1、第 8 节 函数与方程 基础梳理考点突破知识整合 1.函数的零点 函数零点的概念 对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数y=f(x)的零点.方程的根与函数零点的关系 方程 f(x)=0 有实数根函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点函数 y=f(x)有零点.函数零点的存在定理 图象在a,b上连续不断,若 f(a)f(b)0,则 y=f(x)在(a,b)内存在零点.解方程 f(x)=0 利用零点存在性定理 函数存在零点的判断方法 数形结合 基础梳理 抓主干 固双基 质疑探究:当函数 y=f(x)在(a,b)内有零点时,是否一定有 f(a)f(b)0?提示:当函数 y=
2、f(x)在(a,b)内有零点时,不一定有f(a)f(b)0.2.二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系 0 =0 0)的图象 与 x 轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点 零点个数 两个 一个 零个 3.二分法(1)定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间缩小,使区间的两个端点逐步逼近 零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)步骤:给定精确度,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下:确定区间a,b,验证 f(a)f(b)0;求区间(a,b)的中点 c;(3)计算 f(c
3、);若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点;若 f(a)f(c)0,则令 b=c(此时零点 x0(a,c);若 f(c)f(b)0,则令 a=c(此时零点 x0(c,b).(4)判断是否达到精确度:即若|a-b|,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复.双基自测 1.(2012 年高考北京卷)函数 f(x)=1212xx 的零点个数为(B)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:函数 f(x)=1212xx 的零点个数为函数 p(x)=12x与函数 q(x)=12x图象的交点个数.在同一坐标系内画 出 p(x)=12x 与 q(x)=12x的图象如图所示,两图象只有一个交点,函数 f
4、(x)=12x-12x的零点个数为 1.故选 B.2.(2013 陕西西工大附中检测)函数 f(x)=ex+x-2的零点所在区间是(A)(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析:因为 f(x)=ex+x-2 的图象是连续不断的且是增函数,又 f(0)=e0+0-2=-10,所以函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的区间为(0,1).故选 A.3.(2013 揭阳一中高三月考)若函数 f(x)=x3+x2-2x-2,其参考数据如下:f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)-0.984,f(1.375)-0.260,f(1.4375)0.162,f(
5、1.40625)-0.054.则利用二分法计算方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似值(精确到 0.1)为(C)(A)1.2(B)1.3(C)1.4(D)1.5 解析:设函数 f(x)的零点为 x0,则由 f(1)f(1.5)0,得 x0(1,1.5),由 f(1.25)f(1.5)0,得 x0(1.25,1.5),由 f(1.375)f(1.5)0,得 x0(1.375,1.5),由 f(1.375)f(1.4375)0,得 x0(1.375,1.4375),由f(1.40625)f(1.4375)”“”填空).解析:设 g(x)=11x,h(x)=2x,由于函数g(x)=11x=-11
6、x 在(1,+)上单调递增,函数 h(x)=2x在(1,+)上单调递增,故函数 f(x)=h(x)+g(x)在(1,+)上单调递增,所以函数 f(x)在(1,+)上只有唯一的零点 x0,且在(1,x0)上 f(x1)0.答案:考点突破 剖典例 知规律 考点一 函数零点的个数问题【例 1】(2013 珠海高三摸底)f(x)=12,0,222,0 xxxx 则f(x)-x 的零点个数是 .思维导引:作出函数 y=f(x)及 y=x 的图象,借助图象求解.解析:函数 f(x)=12,0,222,0 xxxx 及 y=x 的图象如图所示,由图可得直线 y=x与函数 f(x)的图象有两个交点,由此可得
7、f(x)-x 有 2 个零点.答案:2 反思归纳 判断函数零点个数的常用方法有三种:(1)直接法.方程 f(x)=0 解的个数就是函数 y=f(x)零点的个数.(2)零点存在性定理法.利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且 f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数.(3)数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题;先画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数)即时突破 1(2012 年高考天津卷)函 f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3 解析:由 f
8、(x)=2x+x3-2 得 f(0)=-10,f(0)f(1)0,又函数在定义域上为增函数,故选 B.考点二 确定零点所在的区间【例 2】(2013 河南十所名校三联)设函数 f(x)=13x-ln x,则函数 y=f(x)()(A)在区间(1e,1),(1,e)内均有零点(B)在区间(1e,1),(1,e)内均无零点(C)在区间(1e,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点(D)在区间(1e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 思维导引:判断函数图象的连续性、函数在已知区间上的单调性,利用函数零点存在定理进行判断.解析:法一 当 x(1e,e)时,函数图象是连续的,且 f(x)=13-1
