1、第 3 节 变量间的相关关系与独立性检验 基础梳理考点突破知识整合 1.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是相关关系;与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为正相关,点分布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为负相关.基础梳理 抓主干 固双基 质疑探究 1:相关关系与函数关系有何异同点?提示:(1)相同点:两者均是指两个变量的关系.(2)不同点:函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的关系.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关
2、系.2.回归方程与回归分析(1)线性相关关系与回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.(2)回归方程 最小二乘法:求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.回归方程:方程 y=b x+a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)的回归方程,其中 a,b 是待定数.1122211()(),().nniiiiiinniiiixx yyx ynxybxxxnxaybx(3)回归分析 定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.样本点
3、的中心:在具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)中,x=1n(x1+xn),y=1n(y1+yn),a=y-bx,(x,y)称为样本点的 中心.相关系数 a.r=12211()()()()niiinniiiixx yyxxyy;b.当 r0 时,表明两个变量正相关;当 r3.841,则有 95%以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”.故选 C.3.(2012 年高考新课标全国卷)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)(n2,x1,x2,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,n)都在直线y=12x+1 上,则这组样本
4、数据的样本相关系数为(D)(A)-1(B)0 (C)12 (D)1 解析:样本点都在直线上时,其数据的估计值与真实值是相等的,即 yi=iy,所以 r=1.故选 D.4.(2013 年高考湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:y 与 x 负相关且 y=2.347x-6.423;y 与 x 负相关且 y=-3.476x+5.648;y 与 x 正相关且 y=5.437x+8.493;y 与 x 正相关且 y=-4.326x-4.578.其中一定不正确的结论的序号是(D)(A)(B)(C)(D)解析:若 y 与 x 正相关,则
5、回归直线的斜率为正,若y与x负相关,则回归直线的斜率为负,因此一定不正确,故选 D.考点突破 剖典例 知规律 考点一 相关关系的判断【例 1】某公司的科研人员在 7 块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量y 影响的试验,得到如表所示的一组数据(单位:kg)施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量 y 330 345 365 405 445 450 455(1)画出散点图;(2)判断是否具有相关关系.思维导引:(1)将各对应的数据作为点的坐标画在平面直角坐标系中,横轴与纵轴的数据单位可分别确定;(2)观察各点是否在一条直线附近.解:(1)散点
6、图如图所示(2)由散点图知,各组数据对应点大致都在一条直线附近,所以施化肥量 x 与产量 y 具有线性相关关系.反思归纳(1)散点图中的点大致在一条直线附近,就说明两个变量之间具有线性相关关系,否则就说明不具有线性相关关系.(2)由 x、y 的一组数据代入两变量的相关系数的计算公式 r=12211()()()()niiinniiiixx yyxxyy 若 r-1,-0.750.75,1,则两变量相关性很强.若 r(-0.75,-0.300.30,0.75),则两变量相关性一般,否则即说无相关性.即时突破 1 对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,10),得散点图(1);对变量
7、u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断()(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关(B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关(C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关(D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 解析:由正、负相关的定义知,x 与 y 负相关;u 与 v 正相关,故选 C.考点二 线性回归方程【例 2】某电脑公司有 5 名产品推销员,其工作年限与年推销金额的数据如表:推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限 x/年 3 5 6 7 9 推销金额 y/万元 2 3 3 4 5(1)以工作年限为自
