1、 第 3 节 空间点、直线、平面的位置关系 基础梳理考点突破知识整合 1.平面的基本性质及相关公(定)理 见附表 基础梳理 抓主干 固双基 质疑探究 1:上述定理中,两个角何时相等?何时互补?提示:当角的两边(射线)方向均相同或均相反时,两角相等,否则两角互补.2.空间中点、线、面之间的位置关系 见附表 质疑探究 2:三个不重合的平面可以把空间分成几部分?提示:当三个平面两两平行时,分成 4 部分;当三个平面中有两个平行,第三个与这两个都相交时,分成6 部分;当三个平面两两相交于同一直线时,分成 6 部分;当三个平面两两相交,交线平行时,分成 7 部分;当三个平面两两相交,交线只有一个公共点时
2、,分成 8 部分.故可把空间分成 4、6、7 或 8 部分.3.异面直线所成的角(1)定义 设 a、b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线aa,bb,把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角.(2)范围:0,2.双基自测 1.(2013 甘肃天水模拟)若空间三条直线 a、b、c 满足ab,bc,则直线 a 与 c(D)(A)一定平行 (B)一定相交(C)一定是异面直线(D)一定垂直 解析:若 ab,bc,则直线 a 与 c 可能相交、也可能异面,不可能平行,一定是垂直的.故选 D.2.下列命题正确的个数为(C)经过三点确定一个平面;梯形可以确定一个平面;两两
3、相交的三条直线最多可以确定三个平面;如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(A)0(B)1(C)2(D)3 解析:经过不共线的三点才能确定一个平面,不正确;由于梯形的两底平行,所以梯形可以确定一个平面,正确;两两相交的三条直线如果交于一点,则可确定一个或三个平面,所以正确;如果两个平面有三个(甚至多个)公共点,则这两个平面可以相交,所以不正确.综上可知,正确命题为,故选 C.3.(2013 广州调研)在正四棱锥 V ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1,侧棱长为 2,则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为(D)(A)6(B)4(C)3(D)2 解析:如图所示,连接 AC,
4、与 BD 交于点 O.取 VC 中点 E,连接 OE、BE、DE,则EOB 即为 VA 与BD 所成的角,由对称性知 ED=EB.又 DO=BO,则EOB=2.故选 D.4.已知 A、B 表示不同的点,l 表示直线,、表示不同的平面,则下列推理错误的是 .Al,A,Bl,B l ;A,A,B,B =AB;l ,AlA;A,Al,l l=A.解析:由公理 1 知正确;由公理 3 知正确;当 l 与相交于A 点时,A,所以错误,正确.答案:考点突破 剖典例 知规律 考点一 平面的基本性质及其应用【例 1】如图所示,四边形 ABEF 和ABCD 都是梯形,BC12AD,BE12FA,G、H 分别为
5、FA、FD 的 中点.(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形;(2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?思维导引:(1)由中位线性质及公理 4 可得四边形 BCHG 的一组对边平行且相等,再由平行四边形判定定理得证.(2)可先根据公理确定三点共面,再证明第四点也在这个平面内.(1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD,可得 GH12AD.又BC12AD,GHBC,四边形 BCHG 为平行四边形.(2)解:C、D、F、E 四点共面,证明如下:法一 由 BE12AF,G 为 FA 的中点知 BEFG,四边形 BEFG 为平行四边形,EFBG.由(1)知 BGCH,EFCH.EF 与 CH 共
6、面.又 DFH,C、D、F、E 四点共面.法二 如图所示,延长 FE、DC 分别与 AB 的延长线交于点 M、M,BE12AF,B 为 MA 的中点.BC12AD,B 为 MA 的中点.M 与 M重合.即 EF 与 CD 相交于点 M(M),C、D、F、E 四点共面.反思归纳(1)证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况,其常用方法如下:纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面、重合.反证法.(2)证明空间点共线问题:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的
7、交线上.选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.(3)证明空间三线共点问题,先证明两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上.即时突破 1 如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,E、F分别是 AB 和 AA1的中点.求证:(1)E、C、D1、F 四点共面;(2)CE、D1F、DA 三线共点.证明:(1)连接 EF、CD1、A1B.E、F 分别是 AB、AA1的中点,EFBA1.又A1BD1C,EFCD1,E、C、D1、F 四点共面.(2)EFCD1,EFCD1,CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,则由 PCE,CE 平面 ABCD,得