9、x=33xx0,f(1)=130,f(e)=13e-ln e0,所以函数有唯一的零点在区间(1,e)内.故选 D.法二 令 f(x)=0 得 13x=ln x.作出函数 y=13x和 y=ln x 的图象,如图,显然 y=f(x)在(1e,1)内无零点,在(1,e)内有零点.故选 D.反思归纳 在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点,在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性,确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理,有时可结合函数的图象辅助解题.即时突破 2(2013 陕西西安一中质检)在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为()(A)(-14,0)
10、(B)(0,14)(C)(14,12)(D)(12,34)解析:因为 f(x)=ex+4x-3 在 R 上是增函数,又 f(14)=14e+4 14-3=14e-2=14e-1146 0,所以函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为(14,12).故选 C.考点三 根据函数零点的情况求参数【例 3】(2013 山东滨州一模)定义在 R 上的偶函数 f(x),且对任意实数 x 都有 f(x+2)=f(x),当 x0,1时,f(x)=x2,若在区间-1,3内,函数g(x)=f(x)-kx-k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是 .思维导引:由 f(x+2)=f(x)及 x0,1时,
11、f(x)=x2确定函数 f(x)的图象,利用图象求解.解析:由 f(x+2)=f(x)得函数的周期为 2.令 g(x)=f(x)-kx-k=0,得 f(x)=kx+k=k(x+1),分别作出函数 y=f(x),y=k(x+1),x-1,3的图象,如图.要使函数有 4 个零点,则直线 y=k(x+1)的斜率满足 0kkAB,其中 B(-1,0),A(3,1),则 kAB=1031=14,所以 0k 14,即实数 k 的取值范围是(0,14.答案:(0,14 反思归纳 (1)已知函数零点个数求参数取值范围的常用方法是数形结合,即作出相应函数的图象,转化为图象交点的个数,建立不等式求解.(2)已知函
12、数有零点(方程有实根)求参数取值范围常用的方法和思路:直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;数形结合法:在同一平面直角坐标系中,画出相应函数的图象,然后数形结合求解.即时突破 3 函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)内有零点,则实数 a 的取值范围是 .解析:法一 f(x)在(0,1)上是增函数,则要使f(x)在(0,1)内有零点,必须且只需 00,10,ff 即0,20,aa 即-2a 14,则 f(x)可以是()(A)f(x)=2x-12 (B)f(x)=1-10 x(C)f(x)=-x2
13、+x-14(D)f(x)=ln(8x-2)解析:g(14)=2+12-2=2-320,则 g(12)g(14)0,所以 14x2 12.若为选项 A,则f(x)=2x-12的零点为 x1=14,所以 0 x2-14 14,所以|x1-x2|14,不满足题意;若为选项 B,f(x)=1-10 x的零点为 x1=0,所以 14x2-0 14;若为 选项 C,f(x)=-x2+x-14的零点为 x1=12,0 12-x2 14,所以|x1-x2|14,不满足题意;若为选项 D,f(x)=ln(8x-2)的零点为 x1=38,38-12 38-x2 38-14,即-18 38-x2 18,所以|x1-
14、x2|0).(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围;(2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异 实根.解:(1)法一 g(x)=x+2ex22e=2e,等号成立的条件是 x=e,故 g(x)的值域是2e,+),因而当 m2e 时,y=g(x)-m 有零点.法二 作出 g(x)=x+2ex(x0)的大致图象如图.可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m2e.(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的 交点,作出 g(x)=x+2ex(x0)的大致图象如图.f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e
15、)2+m-1+e2.其图象的对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2.故当 m-1+e22e,即 m-e2+2e+1 时,g(x)与f(x)有两个交点,即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.m 的取值范围是(-e2+2e+1,+).思想方法 数形结合思想在函数零点问题中的应用【典例】(2013 河北石家庄一模)已知函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数 g(x)=f(x)-m 在 x-2,5上有 3 个零点,则 m 的取值范围为()(A)(-24,8)(B)(-24,1(C)1,8(D)1,8)分析:函数 g(x)=f(x)-m 在 x-2,5上有 3 个零点,等价于方程
16、 f(x)=m 有 3 个不同的实根,亦 y=f(x)的图象与 y=m 有 3 个不同交点,因此,可先确定 y=f(x)的图象,然后结合图象求解.解析:f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),令 f(x)=0,得 x=-1 或 x=3.当 x-2,-1)时,f(x)0,函数 f(x)单调递增;当 x(-1,3)时,f(x)0,函数 f(x)单调递增.f(-2)=1,f(5)=8,函数图象大致如图所示.故要使方程g(x)=f(x)-m 在 x-2,5上有 3 个零点,只需函数 f(x)在-2,5内的函数图象与直线 y=m 有 3 个交点.故8,1,mm即 m1,8).故选 D.方法点
17、睛 在函数与方程问题中,可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象交点的问题,依据函数图象的特征,利用区间端点处的函数值、函数的极值等构造关于参数的不等式求解.即时突破(2013 北京昌平区高三期末统考)函数f(x)=log2(x+1)-x2的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3 解析:由 f(x)=log2(x+1)-x2=0 得 log2(x+1)=x2.令 y=log2(x+1),y=x2,在同一坐标系下分别作出 函数 y=log2(x+1),y=x2的图象,由图象可知两个函数的交点个 数为 2 个,所以函数 f(x)=log2(x+1)-x2 的零点个数为 2 个.故选 C.y=x2 y=log2(x+1)点击进入课时训练