1、第八章平面解析几何第三节 圆的方程最新考纲考情分析1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考命题的热点2常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查3题型以选择题、填空题为主，有时也会以解答题的形式出现.课时作业01知识梳理诊断自测02考点探究明晰规律01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 圆的定义及方程 1.如果没给出 r0，则圆的半径为|r|.2当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 表示一个点D2，E2；当 D2E24Fr2.(2)若 M(x0，y0)在圆
2、上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)20.()(4)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()解析：(1)t0 时，方程表示圆心为(a，b)，半径为|t|的圆(2)a2(2a)24(2a2a1)0，即2aD2E24F4，即 x20y20Dx0Ey0F0.(4)设 M(x，y)是圆上异于直径端点 A，B 的点，由yy1xx1yy2xx21 得(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.2小题热身(1)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是()A(2,3)B(2,
3、3)C(2，3)D(2，3)D解析：圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)(2)方程 x2y2xym0 表示一个圆，则 m 的取值范围是()A.12，B.，12C.，12D.12，A解析：由题 114m0，所以 m12.故选 A.(3)(2020黄山模拟)以线段 AB：xy20(0 x2)为直径的圆的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)28D(x1)2(y1)28B解析：线段 AB：xy20(0 x2)的两个端点为(0，2)，(2,0)，圆心为(1，1)半径为 22222 2，圆的方程为(x1)2(y1)22.(4)若点(1,
4、1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是(1,1)解析：由条件知(1a)2(1a)24，即 22a24.a21.即1a0)，则由题意，得1a21b2r2，1a21b2r2，ab20，解得a1，b1，r2，因此圆的方程是(x1)2(y1)24，故选 C.方法 2：AB 的中垂线方程为 yx，所以由yx，xy20得圆心为(1,1)，所以半径为 2，因此圆的方程是(x1)2(y1)24，故选 C.(2)设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0.令 y0 得 x2DxF0，所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1x2D.令 x0，得 y2EyF0，所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1
5、y2E.由题设 x1x2y1y2(DE)2，即 DE2.因为 A(4,2)，B(1,3)在圆上，所以 1644D2EF0，19D3EF0，由解得 D2，E0，F12，故所求圆的方程为 x2y22x120.方法技巧求圆的方程一般有两种常用方法：1几何法，通过研究圆的几何性质，确定圆心坐标与半径长，即得到圆的方程；2代数法，用待定系数法求解，其关键是根据条件选择圆的方程，若已知圆上三点，则选用圆的一般方程，若已知条件与圆心及半径有关，则选用圆的标准方程.1(2019浙江卷)已知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2xy30 与圆 C 相切于点 A(2，1)，则 m，r.2解析：解
6、法 1：设过点 A(2，1)且与直线 2xy30垂直的直线方程为 l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以 l：x2y40.令 x0，得 m2，则r 202122 5.解法 2：因为直线 2xy30 与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为 A(2，1)，所以 m10221，所以 m2，r 202122 5.52已知圆 C 经过 P(2,4)，Q(3，1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6，则圆 C 的方程为.x2y22x4y80 或x2y26x8y0解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将 P，Q 两点的坐标分别代入得2D4EF20，3DEF10.又令 y0，得
