1、第一部分 高考专题讲解专题一 集合、函数与导数第二讲 基本初等函数的图象与性质函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高考考查的重点，其中定义域、单调性、奇偶性、周期性等几乎是每年必考，常常是将这些知识点与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融合，以选择题或填空题的形式进行考查对于函数定义域，还常常隐性地进行考查，因为研究函数的性质以及其他问题时，必须首先研究函数的定义域函数的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体，在研究参数的范围问题、求值问题中进行考查1.求函数的定义域主要考虑以下几点：分母不能为0；偶次根号下的式子不小于0；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；a0中a不等于0；注意实
2、际问题中变量的范围等2.函数的单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等判断函数的单调性的主要方法(研究函数的单调性应结合函数的单调区间，单调区间应是定义域的子集)：(1)定义法，即作差法(主要步骤为：取值作差变形判符号下结论)；(2)图象法；(3)单调性的运算性质(实质上是不等式的性质)；(4)复合函数的单调性判断法则；(5)导数法3判断一个函数的奇偶性时，要注意函数的定义域是否关于原点对称若定义域关于原点不对称，那么该函数一定不具有奇偶性若奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)0，灵活使用这一结论可以简化运算过程若函数f(x)是偶函数，
3、则f(x)f(|x|)，利用这个性质，可以避免一些分类讨论，有利于灵活利用函数的单调性4解决与分段函数有关的问题，最重要的就是掌握逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性等)的一般方法；解决与抽象函数有关的问题时，最重要的是掌握赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法5函数的周期性的定义及常用结论一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值，若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；若f(xa)f(xb)(ab)，则f(x)是周期函数，|ba|是它的一个周期；若f(xa)f(
4、x)(a0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；7对称性与周期性之间的关系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地，若f(x)的图象有两条对称轴xa和xb(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期；若f(x)的图象有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ab)，则f(x)为周期函数，且4|ba|是它的一个周期.Am1，n1Bm1，n2Cm2，n1 Dm3，n1解析由于本题是选择题，可以用代入法来做，由图得，原函数的极大值点小于0.5.答案B解析：若0，
5、则f()24，2.若0，则f()4，4.答案：B答案1答案：C点评证明函数的单调性务必回到定义，因为定义揭示了概念的本质，其关键是对f(x1)f(x2)的表达式进行合理地变形，以有利于判断出其符号常用的变形方法有：因式分解法、配方法、分子分母有理化等解析由已知，得f(1)log221，f(0)0，故f(1)f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(0)1，f(3)f(2)f(1)1(1)0，f(4)f(3)f(2)0(1)1，f(5)f(4)f(3)1，f(6)f(5)f(4)0，故当x1,2,3,4，时，f(x)的取值依次是1，1,0,1,1,0，1，1，0,1,1，即当x取整数时，数列f(x
6、)是以6为周期的周期数列，故f(2009)f(5)1.故选C.答案C点评本题会由于计算不到位，找不到函数取值的规律，这样就不能通过归纳得出函数的周期因此，考场上要耐心计算、细心观察、不断归纳，对于解题来说是非常重要的这也是命题者要考查考生心理素质的一个方面其中正确判断的序号是_(把你认为正确判断的序号都填上)解析f(x2)f(x1)f(x)，故f(x)是周期函数，2是它的一个周期，对.又f(x)为偶函数，对.f(x)在1，0上是增函数，则在0，1上是减函数，错.答案解析：令xy0f(0)0，令xy1f(2)2f(1)26，令x2，y1f(3)f(2)f(1)412，再令x3，y3f(0)f(3
7、3)f(3)f(3)180f(3)18f(3)6.答案：6点评：本题的难点在于抽象函数的性质是用两个变量表达的，这类问题的化解方法一般是根据所给抽象函数的性质，通过观察其特殊性先求出一个特殊值，这往往就是解题的突破口本题根据特殊值求出f(0)后，令yx就得到了一个关系式f(0)f(x)f(x)2x2，只要能求出f(x)就能求出f(x)，因此可以把问题归结为求f(3)的值，而在函数性质中只要令y1就得到了函数之间的关系式f(x1)f(x)f(1)2x，根据f(1)的值不难求出f(3)的值，问题的难点就化解了因此解决抽象函数问题利用特殊值是一个重要方法解析：211f(3)f(3)f(9)，由f(x
8、)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0且x80且x(x8)9，解得8x9.故选B.答案：B点评：本题的难点是必须把f(x)f(x8)2中的函数记号去掉，转化为一般的代数不等式化解这个难点就要根据f(xy)f(x)f(y)，f(3)1和函数的单调性进行转换解决抽象函数问题要善于类比，本题就可以类比对数函数的性质寻找解决问题的方法实际上本题就是以对数函数为特征抽象出来的一个问题.怎样利用周期法解题有些数学问题，表面上看与周期毫无关系，但实际上隐含着周期性，一旦提示了周期，问题便迎刃而解下面举例说明如下【例1】设f(x)是(，)上的奇函数，f(x
9、2)f(x)，当0 x1时，f(x)x，则f(7.5)等于()A0.5 B 0.5C1.5 D1.5解析f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)f(x)是以4为一个周期的函数由于f(x)是奇函数，且0 x1时，f(x)x，可得f(7.5)f(240.5)f(0.5)f(0.5)0.5，故选B.答案B【例2】设对任意整数x，f(x)f(x1)f(x1)，且f(0)19，f(4)93，则f(59)_.解析f(x)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x)f(x2)，两式相加并整理得f(x1)f(x2)，f(x)f(x3)，f(x6)f(x3)f(x)从而f(x)是以6为周期的函数f(59
10、)f(695)f(5)f(4)f(6)f(4)f(0)112.答案112【例3】函数f(x)在R上有定义，且满足(1)f(x)是偶函数，且f(0)993；(2)g(x)f(x1)是奇函数，试求f(1992)的值解f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，又g(x)f(x1)是奇函数，f(x1)f(x1)，即f(x)f(x2)，代入得f(x)f(x2)，f(x2)f(x)，从而f(x4)f(x2)f(x)，f(x)是以4为周期的函数，f(1992)f(4498)f(0)993.答案：D2(2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3 B1C1 D3解析：由已知：f(1)f(1)，f(1)f(1)而f(1)2(1)2(1)3，f(1)3.答案：A答案：A答案：B解析：两函数图象如图，共有8个交点，均关于(1,0)中心对称，故所有交点的横坐标之和为8.答案：D高考专题训练二
