1、1万载中学、宜丰中学、宜春一中2021 届高三联考数学试卷（理科）一、单选题（每题 5 分，共 60 分）1已知复数21izi，则复数 z 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2.已知集合(,)|210,Ax yxy(,)|0Bx yxy，则 AB（）A1,1xyB1,1C(1,1)D3已知10210012101222xaaxaxax ，则9a （）A 10B10C 45D454.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的数书九章（1247 年）该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”其中
2、“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸当盆中积水深九寸（注：1 尺=10 寸）时，平地降雨量是（）注：圆台体积公式：)(h31下上下上SSSSVA.9 寸B.7 寸C.8 寸D.3 寸5.下列命题正确的是（）A.在独立性检验中，随机变量2K 的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B.已知2,XN ，当 不变时，越大，X 的正态密度曲线越高瘦C.若在平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则平面/平面 D.若平面 平面 ，直线 m，/n m，则n/6在矩形 ABCD 中，1AB ，2AD，AC
3、与 BD 相交于点O，过点 A 作 AEBD，则 AE EC（）A 1225B 2425C125D 457函数 cos xf xx（22x且0 x）的图象可能是（）ABCD8.裴波那契数列（Fibonacci sequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列 na满足：121aa，21nnnaaa，现从该数列的前 40 项中随机抽取一项，则能被 3 整除的概率是（）A 14B 13C 12D 239已知函数 1ln12xf xex，若41log 5af，5log 6bf，6log 4cf，则
4、a，b，c 的大小关系正确的是（）AbacB abcCcbaDcab10已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线与圆22(2 3)4xy相交于 A，B 两点，若2AB，则 C 的离心率为（）A 2 33B3C2D411已知函数()sin06f xx在区间 0,4上的最大值为 3，则实数 的取值个数最多为（）A1B2C3D412已知函数)1(log)(aaxexfexa没有零点，则实数 a 的取值范围为（）A(e，+)B(e，+)C(1，+)D(1ee，+)二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13某工厂为了对 40 个零件进行抽样调查，将其编号为 00，01，38，39现要
5、从中选出 5 个，利用下面的随机数表，从第一行第 3 列开始，由左至右依次读取，选出来的第 5 个零件编号是_.06474373863696473661469863716233261680456011141095777424676242811457204253323732270736075124517914已知 tan()2,4 则 sin 2 _.15若 x，y 满足约束条件60,240,240,xyxyxy 则2zxy的最大值为_.16如图所示，三棱锥 PABC中，ABC是边长为 3 的等边三角形，D是线段 AB 的中点，DEPBE，且 DEAB，若120EDC，32PA，3 32PB，则
6、三棱锥 PABC的外接球的表面积为_2三、解答题（70 分）17（12 分）已知数列 na的前 n 项和nS 满足 2nnSnan，Nn，且23a（1）求数列 na的通项公式；（2）设111nnnnnbaaaa，nT 为数列 nb的前 n 项和，求使920nT 成立的最小正整数 n 的值18（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，2APB，3ABC，2 3PB，4PC，点 M 是 AB 的中点.（1）求证：CM 平面 PAB；（2）线段CD 上是否存在一点 N，使得直线 PN 与平面 PMD 所成的角的正弦值为68，若存在，求出的 CNND值，若不存在，
7、请说明理由.19（12 分）宜春市为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗 A、B、C 经过引种实验发现，引种树苗 A 的自然成活率为0.7，引种树苗 B、C的自然成活率均为 0.60.8pp（1）任取树苗 A、B、C 各一棵，估计自然成活的棵数为 X，求 X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时 p 的值作为 B 种树苗自然成活的概率该农户决定引种 n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活求一棵 B 种树苗最终成活的概率；若每棵树苗引种最终成活可
8、获利 400 元，不成活的每棵亏损80 元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种 B 种树苗多少棵？20.已知椭圆 C：x24y21，点 O 是坐标原点，点 P 是椭圆 C 上任意一点，且点 M 满足OM OP(1，是常数)当点 P 在椭圆 C 上运动时，点 M 形成的曲线为 C.(1)求曲线 C的轨迹方程；(2)直线 l 是椭圆 C 在点 P 处的切线，与曲线 C的交点为 A，B 两点，探究OAB 的面积是否为定值若是，求OAB 的面积，若不是，请说明理由21已知函数3()2xf xexmx.（1）若 x 轴为曲线 yf x的切线，试求实数 m 的值；（2）已知 xg xf xe，
