1、第 2 节 用样本估计总体 基础梳理考点突破1.作频率分布直方图的步骤 基础梳理 抓主干 固双基 质疑探究 1:频率分布直方图中纵轴表示什么含义?小长方形的面积表示什么?各小长方形面积之和等于多少?提示:频率组距,频率,1.2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得频率分布折线图.(2)总体密度曲线 随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.3.茎叶图 定义 是统计中用来表示数据的一种图,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数 画法 对于样本数据较少,且分布
2、较为集中的一组数据:若数据是两位整数,则将十位数字作茎,个位数字作叶;若数据是三位整数,则将百位、十位数字作茎,个位数字作叶.样本数据为小数时做类似处理.对于样本数据较少,且分布较为集中的两组数据,关键是找到两组数据共有的茎 优缺点 用茎叶图表示数据的优点是:(1)所有的信息都可以从茎叶图中得到;(2)便于记录和读取,能够展示数据的分布情况.缺点是:当样本数据较多或数据位数较多时,茎叶图就显得不太方便 4.样本的数字特征 见附表 质疑探究 2:怎样利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数?提示:在频率分布直方图中:(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的小长方形的
3、面积和是相等的;(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.质疑探究 3:平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征?提示:平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况,即标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;反之离散程度越小,越稳定.双基自测 1.(2013 潍坊一模)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 100 名学生,其数学成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100.则成绩在80,100上的人
4、数为(D)(A)70(B)60(C)35(D)30 解析:由题知成绩在80,100的人数为(0.02510+0.00510)100=30.故选 D.2.(2012 年高考陕西卷)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是(A)(A)46,45,56 (B)46,45,53(C)47,45,56 (D)45,47,53 解析:由题意知各数为 12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是 46
5、,众数是 45,最大数为68,最小数为 12,极差为 68-12=56.故选 A.3.对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下列说法中正确的是(D)(A)频率分布折线图与总体密度曲线无关(B)频率分布折线图就是总体密度曲线(C)样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线(D)如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线 解析:总体密度曲线是频率分布折线图在样本容量无限大,组距无限小时一个理想曲线,是有关系的,故选项 A错误;由选项 A 解释知道,频率分布折线图只能无限趋近于总体密度曲线,但不能说就是总体密度曲线,所以选项 B 错误;同理选项 C
6、 也错误;如果样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑的曲线,这条光滑的曲线就是总体密度曲线,故选 D.4.(2013 年高考湖北卷)某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(1)平均命中环数为 ;(2)命中环数的标准差为 .解析:(1)x=7879549 107410=7.(2)s2=110(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2=4.s=2.答案:(1)7(2)2 考点突破 剖典例 知规律 考点一
7、频率分布直方图的画法及应用【例 1】某市某年 4 月 1 日4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒):61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)作出频率分布表;(2)作出频率分布直方图;(3)根据国家标准,污染指数在 050 之间时,空气质量为优;在 51100之间时,为良;在 101150 之间时,为轻微污染;在 151200 之间时,为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.思维导引
8、:(1)对数据进行分组、统计作出频率分布表;(2)根据频率分布表中统计的数据作出频率分布直方图;(3)根据所给标准,结合频率分布表作出评价.解:(1)频率分布表.分组 频数 频率 41,51)2 115 51,61)1 130 61,71)4 215 71,81)6 15 81,91)10 13 91,101)5 16 101,111)2 115 (2)频率分布直方图:(3)答对下述两条中的一条即可:该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平,占当月天数的 115.有 26 天处于良的水平,占当月天数的1315.处于优或良的天数共有 28 天,占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好
9、.轻微污染有 2 天,占当月天数的 115.污染指数在 80以上的接近轻微污染的天数有 15 天,加上处于轻微污染的天数,共有 17 天,占当月天数的 1730,超过 50%.说明该市空气质量有待进一步改善.反思归纳(1)绘制频率分布直方图时需注意:制作好频率分布表后可以利用各组的频率之和是否为 1来检验该表是否正确;频率分布直方图的纵坐标是频率组距,而不是频率.(2)由频率分布直方图进行相关计算时,需掌握下列关系式:频率组距 组距=频率.即时突破 1(2012 年高考山东卷)如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是20.5,26.
