1、提供多样化的学习材料，构建富有活力的课堂 广东实验中学 何文娟 数学课堂教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。改变学生的学习方式，使其由被动地接受学习，转变为主动地探究学习，是当前课程改革的重点之一。在教学活动中，教师要创造性地使用教材，打破教材对学生思维的禁锢，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材，还学生自由创新的空间。一、学习材料要具有可操作性。“带着知识走向学生”，不过是“授人以鱼”，“带着学生走向知识”才是“授人以渔”。教师是学生成长的引导者、学生发展的领路人，而学生本人才是成长的主人，发展的主体。人的主体性只有在活动中才能形成和发展。
2、因此，教学中教师要根据教学内容和学生的认知规律，积极创造条件，为学生提供可操作的学习材料。例如，可以组织学生收集粉笔盒、饼干盒等日常用品来形象直观的学习立体图形，同时可以利用这些物品掌握立体图形的展开图。二、学习材料要体现时代性。时代的发展，使得现行教材内容明显暴露出滞后性。这就需要教师及时吸收、补充一些富有时代气息的、贴近学生生活实际的、为学生所喜闻乐见的学习材料，让学生在解决身边具体问题的过程中，体验数学的价值。例如，我们结合日常生活中的利息、税收、折扣、分期付款问题，比较两个商场的让利措施哪种对消费者合算等问题(直接打折与满 200 送 80)。让学生走出教室，灵活应用数学知识解决实际问
3、题。此外，利用计算机多媒体教学可以创设开放式的教学情景，使得教学情趣盈然、丰富多彩，符合青少年学生年龄特征和心理需要。计算机辅助教学可以引导学生观察、思考、猜测和尝试，对数学对象进行多重表征，使学生深入理解数学知识。通过数学实验激发学生，创新灵感，有利于培养学生的创新精神和实践能力。同时可以节省教学时间，增加课堂信息密度，提高教学效益，从而在数学课堂教学中发挥重要作用。三、学习材料要体现开放性。开放式题材，信息呈现形式多样，并具有可选择性，有利于提高学生分析问题和解决问题的能力。首先，要使学生在选择材料上有一定的自由度。如相交弦定理的教学，可以先不给出结论，让学生观察圆内的两条相交弦，作适当的
4、辅助线，探索一些结论(如角相等、三角形相似等)，教师顺着学生思维或由学生自主探索，由此得出相交弦定理；再进一步展开：若两条弦的交点在圆外及有一条弦变成切线时的情况又如何？可由学生研究。再如，在讲解列方程解应用题-溶剂溶质问题这节课时，打破原来的常规问题，而把它设计为问题：“现有含盐 4%的盐水 600kg，含盐 12%的盐水 500kg，另有足够多的盐和水，要配制成含盐 10%的盐水 600kg。试设计多种配制方案；比较哪种方案较实用合理。”提出这样的实际问题后，学生根据经验，很快就出现了多种方案，然后由教师收集分类，主要归纳为：方案 1：取盐和水直接配制(应用质量分数公式)；方案 2：取含盐
5、 12%的盐水若干,再加水(稀释问题)；方案 3：取含盐 4%盐水再加盐若干(加浓问题)；方案 4：取含盐 4%的盐水和 12%的盐水合计 600kg(混合问题)。21DBACFEDCBO(A)DCBA学生由此得出，解决同一问题，可以采用多种手段，并且点明本节课的意义，可以通过设未知数列方程来解决实际问题。最后，再根据实际意义，选出最佳方案，并对设计方案者提出表扬。课后同学们的评价是：“有新鲜感，生动有趣，开拓了思路。”由此可见，这样的开放习题课，可以给不同层次的学生提供多种思考空间，让他们都能充分展示自己的个性，感受到成功的喜悦。其次，要让学生自己提供学习材料。如在讲完因式分解和判别式后，我
