1、第4节 运动的图象 追及与相遇问题一、运动的图象1.直线运动图象的意义图象法是一种通过建立坐标系来表达物体运动规律的重要方法.形状类似的图象在不同的坐标系中表示的物理规律不同，因此，应用图象时，首先要看清纵、横坐标代表哪种物理量.对直线运动的图象的认识应该做到：(1)能根据图象识别物体运动的性质；(2)能认识图象截距的意义；(3)能认识图象斜率的意义；(4)能认识图象与坐标轴所围面积的意义；(5)能说出图线上任一点的状况.2.位移时间(st)图象物体运动的 st 图象表示物体的位移随时间变化的规律，与物体运动的轨迹 关系.右图中a、b、c 三条直线对应的 st 关系式分别为 sa 、sb 、s
2、c ，都是 直线运动的位移时间图象.纵轴截距 s0 表示在 t0 时 a 在b ；横轴截距 t0 表示 c 比 b 和 a ；斜率表示运动 ，容易看出 ；交点P 可反映出 t 时刻 .无任何直接vats0vbtvc(tt0)匀速前方s0处晚出发t0速度vcvbvac追上b3.速度时间(vt)图象物体运动的vt图象表示物体运动的速度随时间变化的规律，与物体运动的轨迹无任何直接关系.右图中 a、b、c、d 四条直线对应的 vt 关系式分别为 va_、vb_、vc_、vd_，直线 a是匀速直线运动的速度图象，其余都是匀变速直线运动的速度图象纵轴截距 v0 表示_，横轴截距 tm表示_斜率表示运动的_
3、，斜率为负者(如 d)对应于_直线运动图线下边覆盖的面积表示运动的_两图线的交点 P 可反映出在时刻 t 两个运动(c 和 d)_常数v0atatv0atb、d的初速度d从做匀减速直线运动开始到速度等于零所需要的时间加速度匀减速位移有相同的速度二、追及和相遇问题1追及和相遇问题概述当两个物体在_运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的_会不断发生变化，两物体间距或越来越大或越来越小，这时就会涉及到追及、相遇或避免碰撞等问题2追及问题的两类情况(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)：当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有_距离若
4、两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者_的临界条件同一直线上距离最小避免碰撞若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则因追者是减速运动，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个_值(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)：当两者速度相等时有_距离若两者位移相等时，则追上3相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及即相遇(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇最大最大题型一：对运动图象的认识和理解例1 如图所示为一物体做直线运动时的图象，但纵坐标表示的物理量未标出.已知物体在前2 s时
5、间内向东运动，则以下判断正确的是()A.若纵坐标表示速度，则物体在4 s内的位移为4 mB.若纵坐标表示速度，则物体在4 s内的加速度大小不变，方向始终向东C.若纵坐标表示位移，则物体在4 s内的运动方向始终向东D.若纵坐标表示位移，则物体在4 s内的位移为零【解析】若纵坐标表示速度：在4 s内图线与时间轴所围成的面积为零，则位移为零，A错误；图线的斜率表示加速度，斜率不变，知加速度大小和方向都不变，前2 s时间内向东运动，因为物体做减速运动，则加速度的方向与速度的方向相反，则物体的加速度方向向西，B错误，若纵坐标表示位移：初末位置不同，则位移不为零.物体在前2s时间内向东运动，从图线可知在4
