1、深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 1 页（共11页）绝密启用前试卷类型：（A）2020 年深圳市普通高中高三年级线上统一测试 文科数学参考答案与评分标准一、选择题1.B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.B二、填空题：13.7914.4 315.416.4 15，.12.【解析】设()()F xx f x=，则()F x=()()(1)xxfxf xx e+=，因此，(0,1)x，()0F x，()F x 递增；(1,)x+，()0F x，()F x 递减 因为当0 x 时，(0)0F，且有(2)0F=
2、所以由()()F xx f x=图象可知，当(0,2)x时，()()0F xxf x=，此时()0f x 16.解析：为使2113FFAFPA+恒成立，只需213FFmax1)(AFPA+，由椭圆的定义可得，aAFAF221=+，所以aPFaAFPAAFPA22221+=+，当且仅当AFP,2三点共线时取等号(2F在线段 PA上)，又点 P 的轨迹是以O 为圆心，半径为 a2 的圆，所以圆上点 P 到圆内点2F 的最大距离为半径与2OF 的和，即caPF+22，所以+aPFAFPA221caaca+=+422，所以cac+46，ac45，54=ace，又1e，所以C 的离心率的取值范围为154
3、，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 2 页（共11页）三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17（本小题满分 12 分）已知数列，14a=，1(1)4(1)nnnanan+=+()nN.（1）求数列na的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，求数列 nb前n 项和为nT 解：（1）由1(1)4(1)nnnanan+=+()nN可得，2128aa=，1 分323212aa=，434316aa=，1(1)4nnn
4、anan=，(2)n 2 分累加得18 12+4nnaan=+，3 分所以(4+4)=4+8 12+4=2nn nnan+，4 分得=22(2)nann+，5 分由于14a=，所以=22()nann+N 6 分（2）111111()(22)(24)2 2224nnnbaannnn+=+，9 分11111111 11()()()()2466822242 424nTnnn=+=+816nn=+12 分【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项，注重思维的完整性和严密性，另外考查裂项相消法求数列的前n 项和重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养18（本小题满分 12 分）某
5、公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y（单位：万件）与月销售单价 x（单位：元/件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量iy 和月销售单价ix(1,2,3,6)i=数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：na深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 3 页（共11页）月销售单价 x（元/件）456789月销售量 y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：4105yx=+，453yx=+和1043+=xy，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的
6、请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若 用cbxaxy+=2模 型 拟 合 y 与 x 之 间 的 关 系，可 得 回 归 方 程 为25.90875.0375.02+=xxy，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R分 别 为9702.0和9524.0，请 用2R说 明 哪 个 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 更 好；（3）已知该商品的月销售额为 z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01.0）参考数据：91.806547.解：（1）已知变量 x，y 具有线性负相关关系
7、，故乙不对，因为5.66987654=+=x，796677479828389=+=y代入甲和丙的回归方程验证甲正确4 分（2）因为9524.09702.0且2R 越大，残差平方和越小，模拟的拟合效果越好，所以选用25.90875.0375.02+=xxy更好（言之有理即可得分）7 分（3）由题意可知，xxxyxz25.90875.0375.023+=，8 分即xxxz4361878323+=，则436147892+=xxz，9 分令0=z，则976547+=x（舍去）或976547+=x，10 分令9765470+=x，当()0,0 xx时，z 单调递增，当()+0 xx时 z 单调递减，所以
