1、第八章平面解析几何第二节 直线的交点与距离公式最新考纲考情分析1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.1.高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离2常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会命制新定义题目3题型以选择题、填空题为主，属于中低档题.课时作业01知识梳理诊断自测02考点探究明晰规律01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 两条直线平行与垂直的判定 知识点二 两条直线的交点知识点三 三种距离 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)
2、求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且 x，y的系数对应相等1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若两条直线的方程组成的方程组有解，则两条直线相交()(2)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b|1k2.()(3)直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()(5)若点 A，B 关于直线 l：ykxb(k0)对称，则直线 AB 的斜率等于1k，且线段 AB 的中点在直线 l 上()
3、解析：(1)当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合(2)应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点 P 到直线的距离为|kx0y0b|1k2.(3)因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离(4)两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离(5)根据对称性可知直线 AB 与直线 l 垂直且直线 l 平分线段 AB，所以直线 AB 的斜率等于1k，且线段 AB 的中点在直线 l 上2小题热身(1)已知直线(k3)x(4k)y10 与 2(k3)x2y30 平行，那么 k 的值为()A1 或 3 B1 或
4、 5C3 或 5 D1 或 2C解析：法 1：把 k1 代入已知两条直线，得2x3y10 与4x2y30，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以 k1，排除 A，B，D.法 2：因已知两条直线平行，所以 k3 或k3，k32k34k2 13，解得 k3 或 k5.(2)直线 ax2y10 与直线 2x3y10 垂直，则 a 的值为()A3 B43C2 D3D解析：由 2a2(3)0，得 a3.(3)直线 2xy10，yx1，yax2 交于一点，则 a 的值为.23解析：由2xy10，yx1，得x9，y8，代入 yax2 得a23.(4)点(a，b)关于直线 xy10 的对称点是(b
5、1，a1)解析：设对称点的坐标为(x0，y0)，则y0bx0a1，ax02by0210，即y0bx0a，x0y0ab20，解之得x0b1，y0a1.即对称点坐标为(b1，a1)(5)直线 2x2y10，xy20 之间的距离是.3 24解析：先将 2x2y10 化为 xy120，则两平行线间的距离为 d|212|2 3 24.02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 两条直线的平行与垂直问题【例 1】(1)已知两条直线 l1：(a1)x2y10，l2：xay30 平行，则 a 等于()A1 B2C0 或2 D1 或 2(2)已知两直线方程分别为 l1：xy1，l2：ax2y0，若 l
6、1l2，则 a_.D2方法技巧1当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.2在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.1若直线 l1：(a1)xy10 和直线 l2：3xay20 垂直，则实数 a 的值为()A.12 B.32C.14 D.34D解析：由已知得 3(a1)a0，解得 a34.2已知 a，b 为正数，且直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 平行，则 2a3b 的最小值为.25解析：由两直线平行可得，a(b3)2b，
7、即 2b3aab，2a3b1.又 a，b 为正数，所以 2a3b(2a3b)2a3b 136ab 6ba 1326ab 6ba 25，当且仅当 ab5 时取等号，故 2a3b 的最小值为 25.考点二 两直线的交点与距离问题【例 2】(1)求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交 点，且 垂 直 于 直 线 l3：3x 5y 6 0 的 直 线 l 的 方 程 为_(2)已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是_(3)若两平行直线 3x2y10,6xayc0 之间的距离为2 1313，则 c 的值是_5x3y100,102 或6【解析
8、】(1)先解方程组3x2y10，5x2y10，得 l1，l2 的交点坐标为(1,2)，再由 l3 的斜率35求出 l 的斜率为53，于是由直线的点斜式方程求出 l：y253(x1)，即 5x3y10.(2)由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1|5|153a|5.又|153a|53，即|153a|15，解之得 0a10，所以 a 的取值范围是0,10(3)依题意知，63 a2 c1，解得 a4，c2，即直线6xayc0 可化为 3x2yc20，又两平行线之间距离为2 1313，所以c2132222 1313，解得 c2 或6.方法技巧1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线
9、方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程2利用距离公式应注意：(1)点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 yb 的距离 d|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数分别化为相等1若直线 l 与两直线 y1，xy70 分别交于 M，N 两点，且MN 的中点是 P(1，1)，则直线 l 的斜率是()A23B23C32D32A解析：由题意，设直线 l 的方程为 yk(x1)1，分别与 y1，xy70 联立解得 M2k1，1，Nk6k1，6k1k1.又因为 MN 的中点是 P(1，1)，所以由中点坐标公式得 k23.2若
10、 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295C解析：因为3648125，所以两直线平行，将直线 3x4y120 化为 6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|245|6282 2910，所以|PQ|的最小值为2910.3(2019江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx4x(x0)上的一个动点，则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是.4解析：解法 1：设 P(x，x4x)，x0，则点 P 到直线 xy0 的距离 d|xx4x|22x4x2 22x4x24，当
11、且仅当 2x4x，即 x 2时取等号，故点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是 4.解法 2：由 yx4x(x0)得 y14x2，令 14x21，得 x 2，则当点 P 的坐标为(2，3 2)时，点 P 到直线 xy0 的距离最小，最小值为|23 2|24.考点三 对称问题命题方向 1 点关于点对称【例 3】(1)点 M(m，1)关于点 N(2，n)的对称点为P(4，5)，则()Am3，n8 Bm3，n8Cm3，n8 Dm8，n3(2)直线 x2y30 关于定点 M(2,1)对称的直线方程是_Dx2y110命题方向 2 点关于线对称【例 4】如图，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(
12、2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是()A3 3B6C2 10D2 5C【解析】直线 AB 的方程为 xy4，点 P(2,0)关于直线AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(2,0)，则光线经过的路程为|CD|62222 10.命题方向 3 直线关于直线对称【例 5】直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的直线方程是_x2y30【解析】设所求直线上任意一点 P(x，y)，则 P 关于 xy20 的对称点为 P(x0，y0)，由xx02yy0220，xx0yy0，得x0y2，y0 x2，由点
13、 P(x0，y0)在直线 2xy30 上，2(y2)(x2)30，即 x2y30.方法技巧解决对称问题的方法1中心对称点Px，y关于Qa，b的对称点Px，y满足x2ax，y2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点 A(m，n)，则有nbmaAB 1，Aam2Bbn2 C0.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决1(方向 2)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则 mn 等于()A.345 B.365C.283 D.323A解析：由已知，纸的折痕
14、应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线 y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3n2 27m23，n3m712，解得m35，n315，所以 mn345.2(方向 2)已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l：xy30反 射，反 射 光 线 经 过 点 N(2,6)，则 反 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程为.6xy60解析：设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M，所以b4a31，3a2b42 30，解得 a1，b0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为y060 x121，即 6xy60.3(方向 1)过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x 3y 10 0 截 得 的 线 段 被 点 P 平 分，则 直 线 l 的 方 程为.x4y40解析：设 l1 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2 上，代入 l2 的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40.温示提馨请 做：课时作业 52PPT文稿（点击进入）