6、 s内物体一直向东运动，C正确，D错误.【答案】C【方法与知识感悟】处理图象问题要注意“五看”即：(1)看坐标.看清楚是什么物理量随什么物理量的变化.(2)看截距代表什么意义.(3)看斜率的物理意义.(4)看面积有什么物理意义.(5)看交点有什么物理意义 下面甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在st图象与vt图象中的比较(是与t轴重合的直线).st图vt图表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)表示物体做初速为零的匀加速直线运动(斜率表示加速度a)表示物体静止表示物体做匀速直线运动表示物体静止在原点O表示物体静止表示物体向反方向做匀速直线运动；初位置为s0表示物体做匀减速直线运动；初速度为v0
7、交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置交点的纵坐标表示三个运动质点在同一时刻达到相同的速度t1时间内物体位移为s1t1时刻物体速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0t1时间内的位移)题型二：运用运动图象解答运动学问题例2 摩托车在平直公路上从静止开始起动，a11.6 m/s2，稍后匀速运动，然后减速，a26.4 m/s2，直到停止，共历时130 s，行程1 600 m.试求：(1)摩托车行驶的最大速度vm；(2)若摩托车从静止起动，a1、a2不变，直到停止，行程不变，所需最短时间为多少？【解析】(1)如图所示，利用推论v2tv202as有：v2m2a1(130vma1vma2)vmv2m2
8、a21 600.其中a11.6 m/s2，a26.4 m/s2.解得：vm12.8 m/s(另一解舍去).(2)行程不变，则图象中面积不变，当v越大则t越小，如图所示.设最短时间为tmin，则tminvma1 vma2 vm22a1 vm22a2 1 600 其中a11.6 m/s2，a26.4 m/s2.由式解得vm64 m/s，故tmin641.6 s646.4 s50 s.即最短时间为50 s.题型三：追及与相遇问题例3 汽车前方120 m有一自行车正以6 m/s的速度匀速前进，汽车以18 m/s的速度追赶自行车，若两车在同一条公路不同车道上作同方向的直线运动，求：(1)经多长时间，两车
9、第一次相遇？(2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2 m/s2，则再经多长时间两车第二次相遇？【解析】(1)设自行车速度为v16 m/s，汽车速度为v218 m/s，起始时汽车与自行车相距s120 m 设经t两车相遇，应有：sv1tv2t 解得：t10 s(2)设汽车刹车后经t0停止 则：0v2at0 即018(2)t0可得t09 s 在t0时间内，自行车前进s1v1t054 m 汽车前进s2v22 t081 m 因s1v 人，人、车相距越来越远，人不能追上车.06 s 内，s 人36 m，s 车18 m，s(251836)m7 m，A 错，B 对，C 错，D 错.3.
10、在平直公路上行驶的 a车和b车，其位移时间图象分别为图中直线a 和曲线 b，由图可知()A.b 车运动方向始终不变B.在 t1 时刻 a 车的位移大于 b 车C.t1 到 t2 时间内 a 车的平均速度小于 b 车D.t1 到 t2 时间内某时刻两车的速度可能相同【解析】b 车先向前运动，后又反方向运动，A错；t1 时刻两车位移相同，B 错.t1t2 两车平均速度相同，C 错；t1t2 时间内的某时刻图象 b 的斜率等于 a的斜率，D 对.D4.甲、乙两个质点同时、同地向同一方向做直线运动，它们的vt图象如下图所示，则()A.乙比甲运动快B.2 s末乙追上甲C.2 s末甲、乙在再次相遇前相距最
11、远D.乙追上甲时距出发点40 m远【解析】2 s以前，乙比甲运动得慢，A错；2 s末，甲、乙速度相等，相距最远，B错，C对；t4 s时，乙追上甲，D对.CD一、选择题：15题为单选，69题为多选.1.一物体在水平地面上做直线运动的速度v随时间t的变化关系如图所示.则()A.24秒的加速度大于46秒的加速度B.46秒的加速度大于810秒的加速度C.010秒，物体的位移是15 mD.26秒物体运动方向与810秒物体运动的方向相反C【解析】26 s内，加速度不变，A错；46 s内的加速度小于810 s的加速度，B错；26 s与810 s速度方向相同，D错；由图象所围面积知，C对.2.在某次军事演习中
