1、绝密启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设不等式的解集为，函数的定义域为，则为A. B. C. D. 【1题答案】【答案】A【解析】【详解】试题分析：由于不等式等价于，解得，故集合函数的定义域为，满足，故集合，因此通过集合的交集的运算可知，故选：A.2. 设复数满足，则A. B. C. D. 【2题答案
2、】【答案】A【解析】【详解】因为复数满足zi=2-i,z=-1-2i.选A3. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据两向量垂直计算出参数的值，再根据向量的计算规则求解即可得出结果.【详解】因为，所以，解得，所以故选：C.4. 函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】A【解析】【分析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.【详解】根据函数的图象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因为，所以.故选：A.5. 下列双曲线中，焦点在轴上，且渐近线互相垂直的是（ ）A. B. C.
3、D. 【5题答案】【答案】A【解析】【分析】求出渐近线垂直的条件后可得正确的选项【详解】设双曲线的方程为：，则其渐近线为，因为渐近线互相垂直，故即，故双曲线的方程为，故选：A6. 若函数f（x）满足f（1lnx），则f（2）（）A. B. eC. D. 1【6题答案】【答案】B【解析】【分析】根据题意，令，解可得，进而在中，令，变形计算即可得答案【详解】由1lnx2，得，即f（2）e.故选：B7. 已知互不重合的直线，互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据空间直线和平面的位置关系逐个进行判断，注意线面关系
4、的判定方法.【详解】对于A，如果直线平面内，则无法得出，故不正确；对于B，直线只和平面内的一条直线垂直，无法得出线面垂直，故不正确；对于C，直线有可能在平面内，无法得出，故不正确；对于D，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正确.故选：D.8. 如图所示的程序框图输出的是126，则应为（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】B【解析】【分析】由起始条件依次执行程序，判断结论是或否，直至判断为否，退出循环.【详解】执行程序, 判断为是，执行循环； 判断为是，执行循环；判断为是，执行循环；判断为是，执行循环；判断为是，执行循环；判断为是，执行循环；判断为否，退出循环，输出结果，结束.故选：
5、B.9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是；事件B与事件相互独立；，是两两互斥的事件.A. B. C. D. 【9题答案】【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断.【详解】由题意，是两两互斥的事件，；，由此知，正确；，；而.由此知不正确；，是两两互斥的事件，由此知正确；对照四个命题知正确；故选：A.【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.
6、10. 已知锐角ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC的面积，且，则S的最大值为（ ）A. 6B. 4C. 2D. 1【10题答案】【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得，再由余弦定理求得，根据基本不等式可求得答案.【详解】解：由得，又ABC是锐角三角形，所以，由余弦定理及得，整理得，所以(负值舍去)，所以，所以，当时取等号，故选：C11. 1654年，法国贵族德梅雷骑士偶遇数学家布莱兹帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒此时酒吧老
7、板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（）A. 肖恩B. 尤瑟纳尔C. 酒吧伙计D. 酒吧老板【11题答案】【答案】B【解析】【分析】由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X，在七局四胜制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判断出结果.【详解】由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于
8、是得：，显然有，即，所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.故选：B12. 已知函数，下列说法中正确的个数是（ ）函数的图象关于点对称；函数有三个零点；是函数的极值点；不等式的解集是.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【12题答案】【答案】B【解析】【分析】，对函数变形得到，根据奇偶性得到的对称中心，在的基础上，求导研究其单调性，确定其零点和极值点情况；选项，利用前面研究出的奇偶性和单调性解不等式，求出解集.【详解】，令，则，所以函数是奇函数，所以的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故正确：又因为，所以在R上单调递减，所以在R上单调递减，所以只有一个零点且无极值点，故错误；由得，所以，
9、所以，所以，所以，所以，所以，所以，故正确：综上所述，正确的个数是2个.故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值是 _.【13题答案】【答案】#【解析】【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.【详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到点时，取得最大值为.故答案为：14. 已知，则_【14题答案】【答案】1【解析】【分析】利用三角恒等变换公式和齐次式弦化切即可计算.【详解】.故答案：1.15. 抛物线的准线与轴相交于点P，过点P作斜率的直线交抛物线于两点，F为抛物线的焦点，若，则直线AB的
10、斜率k_.【15题答案】【答案】#【解析】【分析】联立直线AB方程和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式，可解得A或B的坐标，根据过两点的斜率计算公式即可求k.【详解】由题可知，设，由已知得，即，的方程：，与联立得：，则，由解得，将代入，由k0知，解得，.故答案为：.16. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是_异面直线PG与DH所成的角的余弦值为；与PD所成的角为；与EF所成角为【16题答案】【答案】【解析】【分析】可证明平面,可得正确；连接,取中点,异面直线与所成
11、的角为，由余弦定理可证明正确；取中点，连接，异面与所成的角为，由余弦定理可得不对；异面与所成角的为，由余弦定理可得不对，从而可得结果.【详解】的边长为4，折成正四面体后，如图，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，；连接FG，取中点M，可得，异面直线PG与DH所成的角的平角为；，连接MD，可得；在中，余弦定理：；对；对；取DF中点N，连接GN，NH，可得异面GH与PD所成的角的平面角为，由余弦定理，GH与PD所成的角是；对；异面PG与EF所成角的平面角为，由余弦定理，可得PG与EF所成角不是不对故答案【点睛】本题考查两条异面直线所成角的求法以及空间想象能力，是中档题. 求异面直
12、线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 如图，在三棱柱中，2，且，底面ABC，E为AB中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【1718题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得平面.