6、让学生写了“因式分解的常用方法”和“判别式的应用”等学习心得。很多学生通过查找资料，提出了因式分解很多不同于课本的方法，而对判别式的应用，更是进行了分类讨论和研究。再次，要活用课本中的学习材料。例如，正方形一节内容中，有一例题：已知：正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，正方形 ABCD的顶点 A与 O 点重合，AB交 BC 于点 E，AD交 CD 于点 F.求证：OE=OF 本题主要体现正方形性质的应用，通过证明两三角形全等，得到线段相等除此之外，在本例题中仍包含着许多可以挖掘的知识点，像如果正方形 ABCD绕着点 O 旋转，问：在旋转过程中，它与正方形 ABCD 重合部分的
7、面积变化吗？如果变化它是怎样变化的？此问题体现几何问题中的动静结合问题，在图形的旋转过程中，找出变化的量与不变量，把“动”态的数学图形，用“静”态的图形来分析，这样的改编可以提高学生分析问题、解决问题的能力，对学生能力的培养大有裨益 四、学习材料的组织要有利于学生的“再创造”。“数学是人们在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用的过程，这一过程充满着探索与创造。”教师要根据学生已有的知识基础和年龄特点，敢于调整教学顺序，重组教材内容，通过教师有针对性地指导，借助“再创造”方式将学生带到数学化及有关的各方面的活动范畴之中，让学生在亲身经历中获得所期望的一切
8、，也从中锻炼与培养学生的创新意识与创造能力。例如，在“相似形”一章中有这样的例题：“已知：在 RtABC 中，ACB=90，CD 是斜边上的高.求证：ACDCBDABC.”这是一道条件和结论很明确的题目。当把它的结论隐去，改编为：“根据已知条件，结合图形你能得出哪些结论，并加以简单证明。”变为结论开放题时，课堂气氛立刻变得活跃，学生踊跃举手发表自己的意见，提出了一种又一种的结论，诸如有：(1)1=B，2=A；(2)又有由角相等得到：ACDCBD，ACDABC，CBDABC；(3)又由三角形相似得到比例关系，及由比例关系得到等积式：CD2=ADBD，AC2=ADAB，BC2=BDAB(射影定理)
9、.这里只是通过一个简单的结论改变，就使一道单一题变为内容很丰富的探讨题。在学生轻松地、兴奋地解决以上问题后，教师再引导进一步讨论：上面得出的结论可以解决什么问题?例如，可以证明勾股定理；也可通过面积法，求出斜高22AC BCAC BCCDABACBC=+等，学生情绪又一次高涨。还可以继续深入讨论：如果把条件与部分结论互换，命题仍然成立吗?由四人小组讨论，自编题目，学生又提出了多种互换后的情况。如：(1)已知1=B，2=A，求证：CABC，CDAB(成立)；(2)已知 ACBC，AC2=ADAB，求证:：CDAB，CD2=ADBD(成立)；(3)已知：AC2=ADAB，BC2=BDAB，求证：C
10、DAB，ACBC(成立，可以利用勾股定理逆定理证明)；(4)已知：1=B，AC2=ADAB，求证：CDAB，ACBC(不成立)；(5)已知：2=A，AC2=ADAB，求证：CDAB，ACBC(成立)。等等。针对这些题目与探究，教师再进行点评，指出其本质，并把一些结论留作课后讨论，通过这样的演变和探讨，大大激发了学生探求问题的热情，使学生自觉地、主动地直接参与思维的全过程，变“维持性学习”为“创新性学习”。总之，通过提供多样化的学习材料，构建以学生自主学习为基础的新型教学过程，引导学生把静态的知识结论建立在动态的思考之上，把抽象的数学概念、规则建立在形象的感知之上，将教材内容生活化、动态化、情境
11、化、形象化，可以大力推进教学活动由教向学的转变，可以使学生体验知识的发生和发展过程，使学生更真切地感受到数学自身的魅力，逐渐进入学习数学的角色。进而形成有利于学生主体精神、创新意识、创造能力健康发展的宽松的教学环境，使教学过程不仅成为认识过程，而且也成为一个交往过程和发展过程。例析初中数学中的最值问题 广东实验中学 于清【摘要】：最值问题是初中数学的重要内容,具有较大的灵活性,也是一类综合性较强的问题,它贯穿初中数学的始终,是中考的热点问题,它主要考查学生对平时所学内容的综合运用能力,关键要用数学思想方法为指导,找准问题的切入点,建立合适的解决问题的数学模型,寻找解决问题的捷径,从而把问题由难
