1、2015-2016学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共13小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|x3，B=1，2，3，4，5则AB=（）A1，2，3B2，3，4C3，4，5D1，2，3，4，52函数f（x）=lg（4x2）的定义域为（）A（，2）（2，+）B（2，2）C2，2D（，2）2，+）3下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）ABCy=x3Dy=tanx4已知向量=（1，），=（2，0），则与的夹角为（）ABCD5下列函数在区间（0，+）上，随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢的是（）Ay=2xBy=x2Cy=xDy=log2x6三个数
2、0.90.3，log3，log20.9的大小关系为（）Alog20.90.90.3log3Blog20.9log30.90.3C0.90.3log20.9log3Dlog3log20.90.90.37若sin（+）=，且（，），则cos=（）ABCD8函数f（x）=lnx+2x7的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）9为得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=cos（2x+）的图象（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度10已知f（x）=Asin（x+），（A0，0，0）的图象的一部分如图所示，则f（x）解析式是（
3、）Af（x）=2sin（x）Bf（x）=2sin（x+）Cf（x）=2sin（2x）Df（x）=2sin（2x+）11设f（sin+cos）=sin2（R），则f（sin）的值是（）ABCD以上都不正确12f（x）=，则f+fA1+BC1D13已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A（1，2015）B（1，2016）C（2，2016）D2，2016二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）14已知幂函数y=x的图象过点，则f（4）=15若角的终边经过点P（1，2），则sin2=16已知RtABC三个顶点的坐标分别为A（t，0），
4、B（1，2），C（0，3），则实数t的值为17已知函数f（x）=x3+x，且f（3a2）+f（a1）0，则实数a的取值范围是18已知f（x）=x3+ln，且f（3a2）+f（a1）0，则实数a的取值范围是三、解答题（共6小题，满分70分）19全集U=R，若集合A=x|2x9，B=x|1x6（1）求（CRA）B；（2）若集合C=x|ax2a+7，且AC，求实数a的取值范围20已知向量=（1，sin），=（2，cos），且，计算：21如图，在ABC中，已知AB=3，BC=4，ABC=60，BD为AC边上的中线（1）设=， =，用，表示向量；（2）求中线BD的长22已知函数f（x）=1，判断f（x）
5、的单调性并运用函数的单调性定义证明23已知函数f（x）=2sin2（+x）cos2x1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若不等式f（x）m+10在，上恒成立，求实数m的取值范围24对于函数f（x）=logxalog2x2，x1，4，aR（1）求函数f（x）的最小值g（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：mn0；当函数g（a）的定义域为n，m时，值域为m，n，若存在，求出所有满足条件的m、n的值；若不存在，说明理由2015-2016学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共13小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|x3，B=1，2，3
6、，4，5则AB=（）A1，2，3B2，3，4C3，4，5D1，2，3，4，5【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】进而根据集合交集及其运算，求出AB即可【解答】解：集合A=x|x3，B=1，2，3，4，5，则AB=3，4，5，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2函数f（x）=lg（4x2）的定义域为（）A（，2）（2，+）B（2，2）C2，2D（，2）2，+）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】由对数式的真数大于0，然后求解一元二次不等式得答案【解答】解：由4x20，得x24，
7、即2x2函数f（x）=lg（4x2）的定义域为（2，2）故选：B【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题3下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）ABCy=x3Dy=tanx【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】阅读型【分析】根据函数的奇函数的性质及函数的单调性的判断方法对四个选项逐一判断，得出正确选项【解答】解：A选项的定义域不关于原点对称，故不正确；B选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；C选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；D选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增故选B【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，
8、求解本题的关键是掌握住判断函数的奇偶性的方法与判断函数的单调性的方法，本题中几个函数都是基本函数，对基本函数的性质的了解有助于快速判断出正确选项4已知向量=（1，），=（2，0），则与的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】由题意和向量的夹角公式可得夹角余弦值，则两向量夹角可求【解答】解：向量=（1，），=（2，0），设与的夹角为，由夹角公式可得cos=，又0，可得夹角=故选：C【点评】本题考查利用数量积求向量的夹角，属基础题5下列函数在区间（0，+）上，随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢的是（）Ay=2xBy=x2Cy=xD
9、y=log2x【考点】函数的图象【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】根据基本指数函数，幂函数，对数函数的图象和特点即可判断【解答】解：y=2x，y=x2，随着x的增大，函数值的增长速度越来越快，y=x随着x的增大，函数值的增长速度保持不变，y=log2x随着x的增大，函数值的增长速度越来越慢，故选：D【点评】本题考查了基本初等函数的增加程度，关键是掌握基本函数的图象和性质，属于基础题6三个数0.90.3，log3，log20.9的大小关系为（）Alog20.90.90.3log3Blog20.9log30.90.3C0.90.3log20.9log3Dlog3log2
