化为函数yf(x)和yk有两个不同的交点，如图所示，当0k1时直线yk与函数f(x)图象有两个交点，即方程f(x)k有两个不同的实根答案：(0,1)返回题后悟道解答本题利用了转化与化归、数形结合的思想，所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题本题是将不易直接解决的问题转化成两个熟悉的函数图象的交点问题，从而可利用图象求之 返回点击此图进入