10、5,样本数据的分组为20.5,21.5),21.5,22.5),22.5,23.5),23.5,24.5),24.5,25.5),25.5,26.5.已知样本中平均气温低于 22.5 的城市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5 的城市个数为 .解析:结合直方图和样本数据的特点求解.最左边两个矩形面积之和为0.101+0.121=0.22,总城市数为110.22=50,最右面矩形面积为0.181=0.18,500.18=9.答案:9 考点二 茎叶图的画法及应用【例 2】某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A.将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验.两种小麦各种植了 25亩,所得亩
11、产数据(单位:千克)如下:品种 A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454 品种 B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出茎叶图;(2)通过观察茎叶图,对品种A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论.思维导引:根据数据画出茎叶图,然后根据数据分布特点进行推
12、断和估计.解:(1)(2)结合茎叶图可知:品种 A 的亩产平均数比品种B 高;品种 A 的亩产标准差(或方差)比品种 B 大,故品种 A的亩产稳定性较差.反思归纳(1)茎叶图中保留了原始数据,便于记录和表示.(2)当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,而样本数据较多时,则不方便记录.即时突破 2(2013 青岛一模)为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近6 次数学测试的分数进行统计,甲乙两人的平均成绩分别是 x甲、x乙,则下列说法正确的是()(A)x甲 x乙,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛(B)x甲 x乙,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛(C)x甲 x乙,甲比乙成绩稳定,应
13、选甲参加比赛(D)x甲 x乙,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 解析:由茎叶图知 x甲=72+78+79+85+86+926=82.x乙=78+86+88+88+91+98687.33.即 x甲 x乙,又由乙的茎集中在 8,而甲较分散,即乙比甲成绩稳定.故选 D.考点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征【例 3】(1)(2013 肇庆一模)甲、乙两种水稻试验品种连续 5年的单位面积平均产量如下(单位:t/hm2),根据这组数据下列说法正确的是()品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7
14、 9.8(A)甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数(B)甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数(C)甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差(D)甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差 (2)(2012 年高考湖南卷)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 .（注:方差 s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,其中 x 为 x1,x2,xn的平均数）思维导引:(1)分别计算甲、乙两种产品的平均数和方差,作出判断.(2)从茎叶图中求出运动员在五场比赛中的分数,结合方差公式求解.解析:(1)由数据可得甲品种的样本平均数是
15、9.89.910.1 1010.25=10,方差为 15(0.04+0.01+0.01+0.04)=0.02,乙品种的样本平均数是 9.4 10.3 10.89.79.85=10,方差为 15(0.36+0.09+0.64+0.09+0.04)=0.244,所以平均数相同,甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差,故选 D.(2)依题意知,运动员在五场比赛中的分数依次为 8,9,10,13,15,其平均数为 891013 155=11.由方差公式得s2=15(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(15-11)2=15(9+4+1+4+16)=6.8.答案:(1)D(2
16、)6.8 反思归纳(1)由茎叶图由小到大排列可以找到中间一个数或中间两个数,由此得到中位数,由其数据可以得到众数.(2)由数据集中情况可以估计平均数大小,再根据其分散程度可以估测方差大小.即时突破 3(1)已知数据 x1,x2,x3,xn分别是江西省普通职工 n(n3,nN*)个人的年收入,设这 n 个数据的中位数为 x,平均数为 y,方差为 z,如果再加上世界首富的年收入 xn+1,则这n+1 个数据中,下列说法正确的是()(A)年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变(B)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大(C)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变(D)年
17、收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变(2)(2012 年高考广东卷)由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这组数据为 .(从小到大排列)解析:(1)由于世界首富的年收入 xn+1较大,故平均数一定会增大,差距会拉大,因此方差也会变大,选 B.(2)假设这组数据按从小到大的顺序排列为 x1,x2,x3,x4,则1234232,42,2xxxxxx14234,4.xxxx 又 s=22221234122224xxxx =2222122112242422xxxx=221212222xx=1,(x1-2)2+(x2-2)2=2.同理可
18、求得(x3-2)2+(x4-2)2=2.由 x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为圆(x-2)2+(y-2)2=2 上的点,分析知 x1,x2,x3,x4应为 1,1,3,3.答案:(1)B(2)1,1,3,3 备选例题【例 1】某班同学利用国庆节进行社会实践,对25,55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念,称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 25,30)120 0.6 第二组 30,35)195 p 第三组 35,40
19、)100 0.5 第四组 40,45)a 0.4 第五组 45,50)30 0.3 第六组 50,55 15 0.3 (1)补全频率分布直方图;(2)求 n,a,p 的值.解:(1)(2)n=1000,a=60,p=0.65.【例 2】对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6 次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如表.甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息?(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、极差、标准差,并判断选谁参加比赛比较合适.(不是准确值的精确到 0.01)解
20、:(1)画茎叶图,中间数为数据的十位数,如图所示:从茎叶图上看,甲、乙的最大速度数据都是均匀分布的,只是乙的情况更好一些;乙的中位数是 33.5,甲的中位数是 33,因此乙发挥比较稳定,总体情况比甲好.(2)x甲=33,2S甲 15.67,s 甲3.96;x乙=33,2S乙 12.67,s 乙3.56.甲的中位数是 33,极差是 11.乙的中位数是 33.5,极差为 10.综合比较以上数据可知,选乙参加比赛较 合适.命题探究 统计图表的综合问题【典例】(2012 年高考广东卷)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是50,60),60,70),70,80
21、),80,90),90,100.(1)求图中 a 的值;(2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分;(3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段 50,60)60,70)70,80)80,90)xy 11 21 34 45 分析:(1)由频率分布直方图的含义求 a.(2)利用频率分布直方图中各组的组中值乘以各组的频率计算平均值.(3)根据语文成绩与数学成绩在同一分数段上的人数比,确定出数学成绩在相应分数段上的人数,求出数学成绩在50,90)之外的人数.解:(1)由频率分布直
22、方图可知(0.04+0.03+0.02+2a)10=1,所以 a=0.005.(2)估计该 100 名学生的语文成绩的平均分为 x=0.0555+0.465+0.375+0.285+0.0595=73(分).(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比,可得表:分数段 50,60)60,70)70,80)80,90)x 5 40 30 20 xy 11 21 34 45 y 5 20 40 25 于是数学成绩在50,90)之外的人数为 100-(5+20+40+25)=10.命题意图 本题通过频率分布直方图获取数据信息,从而解决相应的问题,考查理解能力及数形结合的意识,难度适中.解决本题的关键是读懂图表,理解频率分布直方图中各量的意义.点击进入课时训练