12、转化为易,并最终解决相关的问题。【关键词】：最值问题 初中数学 解决问题 数学思想方法 最小值 最大值 综合运用能力 函数关系式 【正文】：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，这类试题突出了对学生基本数学素质的测试，加强了探究和创新意识，培养了学生灵活运用知识解决实际问题能力，对学生思维能力的提高有较大的帮助，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。在中考试题中出现频率比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大
13、于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）或者是利用一次函数和二次函数的性质求最大（小）值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：（一）、归于函数模型：即利用一次函数的性质和二次函数的对称性及性质，确定某范围内函数的最大值或最小值。（二）、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：1归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。2归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。二、利用函数模型求最值 1一次函数的最值问题 例 1 某饮料厂为了开发新产品，用 A 种果汁原料和 B 种果汁原料试制新型甲、乙两种
14、饮料共 50 千克，设甲种饮料需配制 x 千克，两种饮料的成本总额为 y 元（1）已知甲种饮料成本每千克 4 元，乙种饮料成本每千克 3 元，请你写出 y 与x 之间的函数关系式（2）若用 19 千克 A 种果汁原料和 17.2 千克 B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；甲种饮料 乙种饮料 饮料种类 每千克饮料果汁含量 果汁 原料 A 种果汁原料 0.5千克 0.2 千克 B 种果汁原料 0.3千克 0.4千克 请你分析如何配制这两种饮料，可使 y 值最小，最小值是多少？解：(1)根据题意，可列出 y 与 x 的关系式为 y=4x+3(50-x)=x+150(2)根据题
15、意，x 应满足如下的不等式组+2.17)50(4.03.019)50(2.05.0 xxxx 解出3028 x 因为150+=xy中的 x 的系数为 10，所以 y 随着 x 的增大而增大 故当 x=28 时，y 有最小值，为 178 元。【说明】一次函数的最值问题，根据是一次函数的性质，对于 y=kx+b 来说，当k0 时，y 随着 x 的增大而增大；当 k0 时，当xh 时，y 随着 x 的增大而增大；xh 时，y 随着 x 的增大而减小。若 ah 时，y 随着 x 的增大而减小；xh 时，y 随着 x 的增大而增大。解决和二次函数相关的最值问题也应先有函数关系式，然后配方，根据二次函数的
16、性质求最大或者最小值。三、利用几何模型求最值 1归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。例 3如图 1 已知 l 为一条公路，A、B 为公路两旁的两个村庄，现在公路上建一家商店，问建在何处时商店到两村庄到商店距离和最小？分析:如图 2 作 B 关于 l 的对称点 B1，连接 AB1 交直线 l 于点 M,有 MB=MB1，于是 MA+MB=MA+MB1AB1 (当且仅当从运动到 AB1 和 l 的交点 M 时等号成立)，商店建在 M 点符合条件。【说明】这个商店位置的选择，理论根据是轴对称的特点以及两点之间线段最短的几何原理。例 4如图 3