9、若对任意实数 x，均有)()(g1xgex，求 m 的取值范围.选考题（任选一题作答，多做则按第 1 题计分）22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为126126xmmymm（m 为参数），以坐标点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为cos（+3）1（1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（2）已知点 M（2，0），若直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点，求11|MPMQ的值23记函数1()212f xxx的最小值为m.（1）求 m 的值；（2）若正数 a，b，c 满足 abcm，证明：9abbccaabc.3参考答案
10、题号123456789101112答案ACADADBABCBA1A2C3.A101021001210112222xxaaxaxax 1102rrrTCx ，99910110aC.故选：A4【答案】D 由已知天池盆上底面半径是 14 寸，下底面半径上 6 寸，高为 18 寸，由积水深 9 寸知水面半径为 1(146)102 寸，则盆中水体积为22196106 105883 （立方寸）所以平地降雨量为2588314（寸），故选：D5A.对选项 A，因为随机变量2K 的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故 A 正确.对选项 B，根据正态曲线的几何特征，即可判断 B 错误
11、.对选项 C，当平面 与平面 相交时，在平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，故 C 错误.对选项 D，若平面 平面 ，直线 m，/n m，则直线 n 有可能在平面 内，故 D 错误.故选：A6D 建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)ABCD，设(,)E x y 所以(,1),(,),2,1AEx yBEx y BDAEBD且/BE BD 21020 xyxy，解得2515xy 481(,),52 12(,),55555AEECE，8414+552555AE EC .故选：D7B【详解】因为cos()cos()()xxfxf xxx，又22x且0 x，
12、所以()f x 为奇函数，其函数图象关于原点对称，所以排除,A C；由题，得2sincos()x xxfxx，因为当 02x时，sin0,cos0 xx，所以sincos0 x xx，则()0fx，所以()f x 在 0,2递减，所以排除D.故选：B8A【详解】裴波那契数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，观察发现前 12 项中，第 4 项，第 8 项，第 12 项都能被 3 整除.以此类推前 40 项中，第 4 项，第 8 项，第 12 项，第 16 项，第 20 项，第 24 项，第 28 项，第 32 项，第 36 项，第 40 项，共 10 项，能被 3
13、 整除.所以能被 3 整除的概率为101404P.9B 由题可知：fx 的定义域为 R，且1ln12xfxex111lnln122xxxexexe，则 fx 为偶函数，112xxeefx 2112121xxxxxeeeee，当0 x 时，0)(xf，fx在),0(上单调递增.又由45551log 5log 6log 6log 45551log 4 log 6log 42555log 4log 612log 4 255log 25120log 4 所以456log 5log 61log 40，41log 5af44log 5log 5ff，故 abc.故选：B（构造函数xxxhln)1ln()(
14、比较大小也可以）10C 解：设双曲线的一条渐近线方程为：byxa，又由已知圆的方程可得圆心为(0M，2 3)，半径2r=，设圆心 M 到渐近线的距离为 d，则222|22 42ABrdd，所以2|2 3|31()dba，即21ca，所以2e，故选：C11B 因为函数()sin06f xx在区间 0,4上的最大值为 3，所以 013，解得03，因为0,4x，所以6646x，当 462，即803时，maxsin 463f x，令 sin,463gh，在同一坐标系中作出图象：令 sin463F，因为 188100,102399FF 所以存在唯一，使得sin463；当 462，即 833时，max1f
15、x，即13，解得3，所以实数 的取值个数最多为 2.故选：B12A 11loglog,exxeeaaf xexaxa 令1(1),ebab因为logbyx与xyb关于 yx对称，所以 logxeaf xexa没有零点等价于 log(1)xbg xxb b没有零点，等价于 (1)xh xbx b没有零点.4 ln1,xh xbb令 0h x得1loglnbxb，则 h x 在1,loglnbb上单调递减，在1log,lnbb 上单调递增，1logln11loglog0,lnlnbbbbh xhbbb所以1,ebe故ae.故选：A.1311利用随机数表，从第一行第 3 列开始，由左至由一次读取，即
16、 47 开始读取，在编号范围内的提取出来，可得36,33,26,16,11，则选出来的第 5 个零件编号是1114 35设4t,则 tan2t,所以21cos5t,所以23sin 2sin 2sin 2cos22cos1425tttt ,故答案为:351514 作出可行域如图所示，将目标函数化为122zyx，联立60240 xyxy，解得28xy，则(2,8)A，由图可知，当直线122zyx 经过点 2,8A 时，目标函数取得最大值，且max2 1614z .故答案为：1416【答案】13【解析】三棱锥 PABC中，ABC是边长为 3 的等边三角形，设 ABC的外心为1O，外接圆的半径1033
17、2sin60O A，在 PAB中，33 3,323PAPBAB，满足222PAPBAB，PAB为直角三角形，PAB的外接圆的圆心为 D，由于,CDAB EDAB，0120EDC为二面角 PABC的平面角，分别过两个三角形的外心1,O D 作两个半平面的垂线交于点O，则O 为 三 棱 锥 PABC的 外 接 球 的 球 心，在1Rt OO D中，011330,2ODODO，则013cos30,12O DODODOD，连接OA，设OAR，则22222313124RADOD，21344=134SR球.17（1）1 2121nann （2）50（1）由 2nnSnan，得11211nnSnan 将上述
