1、文科数学（二）答案第 1 页 共 13 页绝密 启用前2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数选择题不给中间分。一、选择题：二、填空题：132143015121
2、6 4 33，12或2三、解答题：17（1）解：因为2nSn n，*nN，当2n 时，111nSnn 所以 121121nnSSn nnnn 即21nan（2n）当1n时，11 33S ，即13a，符合通项 所以数列 na的通项公式为21nan（2）解法 1：因为21nan，所以nnnnnab4124所以nnnT412.474543321，题号123456789101112答案BBCBCAAACDBC文科数学（二）答案第 2 页 共 13 页则1432412.47454341nnnT，得132412)41.4141(243)411(nnnnT所以112412411)411(4124343nnn
3、nT 所以13116114123 4nnnT 所以nnnT49116911所以数列 nb的前n 项和nnnT49116911解法 2：因为21nan，所以nnnnnab4124所以nnnT412.474543321，则121572143444nnnT，得12111121332 4444nnnnT所以111212144331414nnnnT 所以11611333 4nnnT所以nnnT49116911所以数列 nb的前n 项和nnnT49116911 18（1）证明：连接 AO，因为侧面CCBB11为菱形，所以11BCCB，且O 为1BC 和1BC 的中点因为1ABAC，所以1AOBC文科数学（
4、二）答案第 3 页 共 13 页因为OBCAO1，所以1B C 平面 ABO因为ABOAB平面，所以ABCB1（2）解：因为点 A 在侧面CCBB11上的投影为点O，所以11AOBBC C 平面因为601 CBB，设12ACBCABa，所以3AOBOa因为11A BB CV ，即 1 1 23313 2aaa 解得1a 在1BB C 中，112BCBBBC，所以123234BB CS同理13ACBS在Rt AOB中，3AOBO，所以622BOAOAB在等腰 ABC 中，2ACBC，6AB，所以 AB 边上的高22610222h所以110156222ABCS同理1152ABBS则三棱锥1ABBC
5、的表面积为152322 3152 所以三棱锥1ABBC的表面积为2 315OB1C1A1CBA文科数学（二）答案第 4 页 共 13 页19解：（1）由茎叶图可知，样本中男职工健康指数的众数为76 中位数为8128280（2）由分层抽样知，抽取的 5 人中男职工有330185人，设为 A，B，C；女职工有 2 人，设为a，b 从 5 人中随机抽取 2 人的情况有：,A B，,A C，,A a，,A b，,B C，,B a，,B b，,C a，,C b，,a b，共 10 种其中这 2 人都是男职工的情况有：,A B，,A C，,B C，共 3 种设“抽取的 2 人都是男职工”为事件 D，所以所
6、求概率 310P D（3）因为样本中男职工健康指数的平均数为81，样本中女职工现有数据（即剔除 x）健康指数的平均数为69，所以样本中所有女职工健康指数的平均数为 76.2 3081 186912则被剔除的女职工的健康指数为69 1269 1169y 即9x 因为样本中女职工现有数据（即剔除 x）健康指数的方差为190，所以样本中所有女职工健康指数的方差为190 11 02090174.2121212 分【说明：没有求出9x 不扣分；利用方差公式计算正确给 2 分，其中公式正确给1 分，结果给 1 分】20（1）解：设椭圆C 的焦距为2c，因为椭圆过点 2,0A，所以2a 因为，所以1c 因为
7、222abc，所以2223bac所以椭圆C 的方程为22143xy文科数学（二）答案第 5 页 共 13 页（2）解法 1：设直线l 的方程为 ykxm，直线l 与椭圆C 交于两点11,M x y，22,N xy，由221.43ykxmxy，得2223484120kxkmxm因为22284 34412kmkm 2248 430km所以2243mk因为122843kmxxk，所以121226243myyk xxmk设线段 MN 的中点为1212,22xxyyP，则有2243,43 43kmmPkk所以线段 MN 的垂线平分线方程为223144343mkmyxkkk 因为线段 MN 的垂线平分线过
8、点 1,08，所以2438kmk 因为2243mk，所以222143438kkk，即2120k 解得105105kk或所以k 的取值范围是55,1010 解法 2：设直线l 与椭圆C 交于两点11,M x y，22,N xy，它们的中点为 00,yxP，则1202xxx，1202yyy因为11,M x y，22,N xy都在椭圆C 上，文科数学（二）答案第 6 页 共 13 页所以2211143xy 同理2222143xy，得 12121212043xxxxyyyy因为1212yykxx，所以0324200kyx 因为线段 MN 的垂线平分线过点 1,08，所以81100 xyk由，解得012
9、x，038yk 因为 00,yxP在椭圆内，所以1342020 yx所以16431612 k即2012 k解得105105kk或所以k 的取值范围是55,1010 21解：（1）因为()lnsinf xxx，所以1()=cosfxxx所以11()coscosh xaxxaxxxx，()sinh xax因为()h x 是0+，上的单调递增函数，所以sin0ax恒成立，即1a 所以实数 a 的取值范围是1,文科数学（二）答案第 7 页 共 13 页（2）由（1）知1()=cosfxxx若0,1x，则()1 cos0fxx，此时函数()f x 单调递增，无极值点解法 1：当=1a时，()cosh x
