1、平面向量的数量积及其应用自主梳理1向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为，则数量_.|a|b|cos _叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作_ ab|a|b|cos _，其中向量的投影：b cos=|a baR，称为向量b 在a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影；注意 在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围 0180。规定：零向量与任一向量的数量积为_ 0_.即00a（2）平面向量数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影_|b|cos _的乘积.(3)平面向量数量积的重要性质：如果 e 是单位
2、向量，则 aeea_|a|cos _；非零向量 a，b，ab_ab0_；当 a 与 b 同向时，ab_|a|b|_；（两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是_ ab0_）当 a 与 b 反向时，ab_|a|b|_，aa_ a2_|a|2_，|a|_ aa_；（两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是_ ab|a|b|_）cos _ ab|a|b|_；|ab|_|a|b|.2向量数量积的运算律(1)交换律：ab_ ba _；(2)分配律：(ab)c_ acbc _；(3)数乘向量结合律：(a)b_(ab)_.3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即
3、若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y(2)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20.(3)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos _121222221122x xy yxyxy_.C(4)若 a(x，y)，则|a|222xy或|a|x2y2.(5)若 A（x1，y1），B（x2，y2），则 AB_(x2x1，y2y1)_，所以|AB|_222121x-x)+y-y)（_.点评：1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的
4、数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围.2.ab0 不能推出 a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能 ab.3.一般地，(ab)c(bc)a 即乘法的结合律不成立.因 ab 是一个数量，所以(ab)c 表示一个与 c共线的向量，同理右边(bc)a 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，故一般情况下(ab)c(bc)a.4.abac(a0)不能推出 bc，即消去律不成立.5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形 ABC 中，AB，BC应为 120，而不是 60.自我检测1.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135，|a|2，|b|3，则向量 a 和向量 b 的数量积 ab_
5、3 2 _.2.在 RtABC 中，C=90,AC=4,则ABAC等于()A16B8C8D163已知向量 a，b 满足 ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|()A0B2 2C4D8B 2(22)abab2244aa bb 82 2.4.已知 ab，|a|2，|b|3，且 3a2b 与 ab 垂直，则实数 的值为_32_.5.已知 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_ 655 _.6.设 a，b，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有_(ab)c(ca)b0；|a|b|0 且 ab 不同向即|i|22|j|20，0)得 2.12且 2.（4）已知直角梯
6、形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_解 以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPy.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，PA(2，y)，PB(1，ay)，PA3PB(5,3a4y)，|PA3PB|225(3a4y)2，点 P 是腰 DC 上的动点，0ya，因此当 y34a 时，|PA3PB|2 的最小值为 25，|PA3PB|的最小值为 5.题型三 平面向量的垂直问题例 3 已知 a(cos，sin)，b(cos，sin)(0
7、).(1)求证：ab 与 ab 互相垂直；(2)若 kab 与 akb 的模相等，求.(其中 k 为非零实数)(1)证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab 与 ab 互相垂直.(2)解 kab(kcos cos，ksin sin)，akb(cos kcos，sin ksin)，|kab|22(coscos)(ss)kk inin=22 cos()1kk，|akb|212 cos()kk.|kab|akb|，2kcos()2kcos().又 k0，cos()0.而 0，00)求证：ab 与 ab 垂直；用 k 表示 ab；求 ab 的最小值以
8、及此时 a 与 b 的夹角.点拨：1.非零向量 abab0 x1x2y1y20.2当向量 a 与 b 是非坐标形式时，要把 a、b 用已知的不共线的向量表示但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异解 由题意得，|a|b|1，(ab)(ab)a2b20，ab 与 ab 垂直|kab|2k2a22kabb2k22kab1，(3|akb|)23(1k2)6kab.由条件知，k22kab13(1k2)6kab，从而有，ab1k24k(k0)由(2)知 ab1k24k 14(k1k)12，当 k1k时，等号成立，即 k1.k0，k1.此时 cos ab|a|b|12，
9、而 0，3.故 ab 的最小值为12，此时 3.（3）设向量 a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)若 a 与 b2c 垂直，求 tan()的值；求|bc|的最大值；若 tan tan 16，求证：ab.解 因为 a 与 b2c 垂直，所以 a(b2c)4cos sin 8cos cos 4sin cos 8sin sin 4sin()8cos()0.因此 tan()2.解 由 bc(sin cos，4cos 4sin)，得|bc|22sincos)(4cos4sin)（1715sin 24 2.又当 4时，等号成立，所以|bc|的最大值为 4 2.证明 由 t
