1、第八章平面解析几何第八节 曲线与方程最新考纲考情分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.曲线与方程一般在客观题中主要考查圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程，以考查待定系数法和定义法为主；在主观题中往往仅作为某一问的形式出现，重点结合圆锥曲线的其他性质进行综合考查.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律03微突破 提升素养01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点
2、的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做_，这条曲线叫做_曲线的方程方程的曲线知识点二 求动点的轨迹方程的基本步骤1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线()(2)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()(3)方程 y x与 xy2 表示同一曲线()2小题热身(1)若 M，N 为两个定点，且|MN|6，动点 P 满足PM PN0，则 P 点的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线(2)平面内到点(1,1)与到直线 x2y30 的距离相等的点的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D一条直线AD(
3、3)已知点 O(0,0)，A(1，2)，动点 P 满足|PA|3|PO|，则 P点的轨迹方程是()A8x28y22x4y50B8x28y22x4y50C8x28y22x4y50D8x28y22x4y50A解析：设 P 点的坐标为(x，y)，则 x12y223 x2y2，整理得 8x28y22x4y50.(4)已知 F 是抛物线 y14x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是_.x22y1解析：因为抛物线 x24y 的焦点 F(0,1)，设线段 PF 的中点坐标是(x，y)，则 P(2x,2y1)在抛物线 x24y 上，所以(2x)24(2y1)，化简得 x22y1.
4、(5)已知点 P 是直线 2xy30 上的一个动点，定点 M(1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|MQ|，则 Q 点的轨迹方程是_.2xy50解析：由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)则 P(2x,4y)，代入 2xy30 得 2xy50.02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 直接法求轨迹方程【例 1】已知ABC 的三个顶点分别为 A(1,0)，B(2,3)，C(1,2 2)，定点 P(1,1)(1)求ABC 外接圆的标准方程；(2)若过定点 P 的直线与ABC 的外接圆交于 E，F 两点，求弦 EF 的中点的轨迹方程【解】(1)由题意得 AC 的中
5、点坐标为(0，2)，AB 的中点坐标为12，32，kAC 2，kAB1，故 AC 的中垂线的斜率为 22，AB 的中垂线的斜率为1，则 AC 的中垂线的方程为 y 222 x，AB 的中垂线的方程为 y32x12.由y32x12，y 2 22 x，得x2，y0，ABC 的外接圆圆心为(2,0)，半径 r213，故ABC外接圆的标准方程为(x2)2y29.(2)设弦 EF 的中点为 M(x，y)，ABC 外接圆的圆心为 N，则 N(2,0)，由 MNMP，得NM PM 0，(x2，y)(x1，y1)0，整理得 x2y23xy20，故弦 EF 的中点的轨迹方程为x322y12212.方法技巧(1)
6、若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点列式化简检验求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形1已知点 F(0,1)，直线 l：y1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且QP QF FPFQ，则动点 P的轨迹 C 的方程为()Ax24yBy23xCx22yDy24xA解析：设点 P(x，y)，则 Q(x，1)QP QF FPFQ，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即 2(y1)x22(y1)，整理得
7、x24y，动点 P 的轨迹 C 的方程为 x24y.2在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(1,1)关于原点 O对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于13.则动点 P的轨迹方程为_x23y24(x1)解析：因为点 B 与点 A(1,1)关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为(1，1)设点 P 的坐标为(x，y)，由题意得y1x1y1x113，化简得 x23y24(x1)故动点 P 的轨迹方程为x23y24(x1)考点二 定义法求轨迹方程【例 2】(1)ABC 的顶点 A(5,0)，B(5,0)，ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是_(2)
8、已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P与圆 M 外切并且与圆 N 内切，则圆心 P 的轨迹方程为_x29y2161(x3)x24y231(x2)【解析】(1)如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线的定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为6 的双曲线的右支，方程为x29y2161(x3)(2)因为圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切，|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24，由椭圆的定义可知，曲线 C是以 M，N 为左右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24y231(x
9、2)方法技巧定义法求轨迹方程的适用条件及关键1适用条件,动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义.2关键定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的常见曲线的几何特征.1(2020湖北黄冈模拟)设 D 为椭圆 x2y251 上任意一点，A(0，2)，B(0,2)，延长 AD 至点 P，使得|PD|BD|，则点 P 的轨迹方程为()Ax2(y2)220 Bx2(y2)220Cx2(y2)25 Dx2(y2)25B解析：D 为椭圆 x2y251 上一点，且易知 A、B 为椭圆的焦点，|DA|DB|2a2 5.又|PD|BD|，|PA|PD|DA|2 5，P 的轨迹
10、方程为 x2(y2)2(2 5)220.故选 B.2(2020豫北名校联盟联考)已知ABC 中，AB2，且 sinA(12cosB)sinB(12cosA)0，以边 AB 的中垂线为 x 轴，以 AB所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则动点 C 的轨迹方程为y24x231(x0)解析：在ABC 中，由 sinA(12cosB)sinB(12cosA)0得 sinAsinB2sin(AB)2sinC，由正弦定理得|BC|2R|AC|2R 2|AB|2R(R 为ABC 外接圆半径)，可得|CB|CA|2|AB|AB|.点C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆(除 y 轴上的点)，其中 2a4
11、,2c2，即 a2，c1，b2a2c23.故点 C 的轨迹方程为y24x231(x0)考点三 相关点(代入法)求轨迹方程【例 3】已知 M 为椭圆 C：x225y291 上的动点，过点 M作 x 轴的垂线 MD，D 为垂足，点 P 满足PD 53MD，求动点 P 的轨迹 E 的方程【解】(1)设 P(x，y)，y0，M(m，n)，则 D(m,0)，PD 53MD，(mx，y)53(0，n)，则有mx0，y53n，解得mx，n35y.又M(m，n)为椭圆 C：x225y291 上的点，x22535y 29 1，即 x2y225，动点 P 的轨迹 E 的方程为 x2y225(y0)方法技巧1可以用
12、“相关点法”求轨迹方程所满足的条件：某个动点 P 在已知方程的曲线上移动；另一个动点 M 随 P 的变化而变化；在变化过程中，P 和 M 满足一定的规律.2“相关点法”求轨迹方程的基本步骤：将所求动点 P 的坐标设为x，y，另一已知动点 Q 的坐标设为x0，y0，再寻找 P，Q 之间的关系，把 x0，y0 分别用 x，y 表示出来，然后代入点 Q满足的方程即得所求.已知点 H(0，8)，点 P 在 x 轴上，动点 F 满足 PFPH，且 PF 与 y 轴交于点 Q，Q 是线段 PF 的中点(1)求动点 F 的轨迹 E 的方程；(2)点 D 是直线 l：xy20 上任意一点，过点 D 作 E 的
13、两条切线，切点分别为 A，B，证明：直线 AB 过定点解：(1)设 F(x，y)，y0，P(m,0)，Q(0，n)，则PH(m，8)，PQ(m，n)，PFPH，m28n0，即 m28n，又mx20，0y2 n，mx，ny2，代入 m28n，得 x24y(y0)故轨迹 E 的方程为 x24y(y0)(2)证明：设 D(x0，x02)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 DA 与抛物线相切，且 yx2，kDAx12，直线 DA 的方程为 yx12xy1，点 D 在 DA 上，x02x12x0y1，化简得 x0 x12y12x040.同理，可得 B 点的坐标满足 x0 x22y22x040.故直线 AB 的方程为 x0 x2y2x040，即 x0(x2)2(y2)0，直线 AB 过定点(2,2)温示提馨请 做：课时作业 59PPT文稿（点击进入）