10、xx则 1 sin0h xx，所以 h x 在1,2上单调递增，所以()22h xh，即cos2xx所以11()=cos+2022fxxxxx此时函数()f x 单调递增，无极值点解法 2：若1,2x，令()()g xfx1=cos xx，则21()+sing xxx 设 21+sinxhxx，则 32+cos0 xhxx，所以 g x在 1,2上单调递增【或由21yx 与sinyx在1,2上分别单调递增，所以()g x在1,2上单调递增】因为 11 sin10g ，241 02g ，所以存在唯一01,2x，满足00201()=sin=0g xxx，即001sin=xx 当01,xx时，()0
11、g x，()g x 单调递减，0,2xx时，()0g x，()g x 单调递增则00000001()()=cossincossincos0g xg xxxxxxx所以()()0g xfx恒成立此时函数 xf单调递增，无极值点解法 3：先证明当0,2x时，sin xx设 sinp xxx，则 cos10p xx，所以函数 p x 在 0,2上单调递减，所以 00p xp所以sin xx若1,2x，则 12x ，因为coscos1sin12x文科数学（二）答案第 8 页 共 13 页而21sin1122x 所以1()=cos0fxxx此时函数 xf单调递增，无极值点若 3,22x，cos0 x，则
12、1()=cosfxxx0，此时函数 xf单调递增，无极值点若3,22x，令()()g xfx1=cos xx，则21()+sin 0g xxx，则 xg单调递减因为32023g，12102g，所以存在唯一03,22x，满足0()=0g x当03,2xx时，()()0g xfx，xf单调递增，当0,2xx时，()()0g xfx，xf单调递减故0 x 是函数 xf的极大值点综上可知，函数 xf在0,2 上有且仅有 1 个极大值点，无极小值点补充：文科 21 题第（2）问将合并讨论，解法如下：当 x 0 2（，）时，设1()()cosg xfxxx，21()sing xxx，设 21+sinxhx
13、x，则 32+cos0 xhxx，所以 g x在 0,2上单调递增【或由21yx 与sinyx在0,2 上分别单调递增，所以()g x在0,2 上单调递增】因为(1)0g，()02g，所以存在0(1,)2x，使得0()=0g x，即00201()sin=0g xxx（*）文科数学（二）答案第 9 页 共 13 页当0(0,)xx时，()0g x，()g x 单调递减；当0()2xx，时，()0g x，()g x 单调递增。所以(0,)2x时，0001()()cosg xg xxx。将（*）变形得0001sin=xxx，代入得0000()sincosg xxxx。因为0(1,)2x，所以000s
14、incos,1xx x，从而0000()sincos0g xxxx。所以(0,)2x时，()()0g xfx恒成立，此时()f x 单调递增，()f x 无极值点.22（1）解：由cos,2sinxy，得cos,2sin.xy 所以曲线1C 的直角坐标方程为22(2)1xy 由2241 3sin 得223sin4因为222xy，siny，所以曲线2C 的直角坐标方程为2214xy（2）解法 1：因为点 P 在曲线2C：2214xy 上，所以可设点 P 的坐标为2cos,sin 因为曲线1C 的直角坐标方程为22(2)1xy，所以圆心为1 0 2C，半径1r 所以222212cossin21PA
15、PCr22253 sin33 文科数学（二）答案第 10 页 共 13 页当2sin3 时，PA 有最大值 5 33所以 PA 的最大值为 5 33解法 2：因为点 P 在曲线2C：2214xy 上，所以可设点 P 的坐标为00,xy，其中220014xy因为曲线1C 的直角坐标方程为22(2)1xy，所以圆心为1 0 2C，半径1r 所以222210021PAPCrxy20225333y 因为011y ，所以当023y 时，PA 有最大值 5 33所以 PA 的最大值为 5 3323（1）解法 1：()122f xxx 3,131,113,1.xxxxxx ，因为函数 f x 在,1上单调递
16、增，在1,上单调递减所以当1x 时，f x 取得最大值 2，所以2ab因为2ab，即2ba，所以2222228222333abaaa文科数学（二）答案第 11 页 共 13 页所以当23a 时，222ab取得最小值 83解法 2：因为122xx111xxx (1)(1)1xxx（当且仅当1x 或1x 时取等号）21x2（当且仅当1x 时取等号）所以当且仅当1x 时，f x 取得最大值 2，所以2ab由柯西不等式，得222212212422ababab所以22823ab，当且仅当22122,abab ，即2343ab，时取等号所以222ab的最小值为 83（2）证明 1：因为2ab，0a，0b，
17、要证aba bab，即证 lnlnlnlnaabbab即证1 ln1 ln0aabb即证21ln10aa当01a 时，211a ，所以2ln10a，因为10a，所以21ln10aa当1a 时，21ln10aa当12a时，2011a ，所以2ln10a文科数学（二）答案第 12 页 共 13 页因为10a，所以21ln10aa综上所述，21ln10aa成立，即aba bab证明 2：因为2ab，0a，0b，要证aba bab，即证111abab ，即证11(2)1aaaa 即证121aaa，即证1211aa当01a 时，211a ，所以函数21xya单调递增因为10a，所以1211aa当1a 时，1211aa当12a时，2011a ，所以函数21xya单调递减因为10a，所以1211aa综上所述，1211aa成立，即aba bab证明 3：因为2ab，0a，0b，要证aba bab，即证 2a baba bab即证221a ba babab，即证221a bb aab，即证1a bb aab 即证1a bab当0ab时，1ab，所以函数xayb 单调递减文科数学（二）答案第 13 页 共 13 页因为0ab，所以1a bab当ab时，1a bab当0ba时，1ab，所以函数xayb 单调递增因为0ab，所以1a bab综上所述，1a bab成立即aba bab