8、当0 xx=时，商品的月销售额预报值最大，11 分因为91.806547，所以77.9x，所以当77.9x时，商品的月销售额预报值最大12 分19（本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 为长方形，24ABBC=，E、F 分别为 AB、CD 的中点，将 ADF深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 4 页（共11页）沿 AF 折到AD F的位置，将BCE沿 CE 折到B CE的位置，使得平面 AD F 底面AECF，平面 B CE 底面 AECF，连接 B D ，（1）求证：B D /平面 AECF；（2）求三棱锥 BAD F的体积解：（1）证明：作 D
9、M AF 于点 M，作 B N EC 于点 N，1 分2ADD F=，2B CB E=，90AD FCB E=，M，N 为 AF，CE 中点，且 D M=2B N=2 分平面 AD F底面 AECF，平面 AD F底面 AECF=AF，D M AF，D M 平面 AD F D M 底面 AECF，3 分同理：B N 底面 AECF，4 分/D MB N，四边形 D B NM 为平行四边形,/B DMN 5 分B D 平面 AECF，MN 平面 AECF，B D /平面 AECF 6 分（2）设点 B 到平面 AD F的距离为 h，连接 NF 7 分/D MB N，D M 平面 AD F，B N
10、 平面 AD F B N/平面 AD F，8 分故点 B 到平面 AD F的距离与点 N 到平面 AD F的距离相等8 分N 为CE 中点，2EFCE=，NFCE，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 5 页（共11页）/AFCE，NFAF，9 分平面 AD F底面 AECF，平面 AD F底面 AECF=AF，NF 底面 AECF，NF 平面 AD F，10 分点 N 到平面 AD F的距离为2NF=，点 B 到平面 AD F的距离2h=11 分12 222AD FS=，三棱锥 BAD F的体积112 222333BAD FAD FVSh=12 分20（本小
11、题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过点)0,2(F的动圆恒与 y 轴相切,FP 为该圆的直径，设点 P的轨迹为曲线C（1）求曲线C 的方程；（2）过点)4,2(A的任意直线l 与曲线C 交于点 M,B 为 AM 的中点，过点 B 作 x 轴的平行线交曲线C 于点 D,B 关于点 D 的对称点为 N，除 M 以外，直线 MN 与C 是否有其它公共点？说明理由【解析】（1）如图，过 P 作 y 轴的垂线，交 y 轴于点 H，交直线2=x于点1P，-1 分设动圆圆心为 E，半径为 r，则 E 到 y 轴的距离为 r，在梯形OFPH 中，由中位线性质得，22=rPH，-2 分所以rrPP
12、22221=+=，又rPF2=，所以1PPPF=，-3 分由抛物线的定义知，点 P 是以)0,2(F为焦点，直线2=x为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为xy82=-4分(2)由)4,2(A得，A 在曲线C 上，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 6 页（共11页）(i)当l 的斜率存在时，设)2)(,(111xyxM，则1218xy=，AM 的中点)24,22(11+yxB，即)22,12(11+yxB，-5 分在方程xy82=中令221+=yy得21)22(81+=yx，所以)22,)22(81(121+yyD-6 分设),(22 yxN，由中点坐标公式
13、22)22(411212+=xyx，又1218xy=，代入化简得212yx=，所以)22,2(11+yyN，-7 分直线 MN 的斜率为112111111428222)22(yyyyyxyy=+，直线 MN 的方程为111)(4yxxyy+=，将8211yx=代入式化简得2411yxyy+=，-8 分将82yx=代入式并整理得022112=+yyyy，式判别式04)2(2121=yy，-9 分所以直线 MN 与抛物线C 相切，所以除 M 以外，直线 MN 与C 没有其它公共点-10 分(ii)当l 的斜率不存在时，)4,2(M，)0,2(B，)0,0(D，)0,2(N，直线 MN 方程为2=x
14、y，代入xy82=得0442=+xx，-11 分上式方程判别式0=，除 M 以外，直线 MN 与C 没有其它公共点综上，除 M 以外，直线 MN 与C 没有其它公共点-12 分【命题意图】本题以直线与圆、直线与抛物线为载体，利用直线与圆的位置关系等知识导出抛物线的方程，借助几何关系，利用方程思想解决问题，主要考察抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和中点坐标公式等知识，考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思辨能力21（本小题满分 12 分）深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 7 页（共11页）已知函数()()()21 ln11.f xxxa
15、xa x=+（1）当1a=时，判断函数的单调性；（2）讨论()f x 零点的个数.解：（1）因为1a=，所以()()()()21 ln211 ln1f xxxxxxxx=+=+又()1ln23fxxxx=+，设()1ln23h xxxx=+，-2 分又()()()2221 1112xxh xxxx+=+=，所以()h x 在()0,1 为单调递增；在()1,+为单调递减，-3 分所以()h x 的最大值为()10h=，所以()0fx，所以()f x 在()0,+单调递减.-4 分（2）因为()()()1 ln1f xxxax=+所以1x=是()f x 一个零点设()ln1g xxax=+，所以