17、 在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上一动点，则 EFBF 的最小值是多少？答案：5（图中线段 DE 的长即为所求的最小值。）【说明】（1）解题的思路如图 4 所示的构造辅助线及连接相应的线段。（2）此题转换了题目的背景，把比较直接的两定点间的距离最小值转化到新的图形即正方形中，但仍然以对称点的特点以及两点之间线段最短的几何原理来解决。EDCBAF图 3 FEDCBAF图 4 图 1lABlMABB1图 2 例 5如图 5 在边长为 6 的菱形 ABCD 中，DAB60，E 为 AB 的中点，F 是 AC上一动点，则 EFBF 的最小值为多少？答案：33
18、（图中线段 DE 的长即为所求的最小值）【说明】（1）解题的思路如图 6 所示的构造辅助线及连接相应的线段。（2）此题转换了题目的背景，把比较直接的两定点间的距离最小值转化到新的图形即菱形中，但仍然以对称点的特点以及两点之间线段最短的几何原理来解决。例 6如图 7，已知二次函数542+=xxy的图象与坐标轴交于点 A（-1，0）和点 B（0，-5）若已知该函数图象的对称轴上存在一点 P，使得ABP 的周长最小请求出点 P 的坐标 答案：P(2,-3)【说明】（1）解题的思路如图 8 所示的构造辅助线及连接相应的线段。（2）此题亦转换了题目的背景，把比较直接的两定点间的距离最小值转化到新的图形二
19、次函数的抛物线中，是一次大胆的转化，将代数的函数方程与几何的最P 图 7 CP图 8图 5 EDCABF图 6MEDCABF 小值问题完美结合，用代数题目作为解题的过程，而几何的对称和最小距离作为理论基础，让我们再一次感受到数与形的结合，领会数形结合的思想来解决问题，开拓创新我们的思维。这种类型的题目可以提高学生的思维能力，锻炼学生的思维空间，并且在各省市的中考当中也有所出现。例 7如图 9，圆锥的底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬到过母线的轴截面上另一母线的中点。问蚂蚁沿怎样的路线爬行，使路程最短？最短路程是多少？解：沿着母线 AB，把圆锥打开成扇形，如图 10
20、 所示连结 BB1、AC 交于点 E C 是弧 BB1 的中点ACBB1,AC 平分弧 BB1 BAC=21 BAD=00060321802118021=r 23,323=AEBE 点 E 与点 D 重合 蚂蚁沿着 BD 爬行最短，最短距离为323=BDBE 【总结】解决最小值的问题的时候，无论题目的背景如何变幻，都会遵循图形是轴对称图形的特性，采用对称点和两点之间线段最短的几何原理。2归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。例 8如图 11 直线的两旁分别有点 A、B，在直线求作一点 P 使PBPA最大。DABC图 9图 10 EAB1BC
21、分析:如图 12 作 A 关于 l 的对称点 A1，连接 A1B 交直线 l 于点 P 有 PA=PA1，于是PA-PB=PA1-PBA1B (当且仅当从运动到 A1B 和 l 的交点 P 时等号成立)，P 点即为符合条件的点。【说明】这个点的位置的选择，理论根据是轴对称的特点以及三角形两边之差小于第三边的几何原理。但是这个类型的问题在中考当中出现的几率很小，因此本文章不用过多的题目和示例进行阐述，只就其一说明道理。本篇文章是针对中考中出现的最值问题进行的整合，以提升学生整体思考的方向和思考的动力，也引导学生在复习中应该及时进行总结，对初中三年的知识有一个比较全面的归纳和总结，如果坚持能在学习