13、（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值.【小问1详解】连接 与交于点O，连接OE，由分别为的中点，所以，又平面，平面，所以平面【小问2详解】由，底面，故底面，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为：，则，即，令，则，则，因为底面，所以为平面一个法向量，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18. “五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康解决群众急难愁盼问题的重要举措为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：男生女生总
14、计90分钟以上80x18090分钟以下yz220总计160240400（1）求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？（2）学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【1819题答案】【答案】（1），没有95的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关 （2）【解析】【小问1详解】由可得：；由可得：；由可得：；所以列联表如下：男生女生合计90分
15、钟以上8010018090分钟以下80140220合计160240400，所以根据表格数据可判断，没有95的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关【小问2详解】抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人，男生人数大于女生人数的情况分为：男生2人，女生1人；男生3人，女生0人；所以所求概率19. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）对任意的正整数n，令，求数列的前2n项的和.【1920题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据数列的第项和数列前项和的关系即可得出答案；（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前项和的公式即可得出答案.【小问1详解】解：
16、由题可知，所以，得，所以（*），又因为，所以，符合（*）式，所以；【小问2详解】由（1）知，所以.20. 已知函数（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值；（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【2021题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用求得，然后结合的单调性求得的极小值.（2）将不等式转化为，通过构造函数法，结合导数来求得取值范围.【小问1详解】因为的定义域为，所以由函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y2，得，解得a1此时当和时，；当时，所以函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减，所以当x1时，函数f(x)取得极小值【小问
17、2详解】由a1得因为对于任意，当时，恒成立，所以对于任意，当时，恒成立，所以函数在上单调递减令，所以在1，2上恒成立，则在1，2上恒成立设，则当时，所以函数F(x)在上单调递减，所以，所以，故实数m的取值范围为【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.21. 已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，B为椭圆C的上顶点，以B为圆心且过、的圆与直线相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上两点M、N（点与点不重合），若直线BM和BN的斜率之和为-2，过点B作MN的垂线，垂足为D，试求D点的轨迹方程.【2122题答案】【答案
18、】（1） （2）（，或且）【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率存在是，设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据求得直线过定点，设，由求得点的轨迹方程，并排除不符合题意的点.【小问1详解】依题意，由椭圆定义知：椭圆长轴长，所以，所以椭圆C的标准方程为：【小问2详解】直线斜率存在时，设直线的方程为，由消去并化简得，需满足，由得，整理得，化简得，此时，或.所以直线的方程可化为，所以直线过点，若直线的方程为，此时直线与椭圆的交点为，满足，因为，所以，所以，设，则，由上述分析可知：或.当时，直线与交于；当 时，直线与交于，依题意可知，动点的
19、轨迹方程为（，或且）.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修44：坐标系与参数方程22. 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点【22题答案】【答案】（1）,(为参数,)（2）过坐标原点【解析】【详解】（1）由题意有，因此，的轨迹的参数方程为（为参数，）（2）点到坐标原点的距离为，当时，故的轨迹过坐标原点选修4-5：不等式选讲23. 已知为正实数，.（1）要使不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：，并指出等号成立的条件.【2324题答案】【答案】（1） （2）证明见解析，当，时等号成立【解析】【分析】（1）先求得的最小值，然后利用零点分段法来求得的取值范围.（2）结合二次函数的性质来证得不等式成立.【小问1详解】，当且仅当时等号成立.所以恒成立，令，由解得，所以的取值范围是.【小问2详解】依题意为正实数，所以，所以，当时等号成立.
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