8、P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1=DA,P直线 DA,CE、D1F、DA 三线共点.考点二 空间两条直线的位置关系【例 2】正方体 ABCD A1B1C1D1中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论:直线 AM 与 CC1是相交直线;直线 AM 与 BN 是平行直线;直线 BN 与 MB1是异面直线;直线 AM 与 DD1是异面直线.其中正确的结论为 .(注:把你认为正确的结论的序号都填上)思维导引:先确定共面与异面,当两直线共面时再确定是相交与平行.解析:直线 AM 与 CC1是异面直线,直线 AM 与 BN 也是异面直线
9、,所以错误.点 B、B1、N 在平面 B1C 中,点 M 在此平面外,所以 BN、MB1是异面直线.同理 AM、DD1也是异面直线.答案:反思归纳 判定空间直线位置关系的方法 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.即时突破 2 l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()(A)l1l2,l2l3l1l3(B)l1l2,l2l3l1l3(C)l1l2l3l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l
10、3共点l1,l2,l3共面 解析:如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中:对于选项 A:A1D1AA1,ABAA1,但 A1D1与 AB 是异面直线,选项 A 错误;对于选项 C:ABA1B1C1D1,但三线不共面,选项 C 错误;对于选项 D,AB、AA1、AD 共点于 A,但三线不共面,选项 D 错误.正确答案是 B.考点三 异面直线所成的角【例 3】正方体 ABCD A1B1C1D1中.(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小;(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1与 EF 所成角的大小.思维导引:(1)平移 A1D 到 B1C,找出 AC 与 A1D 所成的角
11、,再计算.(2)可证 A1C1与 EF 垂直.解:(1)如图(1)所示,连接 AB1、B1C,由 ABCD A1B1C1D1是正方体,易知 A1DB1C,从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC与 A1D 所成的角.AB1=AC=B1C,B1CA=60,即 A1D 与 AC 所成的角为 60.(2)如图(2)所示,连接 AC、BD,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,ACBD,ACA1C1,E、F 分别为 AB、AD 的中点,EFBD,EFAC,EFA1C1,即 A1C1与 EF 所成的角为 90.反思归纳 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”(1)利用图中已有的平行线平移;(2)利用
12、特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;(3)补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.即时突破 3(2012 年高考四川卷)如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,M、N 分别是棱 CD、CC1的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 .解析:利用中位线平移寻找异面直线所成的角.如图,取 CN 的中点 K,连接 MK,则 MK 为CDN 的中位线,所以 MKDN.所以A1MK 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角.连接 A1C1,AM.设正方体棱长为 4,则 A1K=224 23=41,MK=12DN=221422=5,A1M=222442=6,A1M2+MK
13、2=A1K2,A1MK=90.备选例题【例题】如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点,在这个正四面体中,GH 与 EF 平行;BD 与 MN 为异面直线;GH 与 MN 成 60角;DE 与 MN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是 .解析:题中正四面体如图所示,由图及题意可知,GHAD,GH 与 EF 异面,所以不正确;同理 BD 与 MN 异面,所以正确;由于 GH=12AD=12AF=MN=GM,所以GMN 为正三角形,因此 GNM=60,正确;由于 DEAF,而 AFMN,所以 DEMN,故正确.答案:思想方法 构造法在研究直线位置关系中
14、的运用【典例】在正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别为棱 AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有 条.分析:找与三条异面直线都相交的直线,可以转化成在一个平面内,作与三条直线都相交的直线.因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面,进而研究公共交线问题.解析:在 EF 上任意取一点 M,直线A1D1与 M 确定一个平面,这个平面与CD 有且仅有 1 个交点 N,连接 MN 的直线与直线 A1D1一定相交,当 M 取不同的位置时就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点.如图所示.由在EF 上任取 M 点有无穷多个,所以满足题意的直线有无数条.答案:无数 方法点睛 本题巧妙构造一平面,使难以想象的问题转化为平面问题,从而准确判断空间直线的位置关系,体现了转化思想与构造法的有力作用.点击进入课时训练
