1、课时作业17 利用导数证明不等式1已知函数 f(x)aexlnx 的图象在 x1 处的切线与直线 x2ey0 垂直(1)求 a 的值；(2)证明：xf(x)15ex1.解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexlnxexx，则由题意知 f(x)的图象在 x1 处的切线的斜率 kf(1)ae2e，所以 a2.(2)证明：要证明 xf(x)15ex1，即证明 2xexlnx15ex1，x0，即证明 2xlnx5e1ex，令 g(x)2xlnx5e，则 g(x)2(lnx1)当 0 x1e时，g(x)1e时，g(x)0.所以 g(x)2xlnx5e在0，1e 上为减函数，在1e，上为
2、增函数，所以 g(x)ming1e 3e.因为 y1ex 在(0，)上为减函数，所以1ex11ex，所以 xf(x)15ex1.2(2020唐山模拟)已知 f(x)12x2a2lnx，a0.(1)求函数 f(x)的最小值；(2)当 x2a 时，证明：fxf2ax2a32a.解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)xa2x xaxax.当 x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递增所以当 xa 时，f(x)取得极小值，也是最小值，且 f(a)12a2a2lna.(2)证明：由(1)知，f(x)在(2a，)上单调递增，则所证不等式等价于 f(x)f(2a)32a(x2a)0.设 g(
3、x)f(x)f(2a)32a(x2a)，则 当 x2a 时，g(x)f(x)32 a x a2x 32 a 2xax2a2x0，所以 g(x)在(2a，)上单调递增，当 x2a 时，g(x)g(2a)0，即 f(x)f(2a)32a(x2a)0，故fxf2ax2a32a.3(2020湖南永州检测)已知函数 f(x)(x2x1)ex.(1)若 f(x)在区间(a，a5)上有最大值，求整数 a 的所有可能取值；(2)求证：当 x0 时，f(x)3lnxx3(2x24x)ex7.解：(1)f(x)(x2x2)ex(x2)(x1)ex，当 x0，f(x)单调递增，当2x1 时，f(x)1 时，f(x)
4、0，f(x)单调递增由题意知 a2a5，得7a2，则 a6，5，4，3.当 a6，5，4 时，显然符合题意，当 a3 时，f(2)5e2，f(2)e2，f(2)f(2)，不符合题意，舍去故整数 a 的所有可能取值为6，5，4.(2)证明：f(x)3lnxx3(2x24x)ex7 可化为(x23x1)ex3lnxx37，令 g(x)(x23x1)ex，h(x)3lnxx37，则 g(x)(x2x2)ex，h(x)3x31x，当 0 x0，g(x)单调递增，当 x2 时，g(x)0，g(x)单调递减，所以 g(x)的最大值为 g(2)e2.当 0 x1 时，h(x)1 时，h(x)0，h(x)单调
5、递增，所以 h(x)的最小值为 h(1)8，又 8e2，所以 g(x)的最大值小于 h(x)的最小值，故 x0 时，恒有 g(x)h(x)，即 f(x)0)(1)若函数 f(x)有且只有一个零点，求实数 k 的值；(2)求证：当 nN*时，112131nln(n1)解：(1)f(x)kxlnx1，f(x)k1xkx1x(x0，k0)；当 0 x1k时，f(x)1k时，f(x)0.f(x)在0，1k 上单调递减，在1k，上单调递增，f(x)minf1k lnk，f(x)有且只有一个零点，lnk0，k1.(2)证明：由(1)知 xlnx10，即 x1lnx，当且仅当 x1 时取等号，nN*，令 x
6、n1n，得1nlnn1n，112131nln21ln32lnn1n ln(n1)，故 112131nln(n1)5(2020河北衡水统考)已知函数 f(x)x2eax1.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 ae3时，求证：f(x)lnx(x0)解：(1)函数 f(x)的定义域为 R，f(x)2xeaxx2aeaxx(ax2)eax.当 a0 时，f(x)x21，则 f(x)在区间(0，)上单调递增，在区间(，0)上单调递减当 a0 时，f(x)ax(x2a)eax，令 f(x)0，得 x0，令 f(x)0 得2ax0，所以 f(x)在区间(，2a)，(0，)上单调递增，在(2a，0)上单调递减当 a0，得 0 x2a，令 f(x)2a或 x0 时，f(x)在区间(，2a)，(0，)上单调递增，在区间(2a，0)上单调递减；当 alnx(x0)，即证 x2eaxlnx1，即证eaxxlnx1x3(x0)令 g(x)lnx1x3(x0)，则 g(x)x31xlnx13x2x6所以 h(x)在区间(0，1a)上单调递减，在区间(1a，)上单调递增，所以 x1a是 h(x)的极小值点，也是 h(x)的最小值点，即h(x)minh(1a)ae.当 ae3时，g(x)e23lnx 成立