10、an tan 16 得 sinsin16coscos 即16coscossinsin0所以 ab.（4）如图 441 所示，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，CACB，D 为 BC 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE2EB.求证：ADCE.解 AD CE(AC12CB)(CA23AB)|AC|212CBCA23ABAC13ABCB|AC|212|CB|CA|cos 902 23|AC|2cos 45 23|AC|2cos 45|AC|2|AC|20，AD CE，即 ADCE.,（5）在ABC 中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，且ABC 的一个内角为直角，求 k 值解：当 A
11、=90时，AB AC=0，21+3k=0 k=23当 B=90时，AB BC=0，BC=AC AB=(12,k3)=(1,k3)2(1)+3(k3)=0 k=311当 C=90时，AC BC=0，1+k(k3)=0 k=2133 题型四 向量的数量积在三角函数中的应用例 4 已知向量 acos 32x，sin 32x，bcos x2，sin x2，且 x3，4.(1)求 ab 及|ab|；(2)若 f(x)ab|ab|，求 f(x)的最大值和最小值解(1)abcos 32xcos x2sin 32xsin x2cos 2x，|ab|cos 32xcos x22sin 32xsin x22 22
12、cos 2x2|cos x|，x3，4，cos x0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x12cos x12232.x3，4，12cos x1，当 cos x12时，f(x)取得最小值32；当 cos x1 时，f(x)取得最大值1.变式迁移 4 （1）已知ABC 的面积 S，12ABAC3S，且 cos B35，求 cos C.解 由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c，则 S12bcsin A12ABAC12bccos A3S 32bcsin A 0，A0，2，cos A3sin A.又 sin2Acos2A1，sin A 10
13、10，cos A3 1010.由题意 cos B35，得 sin B45.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B 1010.cos Ccos(AB)1010.（2）已知ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，G 是ABC 的重心，且 56sin A GA 40sin B GB 35sin C GC 0.(1)求角 B 的大小；(2)设 m(sin A，cos 2A)，n(4k,1)(k1)，mn 的最大值为 5，求实数 k 的值解：(1)由 G 是ABC 的重心，得 GA GB GC 0，GC=-(GA+GB)，由正弦定理，可将已知等式转化为GA+40b GB+3
14、5c(-GA-GB)=0a56整理，得(56a35c)GA(40b35c)GB 0.GA，GB 不共线，56a35c0，40b35c0.由此，得 abc578.不妨设 a5，b7，c8，由余弦定理，得 cos Ba2c2b22ac52827225812.0B1 时，f(t)在(0,1上为增函数，所以，当t1 时，mn 取得最大值 5.于是有：24k15，解得 k32，符合题意，所以，k32.（3）已知等边三角形 ABC 的边长为 2，A 的半径为 1，PQ 为A 的任意一条直径，判断 BP CQAP CB的值是否会随点 P 的变化而变化，请说明理由；求 BP CQ的最大值。1一些常见的错误结论
15、：(1)若|a|b|，则 ab；(2)若 a2b2，则 ab；(3)若 ab，bc，则 ac；(4)若 ab0，则 a0 或 b0；(5)|ab|a|b|；(6)(ab)ca(bc)；(7)若 abac，则 bc.以上结论都是错误的，应用时要注意2平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量 a 与 b 的夹角.向量表示坐标表示向量 a 的模|a|aa a2|a|x21y21a 与 b 的数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2a 与 b 共线的充要条件Ab(b0)ababx1y2x2y10非零向量 a，b 垂直的充要条件abab0abx1x2y
16、1y20向量 a 与 b 的夹角cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21x22y223.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：（1）要证 AB=CD，可转化证明AB 2CD 2 或|AB|CD|.（2）要证两线段 ABCD，只要证存在唯一实数 0，使等式ABCD 成立即可（3）要证两线段 ABCD，只需证ABCD 0.平面向量的数量积及其应用练习一一、选择题1若向量 a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数 m 的值为()A32B.32C2D61D 因为 ab6m0，所以 m6.2已知非零向量 a，b，若|a|b|1，且 ab，又知(2a3b)(ka4b)，则实数
17、 k 的值为()A6B3C3D62D 由(2a3b)(ka4b)0 得 2k120，k6.3.已知ABC 中，ABa，ACb，ab0，SABC154，|a|3，|b|5，则BAC 等于()A30B150C150D30或 1503C SABC12|a|b|sinBAC154，sinBAC12.又 ab1，则实数 k 的取值范围是()A.(，0)B.(2，)C.(，0)(2，)D.(0,2)二、填空题11设 a(cos 2，sin)，b(1，2sin 1)，2，若 ab25，则 sin _.解析 abcos 22sin2sin 25，12sin22sin2sin 25，sin 3512若|a|1，
18、|b|2，cab，且 ca，则向量 a 与 b 的夹角为_解析 设 a 与 b 的夹角为，cab，ca，ca0，即(ab)a0.a2ab0.又|a|1，|b|2，12cos 0.cos 12，0，180即 120.13已知向量 m(1,1)，向量 n 与向量 m 夹角为34，且 mn1，则向量 n_.解析 设 n(x，y)，由 mn1，有 xy1.由 m 与 n 夹角为34，有 mn|m|n|cos 34，|n|1，则 x2y21.由解得x1y0或x0y1，n(1,0)或 n(0，1)14.已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3，若向量 b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2_6_.
