1、第 11 节 导数的简单应用 基础梳理考点突破知识整合 1.函数的单调性与导数(1)函数 y=f(x)在某个区间内可导 若 f(x)0,则 f(x)在这个区间内单调递增;若 f(x)0吗?f(x)0是否是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件?提示:函数 f(x)在(a,b)内单调递增,则 f(x)0,f(x)0 是 f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值与导数(1)函数极小值的概念满足 函数 y=f(x)在点 x=a 处的函数值 f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小;f(a)=0;在点 x=a 附近的左侧 f(x)0;则点 x=a 叫做函数 y=f(x)的
2、极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.(2)函数极大值的概念满足 函数 y=f(x)在点 x=b 处的函数值 f(b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大;f(b)=0;在点 x=b 附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)0;则点 x=b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值;极小值点与极大值点统称为极值点,极小值与极大值统称为极值.(3)求可导函数极值的步骤 求导数 f(x);求方程 f(x)=0 的根;列表,检验 f(x)在方程 f(x)=0 的根左右两侧的符号(判断 y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减),那么 f(
3、x)在这个根处取得极大值.如果左负右正(左减右增),那么 f(x)在这个根处取得极小值.如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.质疑探究 2:f(x0)=0 是可导函数 f(x)在 x=x0处取极值的什么条件?提示:必要不充分条件,因为当 f(x0)=0 且 x0左右两端的导数符号变化时,才能说 f(x)在 x=x0处取得极值.反过来,如果可导函数 f(x)在 x=x0处取极值,则一定有 f(x0)=0.3.函数的最值与导数 求函数 y=f(x)在闭区间a,b上的最大值与最小值的步骤:(1)求 y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、
4、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.4.生活中的优化问题 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中,解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系),再利用导数研究其单调性和最值,解题过程中要时刻注意实际问题的意义.双基自测 1.(2013 广州市二模)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则其导函数 y=f(x)的图象可能是(A)解析:在 y轴的右侧,函数y=f(x)单调递减,f(x)0),令 y0 得210,0,xx 解得 00,当 0 x2 时,f(x)2 时,f(x)0,所以 x=2 是函数 f(x)的极小值点,故选 D.4.已知
5、a0,函数 f(x)=x3-ax 在1,+)上是单调增函数,则 a 的取值范围为 .解析:f(x)=3x2-a,f(x)在1,+)上单调递增,3x2-a0 在1,+)上恒成立.x1,+)时,a(3x2)min=3,a3.答案:(-,3 考点突破 剖典例 知规律 考点一 利用导数研究函数的单调性【例 1】(2013 安徽省六校联考)已知函数 f(x)=(x2-ax)ex(xR),a 为实数.(1)当 a=0 时,求函数 f(x)的单调增区间;(2)若 f(x)在闭区间-1,1上为减函数,求 a 的取值范围.思维导引:(1)求导,由 f(x)0 可得单调增区间;(2)求导,转化为 f(x)0 在区
6、间-1,1上恒成立问题.解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2ex,f(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex,由 f(x)0 x0 或 x0(或 f(x)0,故 f(x)在(-,-2)上为增函数;当 x(-2,1)时,f(x)0,故 f(x)在(1,+)上为增函数.从而函数 f(x)在 x1=-2 处取得极大值 f(-2)=21,在 x2=1 处取得极小值 f(1)=-6.反思归纳 运用导数求可导函数 y=f(x)的极值的步骤:(1)先求函数的定义域,再求函数 y=f(x)的导数 f(x);(2)求方程 f(x)=0 的根;(3)检查 f(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,
7、那么 f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值.如果左右符号相同,则在这个根处不存在极值.即时突破 2(2013 惠州市一模(文)已知 f(x)=ln x,g(x)=13x3+12x2+mx+n,直线 l与函数 f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0).(1)求直线 l 的方程及 g(x)的解析式;(2)若 h(x)=f(x)-g(x)(其中 g(x)是 g(x)的导函数),求函数 h(x)的极大值.解:(1)直线 l 是函数 f(x)=ln x 在点(1,0)处的切线,故其斜率 k=f(1)=1,直线 l 的方程为 y=x-1.又因为直线 l 与 g