16、()f x 的零点个数等价于()g x 中不等于1的零点个数再加上1.-5 分（i）当1a=时，由（1）可知，()f x 单调递减，又1x=是()f x 零点，所以此时()f x有且只有一个零点；-6 分（ii）当0a 时，()g x 单调递增，又()10,g()()()22131ln1111xaxaxg xxaxaxxx+=+=+()01x又()()()()()2231431411axaxaxaxaxx+=+所以104g a+，综上可知()g x 在()0,+有一个零点且()10g，所以此时()f x有两个零点；-8 分（iii）又()1axgxx+=，所以当 10a，深圳市 2020 年普
17、通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 8 页（共11页）()g x 在10,a单调递增，在1,a+单调递减.()g x 的最大值为11ln0gaa=又()()()212111011xxg xaxxx+=+103g ，又10ag ee=所以()g x 在10,a有一个零点，在1,a+也有一个零点且()10g.所以此时()f x 共有 3 个零点；-10 分（iv）又()1axgxx+=，所以当1a 时，()g x 在10,a单调递增，在1,a+单调递减.()g x 的最大值为11ln0gaa=，所以()g x 没有零点，此时()f x 共有1 个零点.综上所述，当1a 时，()f x
18、 共有 1 个零点；当 10a 时，()f x 共有 3 个零点；当0a 时，()f x 有两个零点.-12 分（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线1C 的参数方程为=+=,sin,cos32tytx（t 为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin4=（1）求2C 的直角坐标方程；深圳市 2020 年普通高中高
19、三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 9 页（共11页）（2）直线1C 与2C 相交于FE,两个不同的点，点 P 的极坐标为(2 3,)，若PFPEEF+=2，求直线1C 的普通方程 解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为sin4=，所以sin42=，1分 又sin,cos=yx，2 分 代入上式化简可得，0422=+yyx，3 分 所以2C 的直角坐标方程4)2(22=+yx4 分（2）易得点 P 的直角坐标为)0,32(，将=+=,sin,cos32tytx代入2C 的直角坐标方程，可得 012)sin4cos34(2=+tt，5 分 22(4 3cos4sin)48=8sin()4
20、803=+，解得3sin()32+，或3sin()32+，不难知道 必为锐角，故3sin()32+，所以 2333+，即03,6 分 设这个方程的两个实数根分别为 1t，2t，则 sin4cos3421+=+tt，1221=tt，7 分 所以 1t 与 2t 同号，由参数t 的几何意义可得，12128 sin()3PEPFtttt+=+=+=+，2212121 2()44 4sin()33EFttttt t=+=+，8 分 所以22 4 4sin()38 sin()33+=+，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 10 页（共11页）两边平方化简并解得sin(
21、)13+=，所以2 6k=+，k Z,因为03，所以6=，9 分 所以直线1C 的参数方程为=+=,21,2332tytx 消去参数t，可得直线1C 的普通方程为0323=+yx10 分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知,a b c 为正数，且满足1.abc+=证明：（1）1119abc+；（2）8.27acbcababc+证明：（1）因为()111111abcabcabc+=+3ba
22、cacbabacbc=+3222=9b ac ac ba ba cb c+（当且仅当13abc=时，等号成立）.5 分（2）（证法一）因为,a b c 为正数，且满足1abc+=，所以1cab=，且10a，10b，10c，所以acbcababc+()abab cab=+()1abababab=+（）深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 11 页（共11页）(1)(1)()baab=+(1)(1)(1)abc=3(1)(1)(1)8327abc+=，所以8.27acbcababc+（当且仅当13abc=时，等号成立）.10 分（证法二）因为,a b c 为正数，且满足1abc+=，所以1cab=，且10a，10b，10c，()1acbcababcabcacbcababc+=+()()()()1111ab ac abca=+()()11abcbc=+()()()111abc=()338327abc+=所以8.27acbcababc+（当且仅当13abc=时，等号成立）.10 分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察