19、三、解答题15.设两向量 e1、e2 满足|e1|2，|e2|1，e1、e2 的夹角为 60，若向量 2te17e2 与向量 e1te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.解 e214，e221，e1e221cos 601，(2te17e2)(e1te2)2te21(2t27)e1e27te222t215t7.向量 2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角，2t215t70.7t12.假设 2te17e2(e1te2)(0)2t7t 2t27t 142，14.当 t 142 时，2te17e2 与 e1te2 的夹角为，不符合题意.t 的取值范围是7，142 142，12.16.在平
20、面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B(2,3)，C(2，1).(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(ABtOC)OC 0，求 t 的值.解(1)由题设知AB(3,5)，AC(1,1)，则ABAC(2,6)，ABAC(4,4).所以|ABAC|2 10，|ABAC|4 2.故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.(2)由题设知OC(2，1)，ABtOC(32t,5t).由(ABtOC)OC 0，得(32t,5t)(2，1)0，从而 5t11，所以 t115.17.已知OA(2,5)，OB(3,1)，OC(6,3)，在线段 OC
21、 上是否存在点 M，使MA MB，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解设存在点 M，且OM OC(6，3)(01)，MA(26，53)，MB(36，13)(26)(36)(53)(13)0，即 45248110，解得 13或 1115M 点坐标为(2,1)或225，115.故在线段 OC 上存在点 M，使MA MB，且点 M 的坐标为(2,1)或(225，115)平面向量的数量积及其应用练习二一、选择题1设,x yR,向量4,2,1,1,cybxa,且cbca/,则_ba（）A 5B 10C2 5D10【解 析】由02402aca cxx,由/422bcyy ,故22|(2 1)
22、(1 2)10ab.2、定义：=sinabab，其中 为向量a 与b 的夹角，若2a，5b，6 a b，则ab 等于（）A8B8C8或8D6【解 析】由2a，5b，6 a b，得54s i n,53c o s，所 以=s i nabab=854523若向量 a 与 b 不共线，ab0，且 caaaab b，则向量 a 与 c 的夹角为_解析：由于 acaaaaabb aaaaabab，又 ab0，ac|a|2|a|20，所以 ac.答案：904如图，非零向量则若为垂足且,aOCCOABCbOBaOA（）A2|aba B|baba C2|bba Dbaba|5在 OAB中，OAa，OBb，OD
23、是 AB 边上的高，若 ADAB，则实数 等于（）A2()abaabB2()aababC()abaabD()aabab6已知|2|0ab,且关于 x 的方程2|0 xa xa b 有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是A.0,6 B.,3 C.2,33D.,6 解：,0|2|ba且关于 x 的方程0|2baxax有实根，则2|4aa b 0，设向量,a b 的夹角为，cos=|a bab221|1412|2aa，,3，选 B.7.设非零向量a、b、c 满足cbacba|,|，则ba,()A150 B.120 C.60 D.308、（2012 湖南理）在ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC
24、=1 则_BC.（）A 3B 7C2 2D 23【解析】由下图知 AB BC=cos()2(cos)1AB BCBBCB .1cos2BBC.又由余弦定理知222cos2ABBCACBAB BC,解得3BC.9在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)OP,将向量OP 按逆时针旋转 34 后,得向量OQ，则点Q 的坐标是（）A(7 2,2)B(7 2,2)C(4 6,2)D(4 6,2)二、填空题10.若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为12，则 与 的夹角 的取值范围是_6，56 _.11.已知向量 a，b，c 满足 abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a
25、|2|b|2|c|2 的值是_4 _.12.已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0OP OM1,0OP ON 1，则 zOQ OP 的最大值为_3_.三、解答题13.设平面上有两个向量 a(cos，sin)(0360)，b12，32.(1)求证：向量 ab 与 ab 垂直；(2)当向量 3ab 与 a 3b 的模相等时，求 的大小.证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)1434 0，故 ab 与 ab 垂直.(2)解 由|3ab|a 3b|，两边平方得3|a|22 3ab|b|2|a|22 3ab3|b|2，所以 2(|a|2|b|2)4 3ab0，而|a|b|，所以 ab0，则12 cos 32 sin 0，即 cos(60)0，60k18090，即 k18030，kZ，又 01)，n6 或 n23(舍)，b(2,6).(2)由(1)知，ab10，|a|25.又 c 与 b 同向，故可设 cb(0)，(ca)a0，ba|a|20，|a|2ba 51012，c12b(1,3).