1、第八章平面解析几何第九节 圆锥曲线的综合问题第2课时 定点、定值、探究性问题课时作业02考点探究 明晰规律03微突破 提升素养02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 定点问题【例 1】(2019北京卷)已知抛物线 C：x22py 经过点(2，1)(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程；(2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点【解】(1)由抛物线 C：x22py 经过点(2，1)，得 p2.所以抛物线 C 的方程为 x2
2、4y，其准线方程为 y1.(2)抛物线 C 的焦点为 F(0，1)设直线 l 的方程为 ykx1(k0)由ykx1，x24y得 x24kx40.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24.直线 OM 的方程为 yy1x1x.令 y1，得点 A 的横坐标 xAx1y1.同理得点 B 的横坐标 xBx2y2.设点 D(0，n)，则DA(x1y1，1n)，DB(x2y2，1n)，DA DB x1x2y1y2(n1)2x1x2x214x224(n1)2 16x1x2(n1)24(n1)2.令DA DB 0，即4(n1)20，得 n1 或 n3.综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点
3、(0,1)和(0，3)方法技巧圆锥曲线中定点问题的两种解法1引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.2特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q，P，与椭圆分别交于点 M，N，各点均不重合且满足PM 1MQ，PN2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)若 123，试证明：直线 l 过定点，并求此定点解：(1)设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b1，且(2a)2(2b
4、)22(2c)2，又 a2b2c2，a23.椭圆的标准方程为x23y21.(2)由题意设 P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设 l方程为 xt(ym)，由PM 1MQ 知(x1，y1m)1(x0 x1，y1)，y1my11，由题意 y10，1my11.同理由PN2NQ 知 2my21.123，y1y2m(y1y2)0，联立x23y23，xtym，得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有 y1y22mt2t23，y1y2t2m23t23，代入得 t2m232m2t20，(mt)21，由题意 mt0，解得 k0 或
5、 0kb0)的长轴长为 4，离心率为 22.(1)求椭圆 的标准方程(2)过 P(1,0)作动直线 AB 交椭圆 于 A，B 两点，Q(4,3)为平面上一定点，连接 QA，QB，设直线 QA，QB 的斜率分别为 k1，k2，问 k1k2 是否为定值？如果是，求出该定值；否则，说明理由解：(1)依题意 2a4，a2，又 eca 22，c 2，b 2，椭圆 的标准方程为x24y221.(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB：yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 yk(x1)代入 x22y24，得(2k21)x24k2x2k240，显然 0，x1x2 4k22k21x1x22
6、k242k21，由已知条件得 k1y13x14kx113x14k3k3x14，同理 k2k3k3x24，k1k22k(3k3)(1x141x24)2k(3k3)x1x28x1x24x1x2162k(3k3)4k282k212k2444k2162k212k(3k3)(23)2.当直线 AB 的斜率不存在时，经检验符合 k1k22.综上，k1k2 为定值 2.考点三 探究性问题【例 3】(2020重庆市调研)如图，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，其左、右焦点分别为 F1(2，0)及 F2(2,0)，过点 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线
7、与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列(1)求椭圆 C 的方程(2)记GF1D 的面积为 S1，OED(O 为坐标原点)的面积为S2.试问：是否存在直线 AB，使得 S1S2？请说明理由【解】(1)|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列，2a|AF1|AF2|2|F1F2|8，a4.又 c2，b212，椭圆 C 的方程为x216y2121.(2)假设存在直线 AB，使得 S1S2，显然直线 AB 不能与 x，y 轴垂直设 AB 的方程为 yk(x2)(k0)，将其代入x216y2121，整理得(4k23)x216k2x16k24
8、80，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x216k234k2，点 G 的横坐标为x1x22 8k234k2，G(8k234k2，6k34k2)DGAB，6k34k28k234k2xDk1，解得 xD 2k234k2，即 D(2k234k2，0)，RtGDF1 和 RtODE 相似，若 S1S2，则|GD|OD|，8k234k2 2k234k226k34k22|2k234k2|，整理得 8k290.方程 8k290 无解，不存在直线 AB，使得 S1S2.方法技巧 探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在(1)当条件和结
9、论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解：(1)依题意，可设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，且可知其左焦点为 F(2,0)从而有c2，2a|AF|AF|8，解得c2，a4.又 a2b2c2，所以 b212.故椭圆 C 的方程为x216y2121.(2)假设存在符合题意的直线 l，设其方程为 y32xt.由 y32xt，x216y2121，得 3x23txt2120.因为直线 l 与椭圆 C 有公共点，所以(3t)243(t212)1443t20，解得4 3t4 3.另一方面，由直线 OA 与 l 的距离等于 4，可得|t|9414，从而 t2 13.由于2 134 3，4 3，所以符合题意的直线 l 不存在温示提馨请 做：课时作业 61PPT文稿（点击进入）