8、(x)的图象相切,且切于点(1,0),g(x)=13x3+12x2+mx+n 在点(1,0)的导函数值为 1.10,11gg 1,16,mn g(x)=13 x3+12 x2-x+16.(2)h(x)=f(x)-g(x)=ln x-x2-x+1(x0),h(x)=1x-2x-1=212xxx=-211xxx 令 h(x)=0,得 x=12或 x=-1(舍去).当 0 x0,h(x)单调递增;当 x 12时,h(x)0,故 f(x)在(-,-2)上为增函数;当 x(-2,2)时,f(x)0,故 f(x)在(2,+)上为增函数.由此可知 f(x)在 x=-2 处取得极大值f(-2)=16+c,f(
9、x)在 x=2 处取得极小值 f(2)=c-16.由题设条件知 16+c=28,解得 c=12.此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此 f(x)在-3,3上的最小值为 f(2)=-4.反思归纳 求函数 f(x)在a,b上最值的方法(1)若函数 f(x)在a,b上单调递增或递减,f(a)与 f(b)一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数 f(x)在区间(a,b)内有极值,先求出函数 f(x)在区间(a,b)上的极值,与 f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(3)函数 f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时,
10、这个极值点就是最大(或最小)值点.即时突破3 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a、b,使 f(x)在-1,2上取得最大值 3、最小值-29?若存在,求出 a、b 的值,若不存在,请说明理由.解:存在.显然 a0,f(x)=3ax2-12ax=3a(x2-4x).令 f(x)=0,得 x=0 或 x=4(舍去).当 a0 时,f(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表:x(-1,0)0(0,2)f(x)+0-f(x)极大值 当 x=0 时,f(x)取得最大值,f(0)=3,b=3.又 f(-1)=-7a+3f(2)=-16a+3,最小值 f(2)=-16a+3=-29,a=2
11、.当 a0 时,f(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表:x(-1,0)0(0,2)f(x)-0+f(x)极大值 当 x=0 时,f(x)取得最小值,b=-29.又 f(-1)=-7a-290;当 x(-2,-ln 2)时,f(x)0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值;(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为 28,求 k 的取值范围.解:(1)由 f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,得 f(x)=2ax,g(x)=3x2+b,曲线 y=f(x)与曲线 y=
12、g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,(1),(1),(1)(1),fcgcfg 即1,1,23.acbcab 解得 a=b=3,c=4,所求 a,b 的值为 a=3,b=3.(2)设 P(x)=f(x)+g(x),则 a=3,b=-9 时,P(x)=x3+3x2-9x+1,P(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),令 P(x)=0,得 x1=-3,x2=1.x,P(x),P(x)的变化如下表:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,2)2 P(x)+0-0+P(x)极大值 28 极小值-4 3 由此可知,当 k-3 时,函数 P(x)在区间k,2上的最大值为 P(-3)=28
13、.当-3k2 时,函数 P(x)在区间k,2上的最大值小于 28.所求 k 的范围是(-,-3.命题探究 导数在求函数最值中的应用【典例】(2013 年高考广东卷)设函数 f(x)=x3-kx2+x(kR).(1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间;(2)当 k0 获得函数的单调区间.(2)利用导数确定函数 f(x)在k,-k上的单调性,比较端点函数值及极值的大小确定函数的最值,含有参数 k 需分类讨论解决.解:(1)当 k=1 时,f(x)=x3-x2+x,f(x)=3x2-2x+1.方程 3x2-2x+1=0 的判别式=4-43=-80 恒成立.f(x)的单调递增区间为(-,+).
14、函数 f(x)无单调递减区间.(2)当 k0 时,f(x)=3x2-2kx+1,方程 3x2-2kx+1=0 的判别式=4k2-43=4(k2-3),当0 时,有 k2-30,即-3 k0 时,有 k2-30,即 k-3,令 f(x)=3x2-2kx+1=0 得 x1=233kk0,x2=233kk0,且 x1x20,于是 kx1x20,当 kxx1或 x2x0,f(x)为增函数;当 x1xx2时,f(x)f(x1).321x-2kx1+1=0,k21x=31132xx,f(x1)=31x-k21x+x1=31x-31132xx+x1=3112xx,f(-k)-f(x1)=(-2k3-k)-3
15、112xx=-2k3-k+3112 x-12x1=-2k3+3112 x+112kx,又-k-12x10,要证 f(-k)f(x1),只需证-2k3+3112 x 031x 4k3x1 3 4 k,由 kx1 3 4 k 显然成立,f(-k)f(x1).再证 f(k)f(x2).同理 f(x2)=3222xx,有 f(k)-f(x2)=k-3222xx=12(k-x2)+12(k+32x)0,f(k)f(x2).综上所述,M=f(-k)=-2k3-k,m=f(k)=k.命题意图 本题题干背景简单主要考查利用导数求函数的单调区间和最值.求函数最值时需确定函数的单调性,而导函数中含有参数 k,需对 k 的取值范围进行分类讨论,体现了分类讨论思想的应用,在解题过程中需比较 k、x1、x2、0 的大小关系及区间端点的函数值与极值的大小关系,考查了推理论证及运算能力.点击进入课时训练