18、两式相减，得11211nnnanana 所以111nnnana 所以1211nnnana，得1220nnnnanana，所以212nnnaaa故数列 na为等差数列又由1121Sa，及23a，得11a，na的公差2d 所以1 2121nann （2）由（1）知，121212121nbnnnn 所以121212121nbnnnn 121211112221212121nnnnnn 所以11111111122213352121nTnn111221n由920nT，得 119122021n所以111021n，21 100n ，992n 所以使920nT 成立的最小正整数 n 的值为 5018解：（1）证
19、明：连接 PM，在 PAB中，因为3ABC，2 3PB，4PC，所以2PA.因为点 M 是 AB 的中点，所以2BMPM.在 BMC中，3MBC，2BM，4BC，由余弦定哩，有2 3CM，所以222BMCMBC，所以 ABCM.在 PMC中，2PM，2 3CM，4PC 满足222PCCMPM，所以 PMCM，又 ABPMM，所以CM 平面 PAB.（2）如图，以点 M 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,0,0M，(0,2 3,0)C，(4,2 3,0)D，设,0,ppP xz，(,2 3,0)(0,4)N在 PAB中，3PPA PBzAB，而2PM，得1Px ，所以(1,0,3)P.平
20、面 PMD 的一个法向量为111,mx y z，直线 PN 与平面 PMD 所成角为.因为0(1,0,3),(4,2 3,0),0m MPMPMDm MD ，所以(3,2,1)m.因为(1,2 3,3)PN.所以2|4 33|6sin|cos,|8|2 2216m PNm PNmPN ，得210160，所以2 或8(舍)，所以1CNND.19.【解析】（1）依题意，X 的所有可能值为 0、1、2、3，则2200.3 10.30.60.3P Xppp，2210.7 10.3 210.10.80.7P Xppppp，2222 0.710.31.11.4P Xppppp ，5230.7P Xp.所以
21、，随机变量 X 的分布列为：X0123P20.30.60.3pp20.10.80.7pp21.11.4pp20.7 p22210.10.80.721.11.43 0.720.7E Xpppppp ；(2)由（1）知当0.8p 时，E X 取得最大值一棵 B 种树苗最终成活的概率为：0.81 0.80.75 0.80.92，记Y 为 n 棵树苗的成活棵数，则,0.92YB n，0.92E Yn，0.92 4000.08 80100000n，100000276.55361.6n所以该农户至少要种植 277 棵树苗，才可获利不低于10万元20 解：(1)设点 M 的坐标为(x，y)，对应的点 P 的
22、坐标为),(yx.由于点 P 在椭圆 C 上，得曲线 C的轨迹是椭圆，标准方程为 x242y221.(2)当直线 l 的斜率不存在时，这时直线 l 的方程为 x2，联立方程组x2，x24y22，y 21，得|AB|2 21.得 SOAB12|OP|AB|2 21，当直线 l 的斜率存在时，设 l：ykxm，联立方程组ykxm，x24y21，得(4k21)x28km x4(m21)0，由0，可得 m24k21.联立方程组ykxm，x24y22，得(4k21)x28kmx4(m22)0.所以 x1x2 8km4k21，x1x24（m22）4k21.则|AB|1k2 16（4k21）（21）4k21
23、4 1k2 214k21.原点到直线 l 的距离为 d|m|1k24k21k21，所以 SOAB12|AB|d2 21.综上所述，OAB 的面积为定值 2 21.21（1）e3m ；（2）1,)m 解：（1）解：由2()e3xfxxm，设曲线()yf x与 x 轴相切于 0,0P x，则00f x，00fx.所以0030020e20e30 xxxmxxm，代入整理得020001e2 10 xxxx，由0e0 x，22000131024xxx，01x ，此时e3m .经检验，当e3m 时，x 轴为曲线()yf x的切线.（2）由3()()e2xg xf xxmx，记1()exh xx，1()e1
24、xh x(,1)x 时，()0h x；(1,)x 时，()0h x，故()yh x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.所以()(1)2h xh不妨设1exxt (2t)，则 1e()()()xgg xg xtg x33()()22xtm xtxmx221324ttxtm因为2,)t 时，要满足()()g xtg x恒成立，则2222121331212424txt (2t 时，1x ，能同时取等号).即10m即可，解得 1,)m .综上，1,)m 时符合题意.22、解：(1)曲线 C 的参数方程为126126xmmymm（m 为参数），两式平方相减得2233144xy直线 l 的极坐标方
25、程为cos（+3）1，则(coscossinsin)133转换为直角坐标方程为320 xy（2）将直线的方程转换为参数方程为32212xtyt（t 为参数），代入2233144xy得到2312 3160tt（t1 和 t2 为 P、Q 对应的参数），所以 124 3tt，12163t t，所以11|MPM Q121 2|3 3|4ttMPMQMPMQt t23、解：（1）111()222f xxxx111222xxx1112x，当且仅当11022102xxx 即12x 时，等号成立.当12x 时min()1mfx（2）由题意可知，111abbccacab，因为0a，0b，0c，所以要证明不等式9abbccaabc，只需证明 111()9abccab，因为331111()339abcabccababc成立，所以原不等式成立.