22、过程中进行不断地自我总结和反思的话，那么对于知识整体的架构会有一个提升；另外，在教学过程中，对于最值问题的归纳和整理也很有必要，这样可以帮助我们把知识进行整合，并能沿着需要的方向来思考问题，特别是对于一些题目背景稍有改变，但是题目的主旨是同一个理论，这样的总结有助于我们的分类思想，可以使我们的知识更加系统化、专业化和理论化，对于老师的进步是非常有益的。但由于作者的水平有限，文章中在所难免有遗漏之处，还请各位同行们给与谅解和支持，希望可以在学习和总结中不断进步，让自己的知识系统更加完善。2013-01-15 lPABA1P1图2 图1 lAB促进思维的教学策略 广东实验中学 林佳佳 摘要：思维有
23、三种方式，分别是分析性思维、创造性思维和实用性思维。有利于促进思维的教学策略有三种，分别是照本宣科策略、基于事实的问答式教学策略和对话策略。照本宣科策划和基于事实的问答式教学策略有利于分析性思维的培养，对话策略有利于创造性思维和应用性思维的培养，真正有效的教学是这三种策略的有效结合。在数学课堂中，教师本身的思维策略会影响着学生，学生甚至会模范教师.教师鼓励学生对话，慢慢学生也会学着提出问题，并积极地发言解决问题。关键词：分析性思维；创造性思维；实用性思维；教学策略 美国耶鲁大学的心理学家斯滕伯格在 1985 年提出三元智力理论，该理论认为智力是分析的、创造的和实用的信息加工过程三者的平衡.在三
24、元理论中，思维有三种方式，分别是分析性思维、创造性思维和实用性思维，但是这三种思维方式背后的思维技巧只有一套.分析性的人善于用这些技巧解决熟悉的问题，这些问题通常是学术性问题.创造性的人长于用这些技巧应用于相对于新奇的问题.实用性的人则愿意把这些技巧用在日常问题上1.在我们传统的教育模式下，重视分析性思维教学，因为分析性思维最容易得到量化的测试.我们的教育系统并未有效地鼓励或选择创造性思维模式.同样遗憾的是测试并不能测量实用性智力，实用性智力在学校中也没有得到足够的重视.实际上每个人的智力都是分析性、创造性和实用性思维按不同比例合成的产物，我们需要培养所有类型的智力，而不是仅重视其中某一种.近
25、年来思维教学已经越来越受大家的重视，在思维教学中很重要的一个环节就是思维策略.而教师本身的思维策略将言传身教地影响着学生，如果教师口口声声强调学生要培养创造性思维，但是实际上却只是让学生做一些不知道练了多少遍的题目，那么慢慢地学生也会功利性地只学会了分析性思维了.促进学生思维发展的教学策略包括三种：第一个策略是以讲课为基础的，称之为照本宣科策略；第二个是以事实为基础的问答策略；第三个是以思维为基础的对话策略2.在照本宣科策略中，教师只是简单地把教材呈现给学生，师生之间几乎没有互动，即使有互动也是教师为了澄清一些细节上的知识.学生之间也是不存在互动的，学生只是被动地接受教师传授的知识.这种策略在
26、我们现在的很多课堂中 都是存在的，而且为数不少.这种策略最有利于分析性思维的培养.例如我们在讲“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”这个性质的时候，我们会让学生画出这条性质中那些要注意的字眼，例如“过一点”、“有且仅有”，但是也许学生只是知道这是重点字眼，对于不太会分析的学生来说，他其实还是不懂得什么意思.在以事实为基础的问答策略中，教师向学生抛出大量的问题，这些问题主要是为了引出事实.而对学生的回答，老师的回答多数是“对”、“错”“很好”之类的，在这种策略中，师生之间互动交流频繁，但都是很简单的互动，几乎没有寻根问底.而学生之间的互动还是很少，几乎没有.这种策略也有利于那些比较有分析性思维
27、的学生.例如我们在讲三角形内角和定理的时候，我们在讲新课的之前多数会问“小学的时候，我们学过三角形内角和是多少度啊？”学生多数会回答“180”，教师会回答“对了！”.这种简单的问答方式其实对学生思维的培养没有多大的用处.第三种策略是最适合思维教学的，即是以思维为基础的对话策略.在这种策略中，教师喜欢提出问题激发学生的思维和讨论.甚至让学生来提出各种各样的问题，然后再由全班同学和老师一起来思考讨论解决的方法.我们试过用这种方式来教学，学生的激情被激发，同时思维也被无限打开.例如我们在讲“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”这个性质时，并不只是让学生标出重点字眼，而是让学生自己来说哪些是要
