1、课时作业18 导数与函数的零点问题1设 a 为实数，函数 f(x)x33xa.(1)求 f(x)的极值；(2)是否存在实数 a，使得方程 f(x)0 恰好有两个实数根？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)3x23，令 f(x)0，得 x1 或 x1.当 x(，1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0，解得 x1 或 x1；令 y0，解得1x1.yx33x 在(1,1)上为减函数，在(1，)和(，1)上为增函数当 x1 时，y 极大值2；当 x1 时，y 极小值2.yx33x 的大致图象如图所示ya 表示平行于 x 轴的一条直线，由图象知，当 a2 或 a2
2、 时，ya 与 yx33x 有两个交点故当 a2 或 a2 时，方程 f(x)0 恰好有两个实数根(备用题)已知函数 f(x)exaxa(aR 且 a0)(1)若函数 f(x)在 x0 处取得极值，求实数 a 的值，并求此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围解：(1)由 f(x)exaxa，得 f(x)exa.函数 f(x)在 x0 处取得极值，f(0)e0a0，a1.f(x)exx1，f(x)ex1.当 x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增易知 f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，且 f(2)1e23，f(1)e，f(2
3、)f(1)，f(x)在2,1上的最大值是1e23.(2)f(x)exa.当 a0 时，f(x)0，f(x)在 R 上单调递增，且当 x1 时，f(x)exa(x1)0；当 x0 时，取 x1a，则 f1a 1a1a1 a0，函数 f(x)存在零点，不满足题意当 a0 时，令 f(x)exa0，则 xln(a)当 x(，ln(a)时，f(x)0，f(x)单调递增，当 xln(a)时，f(x)取得极小值，也是最小值函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0，解得 xln2，令 f(x)0，解得 0 xln2，函数 f(x)的单调递增区
4、间为(，0)和(ln2，)，单调递减区间为(0，ln2)(2)f(x)ex(x1)ex2axx(ex2a)，f(x)为增函数，f(x)0 恒成立当 x0 时，ex2a0 恒成立，得 a12.当 x0 时，ex2a0 恒成立，得 a12.a12.f(x)(x1)ex12x2b12.由(x1)ex12x2b12bx，得(x1)ex12(x21)b(x1)当 x1 时，方程成立当 x1 时，只需要方程 ex12(x1)b 有 2 个实根令 g(x)ex12(x1)，则 g(x)ex12.当 xln12时，g(x)ln12且 x1 时，g(x)0，g(x)在(，ln12)上单调递减，在(ln12，1)
5、和(1，)上单调递增，g(ln12)1212(ln121)12ln2，g(1)e10，b(12ln2，e1)(e1，)3(2020长春质监)已知函数 f(x)exbx1(bR)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若方程 f(x)lnx 有两个实数根，求实数 b 的取值范围解：(1)由题意可得 f(x)exb，当 b0 时，f(x)0，f(x)在(，)上单调递增当 b0 时，若 xln(b)，则 f(x)0，f(x)在ln(b)，)上单调递增；若 xln(b)，则 f(x)0 时，求函数 f(x)的单调区间(2)当 a1 时，若函数 f(x)与函数 yx24xm(mR)的图象总有两个交点，设两个
6、交点的横坐标分别为 x1，x2.求 m 的取值范围；求证：x1x24.解：(1)由已知得，f(x)ae1x(xa1a)，由于 e1x0，a0，令 f(x)0 得 xa1a，令 f(x)a1a，当 a0 时，f(x)的单调递增区间是(，a1a，单调递减区间是(a1a，)(2)解法 1：令 g(x)f(x)x24xm(x1)e1xx24xm，g(x)(e1x2)(x2)，由 g(x)2，由g(x)0 得，x0，m1e4，m 的取值范围为(，1e4)解法 2：f(x)e1x(x2)，由 f(x)2，由 f(x)0 得，x228m，解得 m1e4，m 的取值范围为(，1e4)证明：由题意知，x1，x2 为函数 g(x)f(x)x24xm(x1)e1xx24xm 的两个零点，由知，不妨设 x12x2，则 4x24，只需证明 g(x1)g(4x2)，而 g(x1)g(x2)，只需证明 g(x2)g(4x2)