12、，空降兵从悬停在高空的直升机上跳下，当下落到距离地面适当高度时打开降落伞，最终安全到达地面，空降兵从跳离飞机到安全到达地面过程中在竖直方向上运动的vt图象如图所示，则以下判断正确的是()A.空降兵在0t1时间内做自由落体运动B.空降兵在t1t2时间内的加速度方向竖直向上，大小在逐渐减小C.空降兵在0t1时间内的平均速度 v12v2D.空降兵在t1t2时间内的平均速度 v12(v1v2)B【解析】在vt图象中，图线上某点的切线的斜率绝对值表示加速度的大小，斜率正负表加速度的方向.由图可以看出，空降兵在0t1时间内，图线上某点的切线的斜率为正值，逐渐减小，加速度大小逐渐减小，方向与速度方向相同，竖
13、直向下，做加速度逐渐减小的加速运动，故A错误；空降兵在t1t2时间内，图线上某点的切线的斜率为负，绝对值逐渐减小，所以加速度大小逐渐减小，方向与速度方向相反，竖直向上，做加速度逐渐减小的减速运动，故B正确；空降兵在0t1时间内，若做匀加速直线运动，则平均速度为 x0t 12v2t1t1 12 v2，而本题图象围成的面积比匀加速直线运动大，所以平均速度 v12v2，故C错误；同理可判定，空降兵在t1t2时间内，平均速度 v12(v1v2)，故D错误.所以选B.3.甲、乙两质点在一直线上做匀加速直线运动的vt图象如图所示，在3 s末两质点在途中相遇，两质点出发点间的距离是()A.甲在乙之前2 mB
14、.乙在甲之前2 mC.乙在甲之前4 mD.甲在乙之前4 mD【解析】由图象求出s乙6 m，s甲2 m，D对.4.甲、乙两质点在同一直线上运动的速度时间图象如图中a、b所示，其中a是恰好与两坐标轴相切于(8，0)和(0，8)两点的 14 圆弧，b是过原点O和点(8，8)的直线.t0时刻两质点的位置相同.则关于08 s内两质点的位置关系，正确的说法是()A.t1时刻两质点再次相遇B.t1时刻两质点之间的距离最大C.在t18 s内的某时刻两质点再次相遇D.t8 s时，b在a前方32 m处C【解析】由图象可知：t1时刻，a图线与t轴间所夹“面积”大于b图线与t轴间所夹“面积”，A错；t1时刻，vavb
15、，a在前，b在后，ab间距离为追上前的最大值，当b追上并超过a之后，ab间距离会越来越大，B错；t8 s时，sa 88143.1482m13.76 m，sb32 m，说明在t8 s前，b已经超过了a，C对；t8 s时，sbsa32 m，D错.5.汽车由静止开始在平直的公路上行驶，050 s内汽车的加速度随时间变化的图线如图所示.下列说法正确的是()A.汽车行驶的最大速度为20 m/sB.汽车在4050 s内的速度方向和010 s内的速度方向相反C.汽车在50 s末的速度为零D.在050 s内汽车行驶的总位移为900 mA【解析】由加速度时间图象可知前10 s汽车做匀加速直线运动，中间30 s汽
16、车做匀速直线运动，后10 s汽车做匀减速直线运动.由匀变速直线运动的公式，得vma1t120 m/s，A正确；50 s末的速度为v(20110)m/s10 m/s，故B、C错误；在050 s内汽车行驶的总位移为850 m，D错误.6.两个物体a、b同时开始沿同一直线运动，如图所示为其运动的xt图象，下列说法正确的是()A.a做减速运动，b做加速运动B.开始时a的速度较大，b的速度较小，3 s后b比a快C.速度大小之比vavb是23D.t3 s时，a、b相遇CD【解析】在xt图上倾斜的直线斜率恒定表示物体做匀速直线运动，A、B错，a、b斜率一正一负，表示a、b运动方向相反，由图象得vavb23，
17、故C对，3 s时，a、b在同一位置上，D对.7.t0时，甲乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们的vt图象如图所示.忽略汽车掉头所需时间.下列对汽车运动状况的描述正确的是()A.在第1小时末，乙车改变运动方向B.在第2小时末，甲乙两车相距10 km C.在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大D.在第4小时末，甲乙两车相遇BC【解析】到第1小时末，乙的速度方向不变，A错；到第2小时末，甲、乙相距ss0(s甲s乙)，s 70302 2302 2 km10 km，B对；第4小时末，甲、乙相距s，s 306022 km10 km602 2 km 20 km，D错，C对.8.一汽车在高