28、注意的.我们是这样进行的：师：在这个性质中，你认为哪些是要注意的？生 1：我认为重点是“过直线外一点”，这一点是在直线外，而不是在直线上.生 2：我认为生 1 提得很好，这个性质与之前学过的“过一点有且仅有一条直线和已知直线垂直”不同.师：太好了，你认为有什么不同？生 2：这里的“一点”是在直线外，之前那个性质的“一点”不需要在直线外，在直线上也可以.师：回答到点子上了，你和生 1 的思维真的很严谨，棒！生 3：还有重点字眼是“有且仅有一条”，只有一条，没有多条.师：说得没错，但是大家在思考一下什么时候不仅有一条直线与已知直线平行呢？生 4：去掉“过一点”的时候，就不止有一条啦.如“在平面内有
29、无数条直线与已知直线平行”师：没错，所以这个性质我们已经知道哪些是要注意的细节了，下面我们来做个练习.下面这个选择题只有一个 A 选项，请你自己来编写其他三个选项，并根据你编写的选项选出正确答案.选择题：下面说法正确的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.C.D.这个时候很大学生来劲了，编写了各种各样的选项.例如 B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行；C.过一点有无数条直线与已知直线平行；D.过一点有无数条直线与已知直线垂直等等.这样的活动在课堂上经常举行，当我们做一道选择题的时候，其实已经把这个概念理解透彻了，我们常常学者去揣摩出题者的想法.很多学生总会在考试之后告诉我，“
30、老师，其实我猜到会出这样的题目了！”我想，其实只要理解了数学，无论出题者怎么出题，学生都不会被难倒的.因为他们在课堂上不仅是培养了分析性思维，还默默地培养了创造性思维和实用性思维.一般来说，对话策略最有利于发展学生的高级思维技能，原因有两点.首先在这种策略中，学生才是真正意义上的思维，而不仅仅是复述课本中的理论或者老师提出的简单.第二，在对话策略中，教师和学生一起思考，一起解决大家一起提出的问题，一起思维，这样学生也慢慢地学生自己提出问题并解决问题.在这个过程中，教师还可以鼓励学生勇于上台说出自己的解法，这样也有利于激发学生的积极性.常常邀请学生上台当小老师，学生慢慢就会养成积极思考、积极发言
31、的好习惯了.很多时候，我们在课堂上总是吝啬把时间给学生，担心他们讲不好反而浪费了课时，但是实际上我们试过之后发现学生越上台，越能说对，而且是同学在讲课，下面的学生会听得更加认真，因为他们也想听听同学有没有讲错，要知道同伴的其实很大.在实际的教学中，每种策略都是有其重要作用的，不是所有的教学都要采用 对话策略.实际上，我们一般都是综合运用这三种策略来组织教学的.照本宣科策略最适合传达信息，把新的知识传达给听众，这有些时候是一种高效的教学策略.而如果教师要考察学生对所学新知识是否掌握，即可以当场使用问答式教学策略，快速地检查学生是否还有哪些知识疏漏.对话式教学模式有利于培养学生的创造性和应用性思维，但是有些时候也不能全部用该策略，毕竟有些时候教学课时也有限的.总之，我们的数学课堂以训练学生思维能力为根本目的.学生的思维不能仅仅包括分析性思维，还要有创造性和应用性思维.而相应的教学策略也要配合起来，成功的教学应该是把三种教学策略结合起来，根据教学内容适当选择策略.不能一味使用某一种教学策略，那都是不利于学生思维能力发展的.1Robert J.Sternberg,Louise Spear-Swerling.思维教学M.中国轻工业出版社.2008.2 Robert J.Sternberg,Louise Spear-Swerling.思维教学M.中国轻工业出版社.2008.