8、变量 x,推销金额为因变量 y,作出散点图;(2)求年推销金额 y 关于工作年限 x 的回归直线方程;(3)若第 6 名推销员的工作年限为 11 年,试估计他的年推销金额.思维导引:(1)先用散点图判断 x、y 的线性相关关系;(2)求回归直线方程;(3)作出估计.解:(1)依题意,画出散点图如图所示,(2)从散点图可以看出,这些点大致在一条直线附近,说明变量 x、y 具有线性相关关系,所以设回归直线方程为 y=b x+a,则 b=51521()()()iiiiixx yyxx=1020=0.5,a=y-bx=0.4,年推销金额 y 关于工作年限 x 的回归直线方程为 y=0.5x+0.4.(
9、3)由(2)可知,当 x=11 时,y=0.5x+0.4=0.511+0.4=5.9(万元).可以估计第 6 名推销员的年推销金额为 5.9 万元.即时突破 2(2013 揭阳一模)一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高,现对 10 名成年人的脚掌长 x 与身高 y 进行测量,得到数据(单位均为 cm)作为一个样本如表所示.脚掌长(x)20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 身高(y)141 146 154 160 169 176 181 188 197 203(1)在上表数据中,以“脚掌长”为横坐标,“身高”为纵坐标,作出散点图后,发现散点在一条直线附近,试求“身高”与
10、“脚掌长”之间的线性回归方程 y=bx+a;(2)若某人的脚掌长为 26.5 cm,试估计此人的身高.(参考数据:101()()iiixxyy=577.5,1021()iixx=82.5)解:(1)记样本中 10 人的“脚掌长”为 xi(i=1,2,10),“身高”为 yi(i=1,2,10),则 b=1011021()()()iiiiixx yyxx=577.582.5=7.x=121010 xxx=24.5,y=121010yyy=171.5,a=y-b x=0,y=7x.(2)由(1)知 y=7x,当 x=26.5 时,y=726.5=185.5(cm),故估计此人的身高为 185.5
11、cm.考点三 独立性检验【例 3】(2013 深圳二调)2013 年 3 月 14 日,CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象.为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关,某大学实验室随机抽取了 60 个样本,得到了相关数据如下表:混凝土耐 久性达标 混凝土耐久 性不达标 总计 使用淡化海砂 25 5 30 使用未经淡化海砂 15 15 30 总计 40 20 60 根据表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关?参考数据:P(K2k)0.10 0.050 0.025 0.010 0.0
12、01 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解:提出假设 H0:使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关.根据表中数据,求得 K2的观测值 k=2260(25 15 15 5)304020=7.56.635.查表得 P(K26.635)=0.010,故能在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关.反思归纳(1)独立性检验的一般步骤:根据样本数据制成 22 列联表;根据公式 K2=2()()()()()n adbcab cd ac bd计算 K2的值;查表比较 K2与临界值的大小关系,作统计判断.(2)在实际问题中,独立性检验的结论也
13、仅仅是一种数学关系,得到的结论也可能犯错误.即时突破 3(2013 北京西城区质量检测)在一次对性别与说谎是否相关的调查中,得到如下数据:说谎 不说谎 合计 男 6 7 13 女 8 9 17 合计 14 16 30 根据表中数据,得到如下结论中正确的一项是()(A)在此次调查中有 95%的把握认为是否说谎与性别有关(B)在此次调查中有 99%的把握认为是否说谎与性别有关(C)在此次调查中有 99.5%的把握认为是否说谎与性别有关(D)在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关 解析:由于 K2=230(6 97 8)13 17 14 160.0024,由于 K2很小,因此,在此次调查中没有
14、充分的证据显示说谎与性别有关.故选 D.备选例题【例 1】某百货公司 16 月份的销售量 x 与利润 y的统计数据如表:月份 1 2 3 4 5 6 销售量 x(万件)10 11 13 12 8 6 利润 y(万元)22 25 29 26 16 12(1)根据 2 至 5 月份的数据,画出散点图,求出 y 关于x 的回归直线方程 y=b x+a;(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过 2 万元,则认为得到的回归直线方程是理想的,试问所得回归直线方程是否理想?解:(1)根据表中 25 月份的数据作出散点图,如图所示.计算得 x=11,y=24,52iiix y=1125+1329+1226+816=1092,522iix=112+132+122+82=498,则 b=52522244iiiiix yxyxx=210924 11 244984 11 =187,a=y-bx=24-18711=-307.故 y 关于 x 的回归直线方程为 y=187x-307.(2)当 x=10 时,y=18710-307=1507,此时|1507-22|2;当 x=6 时,y=1876-307=787,此时|787-12|6.635,所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.点击进入课时训练