18、速公路上以 v030 m/s 的速度匀速行驶，t0时刻，驾驶员采取某种措施，车运动的加速度随时间变化关系如图所示，以初速度方向为正，下列说法正确的是()A.t6 s 时车速为 5 m/sB.t3 s 时车速为零C.前 9 s 内的平均速度为 15 m/sD.前 6 s 内车的位移为 90 mBC【解析】前三秒中，初速度为正，加速度为负，汽车做匀减速直线运动，3 秒末的速度为 v330 m/s10 m/s23 s0，选项 B 对.3 s9 s 加速度为正，而初速度为 0，仍是匀加速直线运动，t6 s 时速度 v65 m/s2(6 s3 s)15 m/s，选项 A 错.根据匀变速直线运动平均速度
19、vv0vt2，位移 x vt 可求得前 3 秒的位移 x330 m/s023 s45 m，3 s6 s 的位移 x36015 m/s23 s22.5 m，那么前 6 秒的位移 x6x3x3667.5 m 选项 D 错.后 6 秒位移为 x395 m/s2（6 s）2290 m，前 9 秒内的位移为x9x3x39135 m，平均速度 v135 m9 s 15 m/s，选项C 对.9.如图所示是某一物体的运动图象，由于画图人粗心未标明是 vt 图还是 xt图，但已知第 1 s 内的速度比第 3 s 内的速度大.下列说法正确的是()A.该图一定是 vt 图象B.该图一定是 xt 图象C.物体的速度越
20、来越大D.物体的位移越来越大BD【解析】根据vt图象及xt图象的特点进行分析.题中所给的运动图象若为vt图象，则说明02 s物体做匀加速运动，速度增大，24 s物体做匀加速运动，速度增大，4 s 后做匀加速运动，速度增大，与题意矛盾，则此运动图象一定是xt图，且由图象可知物体的位移越来越大.二、计算题10.甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的.为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记.在某次练习中，甲在接力区前s013.5 m处作了标记，并以v9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令.乙在接力区
21、的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒.已知接力区的长度为L20 m.求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a；(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离.【解析】(1)在甲发出口令后，甲乙达到共同速度所用时间为 tva 设在这段时间内甲、乙的位移分别为s1和s2，则 s212at2 s1vt s1s2s0 联立式解得 a v22s03 m/s2(2)在这段时间内，乙在接力区的位移为s2 v22a13.5 m 完成交接棒时，乙与接力区末端的距离为Ls26.5 m.11.鸡蛋从高处落到地面而不被摔坏，撞击地面的速度最大不能超过1.0 m/s.课外活动小组设计了如图所示
22、的保护装置，用A、B两块较粗糙的夹板夹住鸡蛋，现将该装置从距地面某一高处自由下落，装置碰地后速度立即为0，且保持竖直无反弹，此后鸡蛋在A、B夹板间减速下降的加速度为4.5g.某次实验中保护装置从离地面H5 m 的高度处静止释放.(g10 m/s2)(1)如果没有保护，鸡蛋自由下落而不被摔坏时释放的最大高度h；(2)实验中为保证鸡蛋安全，鸡蛋放的位置离装置下端的最小距离s；(3)在(2)情况下鸡蛋运动的总时间t.【解析】(1)鸡蛋做自由落体运动，由匀变速直线运动公式可得 hv2m2g0.05 m(2)设鸡蛋和保护装置在自由下落过程中着地时的速度为v，则有：v22gH，解得v 2gH10 m/s 鸡蛋在保护装置中减速下落时有：v2m v22as，故sv2mv22a 1.1 m(3)鸡蛋下落时间t1vg1 s 鸡蛋减速下落时间t2vmva 0.2 s 鸡蛋运动的总时间tt1t21.2 s.