1、第八章平面解析几何第五节 椭圆第2课时 直线与椭圆的位置关系课时作业02考点探究 明晰规律03微突破 提升素养02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 直线与椭圆的位置关系判断【例 1】已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x24y221.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点【解】将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组y2xm，x24y221，将代入，整理得 9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当 0，即3 2m3 2时，方程有两个不同的实数根，可知
2、原方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点(2)当 0，即 M3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(3)当 0，即 m3 2时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点方法技巧研究直线与椭圆位置关系的方法1研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.2对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.直线 ykxk1 与椭圆x29y241 的位置关系为(
3、)A相交 B相切C相离 D不确定A解析：直线 ykxk1k(x1)1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交考点二 弦长问题【例 2】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，|AB|4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|487，求直线 AB 的方程【解】(1)由题意知 eca12，2a4.又 a2b2c2，解得 a2，b 3，所以椭圆方程为x24y231.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题
4、意知|AB|CD|7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 CD 的方程为 y1k(x1)将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，则 x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2，所以|AB|k21|x1x2|k21 x1x224x1x212k2134k2.同理，|CD|121k2134k212k213k24.所以|AB|CD|12k2134k2 12k213k2484k21234k23k24487，解得 k1，所以直线 AB 的方程为 xy10 或
5、xy10.方法技巧1.弦长的求解方法1当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.2当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于Ax1，y1，Bx2，y2两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：2.弦长公式的运用技巧 弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程 ykxb 便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为 myxa 可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”.已知椭圆 C
6、：x2a2y2b21(ab0)的中心是坐标原点 O，左、右焦点分别为 F1，F2，设 P 是椭圆 C 上一点，满足 PF2x 轴，|PF2|12，椭圆 C 的离心率为 32.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C 左焦点且倾斜角为 45的直线 l 与椭圆 C 相交于A，B 两点，求AOB 的面积解：(1)由题意知，离心率 eca 32，|PF2|b2a 12，得 a2，b1，所以椭圆 C 的标准方程为x24y21.(2)由条件可知 F1(3，0)，直线 l：yx 3，联立直线l 和椭圆 C 的方程，得yx 3x24y21，消去 y 得 5x28 3x80，设 A(x1，y1)，B(x2
7、，y2)，则 x1x28 35，x1x285，所以|y1y2|x1x2|x1x224x1x24 25，所以 S AOB12|y1y2|OF1|2 65.考点三 中点弦问题【例 3】(1)过椭圆x216y241 内一点 P(3,1)，且被点 P 平分的弦所在直线的方程是()A4x3y130 B3x4y130C4x3y50 D3x4y50B(2)如图，已知椭圆x22y21 的左焦点为 F，O 为坐标原点，设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段 AB的垂直平分线与 x 轴交于点 G，则点 G 横坐标的取值范围为_12，0【解析】(1)设所求直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B
8、(x2，y2)两点，由于 A，B 两点均在椭圆上，故x2116y2141，x2216y2241，两式相减得x1x2x1x216y1y2y1y240.P(3,1)是 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，x1x26，y1y22，故 kABy1y2x1x234，直线 AB 的方程为 y134(x3)，即 3x4y130，故选 B.(2)设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k0)，代入x22y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F，所以方程有两个不等实根，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 N(x0，y0)，则 x1x2 4k22k2
9、1，x012(x1x2)2k22k21，y0k(x01)k2k21，所以 AB 的垂直平分线 NG 的方程为yy01k(xx0)令 y0，得 xGx0ky0 2k22k21k22k21k22k211214k22.因为 k0，所以12xGb0)的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是 M(4,1)，则椭圆的离心率是()A.12 B.22 C.32 D.55C解析：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.因为 kABy1y2x1x21，且 x1x28，
