1、二项式定理 专项考点要求：1.能利用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题2二项式定理以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般。【例 1】(1)(2xy)5 的展开式中，x3y2 的系数为()A80 B80 C40 D40(2)在x2x2 5 的展开式中，x2 的系数是_【解析】(1)(2xy)5 展开式的通项 Tr1Cr5(1)r(2x)5ryr，r0,1，4,5.令 r2，可得 x3y2 的系数为 C252380.(2)展开式的通项 Tr1Cr5x5r2x2 rCr52rx53r，令 53r2，r1，T2C1521x210 x2，
2、x2 的系数是 10.【练习 1】.1x10 x2的展开式中的常数项为()A45 B1C45 D90解析 1x10 x2的展开式的通项为 Tr1Cr10 xrx2(1)rCr10 xr2，令 r20，可得 r2，所以1x10 x2的展开式中的常数项为(1)2C21045。答案 C【练习 2】若x1xn 的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则展开式中含 x2项的系数是()A462 B462C792 D792解析 因为x1xn 的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，所以 n 为偶数，展开式共有 13 项，则 n12。x1x12 的展开式的通项为 Tk1(1)kCk12x122k，令122
3、k2，即 k5。所以展开式中含 x2 项的系数是(1)5C512792。答案 D1(2020北京高考)在(x2)5 的展开式中，x2 的系数为()A5 B5 C10 D10解析 由二项式定理得(x2)5 的展开式的通项 Tr1Cr5(x)5r(2)rCr5(2)rx5r2，令5r2 2，得 r1，所以 T2C15(2)x210 x2，所以 x2 的系数为10。故选 C。答案 C2(2021北京高考)x31x 4的展开式中常数项是_。解析 由二项式展开公式可得常数项为 C34(x3)11x34。答案 4命题视角 1 几个多项式和或积的展开式问题【例 2】(1)已知(1ax)3(1x)5 的展开式
4、中 x3 的系数为2，则 a 等于()A2 3B2C2D1(2)(2020全国卷)xy2x(xy)5 的展开式中 x3y3 的系数为()A5B10C15D20解析：(1)x32x4 的展开式的通项为 Tr1Cr4(x3)4r2xrCr4(2)rx124r，令124r0，解得 r3，x1x8 的展开式的通项为 Tr1Cr8x8r1xrCr8x82r，令 82r0，得 r4，所以所求常数项为 C34(2)3C4838.(2)x1x(x3)5展开式中含 x 的项是由 x1x中的 x 项与(x3)5展开式中的常数项(3)5 相乘以及 x1x中的1x项与(x3)5 展开式中的 x2 项相乘并求和而得到，
5、因此x1x(x3)5 展开式中 x 的系数为 1(3)5C35(3)3513，故选 C.命题视角 2 三项展开式的有关问题【例 3】(x2xy)5 的展开式中，x5y2 的系数为()A10B20 C30D60【解析】解法 1：(x2xy)5(x2x)y5，含 y2 的项为 T3C25(x2x)3y2.其中(x2x)3 中含 x5 的项为 C13x4xC13x5.所以 x5y2 的系数为 C25C1330.故选 C.解法 2：(x2xy)5 为 5 个 x2xy 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x即可，所以 x5y2 的系数为 C25C23C1130.故选 C.【练习 3】若 x1
6、x n的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则展开式中含 x2项的系数是()A462B462C792D792解析 因为x1xn 的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，所以 n 为偶数，展开式共有 13 项，则 n12。x1x12 的展开式的通项为 Tk1(1)kCk12x122k，令122k2，即 k5。所以展开式中含 x2 项的系数是(1)5C512792。答案 D【练习 4】xy2x(xy)5的展开式中，x3y3的系数为()A3B5C15D20解析 xy2x(xy)5x(xy)5y2x(xy)5，(xy)5 的展开式的通项为 Cr5x5ryr(r0,1,2,3,4,5)，所以 x(
7、xy)5 的展开式中 x3y3 的系数为 C3510，y2x(xy)5 的展开式中 x3y3 的系数为 C155，所以xy2x(xy)5 的展开式中，x3y3 的系数为 1055。故选 B。答案 B【练习 5】.x1x2 5的展开式中整理后的常数项为_。解析 当 x0 时，x1x2 5x 1x10 的通项为 Tr1Cr10(x)10r1xrCr10 x5r，令 5r0，解得 r5。所以常数项为 C510252。同样当 x0 时，可得常数项为 252。答案 2524(2019全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为()A12B16C20D24解析 因为展开式中含 x3 的项可以由“
8、1 与 x3”和“2x2 与 x”的乘积组成，所以 x3 的系数为 C342C144812。故选 A。答案 A【例 4】(1)设(2x)5a0a1xa2x2a5x5，则|a1|a2|a5|的值是()A211B243 C242D31(2)已知二项式2x 1xn(nN*)的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2 5，则 x3 的系数为()A14B14 C240D240【练习 6】若 x10 x5a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则 a5_。解析 x10 x5(x1)110(x1)15，则 a5C51012521251。答案 2515(2021浙江高考)已知多项式(x1)3(x1)4x4a1x3a2x2a3xa4，则 a1_；a2a3a4_。解析(x1)3 展开式的通项 Tr1Cr3x3r(1)r，(x1)4 展开式的通项 Tk1Ck4x4k，则 a1C03C14145；a2C13(1)1C243；a3C23(1)2C347；a4C33(1)3C440。所以 a2a3a437010。答案 5 10