7、 x2DxF0.设 x1，x2 是方程的两根，由|x1x2|6，得 D24F36，联立，解得 D2，E4，F8，或 D6，E8，F0.故所求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0.考点二 与圆有关的最值问题命题方向 1 利用几何关系求最值【例 2】直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6B4,8C 2，3 2 D2 2，3 2A【解析】圆心(2,0)到直线的距离 d|202|22 2，所以点 P 到直线的距离 d1 2，3 2根据直线的方程可知 A，B两点的坐标分别为 A(2,0)，B(0
8、，2)，所以|AB|2 2，所以ABP 的面积 S12|AB|d1 2d1.因为 d1 2，3 2，所以 S2,6，即ABP 面积的取值范围是2,6命题方向 2 利用函数关系求最值【例 3】(1)若点 P 为圆 x2y21 上的一个动点，点 A(1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|PB|的最大值为()A2 B2 2 C4 D4 2(2)已知圆 C 的方程为 x22xy20，直线 l：kxy22k0 与圆 C 交于 A，B 两点，则当ABC 面积最大时，直线 l 的斜率 k()A1 B6C1 或 7 D2 或 6BC【解 析】(1)易 得|PA|2|PB|2 4，由 基 本 不 等 式
9、得|PA|PB|22|PA|2|PB|222，所以|PA|PB|2 2.(2)圆 C 的标准方程为(x1)2y21，圆心为 C(1,0)，半径 r1.直线 l 变形为 yk(x2)2，过定点(2,2)，记ACB，由面积公式，得 S12r2sin12sin12，当 2时，ABC 面积最大，此时，点 C 到直线 l 距离为 d|k2|k21 22，解得 k1 或 7.方法技巧1利用几何关系求最值,一般根据距离、斜率等知识的几何意义，结合圆的几何性质数形结合求解.2建立函数关系式求最值,根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.1(方向 1)圆 x2
10、y24x4y60 上的点到直线 xy80 的最大距离与最小距离分别是()A2 2，2B3 2，2C4,2 D4 2，2 2B解析：圆 x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22，圆心为(2,2)，半径 r 2.圆心到直线的距离 d|228|22 2，圆 x2y24x4y60 上的点到直线 xy80 的最大距离与最小距离分别是 dr3 2，dr 2，故选 B.2(方向 1)已知点 P 为直线 yx1 上的一点，M，N 分别为圆C1：(x4)2(y1)24 与圆 C2：x2(y2)214上的点，则|PM|PN|的最大值为()A4 B92C112D7C解析：设 C2(0,2)关于直线 yx1 的
11、对称点为 C(m，n)，则 n2m 1，n22 m21，解得 C(1,1)由对称性可得|PC|PC2|，则|PC1|PC2|PC1|PC|C1C|3，由于|PM|PC1|2，|PN|PC2|12，|PM|PN|PC1|PC2|52112，即|PM|PN|的最大值为112，故选 C.3(方向 2)若直线 axby10(a0，b0)把圆(x4)2(y1)216 分成面积相等的两部分，则 12a2b的最小值为()A10 B8 C5 D4B解析：因为圆(x4)2(y1)216 的圆心坐标为(4，1)，直线 axby10 把圆分成面积相等的两部分，所以该直线过点(4，1)，4ab10，即 4ab1，12
12、a2b12a2b(4ab)48ab b2a428ab b2a8，当且仅当 a18，b12时取“”考点三 与圆有关的轨迹问题【例 4】(2020沈阳质量监测)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点 A，B距离之比是常数(0，1)的点 M 的轨迹是圆若两定点 A，B 的距离为 3，动点 M 满足|MA|2|MB|，则 M 点的轨迹围成区域的面积为()A B2 C3 D4D【解析】以 A 点为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则可取 B(3,0)设 M(x，y)，依题意有，x2y2x32y22，化简整理得，x2y28x120，即(x4)2y2
13、4，圆的面积为4.故选 D.方法技巧求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法1直接法：根据题设条件直接列出方程；2定义法：根据圆的定义写出方程；3几何法：利用圆的性质列方程；4代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式1自圆 C：(x3)2(y4)24 外一点 P(x，y)引该圆的一条切线，切点为 Q，切线的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点 P 的轨迹方程为()A8x6y210 B8x6y210C6x8y210 D6x8y210D解析：由题意得|PC|222|PO|，所以(x3)2(y4)24x2y2，即 6x8y210，故选 D.2已知点 A(1,0)和圆 C：x2y24 上一点 P，动点 Q 满足PA2AQ，则点 Q 的轨迹方程为()Ax322y21 Bx2y3221Cx2y3221 Dx322y21D解析：设 Q(x，y)，P(x0，y0)，由PA2AQ，得 x02x3，y02y，代入圆的方程，得x322y21.温示提馨请 做：课时作业 53PPT文稿（点击进入）