10、y1y22，所以b2a214，eca1ba2 32，故选 C.考点四 椭圆与向量的综合问题【例 4】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，e12，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，线段AB 的中点横坐标为14，且AFFB(其中 1)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求实数 的值【解】(1)由椭圆的焦距为 2，知 c1，又 e12，a2，故 b2a2c23，椭圆 C 的标准方程为x24y231.(2)由AFFB，可知 A，B，F 三点共线，设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)若直线 ABx 轴，则 x1x21，不符合题意；所以设 l 的方
11、程为 yk(x1)由 ykx1，x24y231，消去 y 得(34k2)x28k2x4k2120.的判别式 64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23，x1x2 8k24k2321412，k214.将 k214代入方程，得 4x22x110，解得 x13 54.又AF(1x1，y1)，FB(x21，y2)，AFFB，即 1x1(x21)，1x1x21，又 1，3 52.方法技巧一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和
12、基本思想.(2020河北省九校联考)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且PCPD 1.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，若PB12AP，求直线 l 的方程解：(1)由题意知，eca 22，得 a 2c 2b，不妨取 C(0，b)，D(0，b)，PCPD(b1)(b1)1，b22，a2，椭圆 E 的方程为x24y221.(2)当直线 l 的斜率不存在时，PB(0，21)，AP(0，21)，PB12AP，不符合题意，不存在这样的直线 l.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y
13、kx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程得x24y221，ykx1，整理得(12k2)x24kx20，由根与系数的关系，得 x1x2 4k12k2，x1x2 212k2，由PB12AP得，(x2，y21)12(x1,1y1)，x212x1，x1 8k12k2，x21412k2，解得 k2 114，k 1414，直线 l 的方程为 y 1414 x1.03 微突破 提升素养 突破重点 开阔视野 解析几何问题中的“设而不求”1数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学2“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在
14、于设而不求，化繁为简解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等类型一 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【典例 1】(1)ABC 的三个顶点都在抛物线 E：y22x 上，其中 A(2,2)，ABC 的重心 G 是抛物线 E 的焦点，则 BC 所在直线的方程为_(2)抛物线 E：y22x 上存在两点关于直线 yk(x2)对称，则 k 的取值范围是_4x4y50(2，2)【解析】(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，边 BC 的中点为 M(x0，y0)，易知 G12
15、，0，则x1x22312，y1y2230，从而x0 x1x2214，y0y1y221，即 M14，1，又 y212x1，y222x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线 BC 的斜率 kBCy1y2x1x22y1y2 22y01y01，故直线BC 的方程为 y(1)x14，即 4x4y50.(2)当 k0 时，显然成立当 k0 时，设两对称点为 B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC 的中点为 M(x0，y0)，由 y212x1，y222x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线 BC 的斜率 kBCy1y2x1x22y1y2 22y01y0，由对称
16、性知 kBC1k，点 M 在直线 yk(x2)上，所以 y0k，y0k(x02)，所以 x01.由点 M 在抛物线内，得 y202x0，即(k)22，所以 2k0【典例 2】已知双曲线 x2y221，过点 P(1,1)能否作一条直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？【解】假设存在直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，且点 P是线段 AB 的中点设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知 x1x2，由x21y2121，x22y2221，两式相减得(x1x2)(x1x2)y1y2y1y220，又x1x221，y1y221，所以 2(x1x2)(y1y2)0，所以k
17、ABy1y2x1x22，故直线 l 的方程为 y12(x1)，即 y2x1.由 y2x1，x2y221，消去 y 得 2x24x30，因为 162480，方程无解，故不存在一条直线 l与双曲线交于 A，B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点类型三 求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【典例 3】已知 F 为抛物线 C：y22x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则|AB|DE|的最小值为_8【解析】法 1：由题意知，
18、直线 l1，l2 的斜率都存在且不为 0，F12，0，设 l1：xty12，则直线 l1 的斜率为1t，联立方程得y22x，xty12，消去 x 得 y22ty10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22t，y1y21.所以|AB|t21|y1y2|t21 y1y224y1y2 t21 4t242t22，同理得，用1t替换t可得|DE|2t22，所以|AB|DE|2t21t24448，当且仅当 t21t2，即 t1 时等号成立，故|AB|DE|的最小值为 8.法 2：由题意知，直线 l1，l2 的斜率都存在且不为 0，F12，0，不妨设 l1 的斜率为 k，则 l1：ykx12，l2：y1kx12.由 y22x，ykx12，消去 y 得 k2x2(k22)xk240，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x212k2.由抛物线的定义知，|AB|x1x2112k2122k2.同理可得，用1k替换|AB|中 k，可得|DE|22k2，所以|AB|DE|2 2k222k24 2k22k2448，当且仅当 2k22k2，即 k1 时等号成立，故|AB|DE|的最小值为 8.温示提馨请 做：课时作业 56PPT文稿（点击进入）