10、0.90.90.3【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用【分析】由于00.90.31，log31，log20.90，即可得出【解答】解：00.90.31，log31，log20.90，log20.90.90.3log3，故选：A【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7若sin（+）=，且（，），则cos=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（+），再利用两角差的余弦公式求得cos的值【解答】解：sin（+）=，且（，），
11、+（，），则cos（+）=，cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=，故选：D【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题8函数f（x）=lnx+2x7的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】二分法的定义【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断【解答】解：函数f（x）=lnx7+2x，x（0，+）单调递增，f（1）=07+2=5，f（2）=ln230，f（3）=ln310，根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是（2，3
12、）故选：C【点评】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理，难度不大，属于中档题9为得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=cos（2x+）的图象（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用诱导公式，y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数y=cos（2x+）的图象向右平移个单位，即可得到函数y=cos2（x）+=cos（2x）=sin2x 的图象，故选：C【点评】本题主要考查诱导公式，y=Asin（x+）的图象变换规律，属
13、于基础题10已知f（x）=Asin（x+），（A0，0，0）的图象的一部分如图所示，则f（x）解析式是（）Af（x）=2sin（x）Bf（x）=2sin（x+）Cf（x）=2sin（2x）Df（x）=2sin（2x+）【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式【解答】解：根据f（x）=Asin（x+）的部分图象，可得A=2， =，=，再根据五点法作图，可得+=，=，f（x）=2sin（x+），故选：B【点评】本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象
14、求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题11设f（sin+cos）=sin2（R），则f（sin）的值是（）ABCD以上都不正确【考点】三角函数的化简求值；函数的值【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】令t=sin+cos，则 t2=1+sin2，求得f（t）的解析式，可得f（sin）的值【解答】解：令t=sin+cos，则 t2=1+sin2，sin2=t21由f（sin+cos）=sin2，可得f（t）=，f（sin）=f（）=，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的求值问题，属于基础题12f（x）=，则f+f
15、A1+BC1D【考点】函数的值【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据分段函数的表达式进行转化求解即可【解答】解：由分段函数得f=sin（+）=sin=，f=sin（+）=sin（+）=cos=，f=f=sin=，则f+f已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A（1，2015）B（1，2016）C（2，2016）D2，2016【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用【分析】0x1，可得sinx0，1，且x时，函数f（x）=sinx单调递增；x时，函数f（x）=sinx单调递减x1，log2015x0，且
16、函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1不妨设0abc，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015c1，即可得出【解答】解：0x1，sinx0，1，且x时，函数f（x）=sinx单调递增，函数值由0增加到1；x时，函数f（x）=sinx单调递减，函数值由1减少到0；x1，log2015x0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1不妨设0abc，f（a）=f（b）=f（c），a+b=1，2015c1，a+b+c的取值范围是（2，2016）故选：C【点评】本题考查了函数的单调性与值域，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能
17、力，属于难题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）14已知幂函数y=x的图象过点，则f（4）=2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数的性质及应用【分析】把幂函数y=x的图象经过的点代入函数的解析式，求得的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值【解答】解：已知幂函数y=x的图象过点，则 2=，=，故函数的解析式为 y f（x）=，f（4）=2，故答案为 2【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求函数的值，属于基础题15若角的终边经过点P（1，2），则sin2=【考点】任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦【专题】计算题；方程思想；综合法；三
18、角函数的求值【分析】利用三角函数的定义，计算的正弦与余弦值，再利用二倍角公式，即可求得结论【解答】解：由题意，|OP|=，sin=，cos=，sin2=2sincos=2（）=，故答案为：【点评】本题考查三角函数的定义，考查二倍角公式，属于基础题16已知RtABC三个顶点的坐标分别为A（t，0），B（1，2），C（0，3），则实数t的值为1或3【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的斜率【专题】计算题；转化思想；向量法；直线与圆【分析】由题意画出图形，分类利用向量数量积为0求得实数t的值【解答】解：如图，由图可知，角B或角C为直角当B为直角时，由得，（t1）2=0，即t=1；当C为直角
19、时，由得，t+3=0，即t=3故答案为：1或3【点评】本题考查两直线垂直的关系，考查了向量数量积判断两直线的垂直，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题17已知函数f（x）=x3+x，且f（3a2）+f（a1）0，则实数a的取值范围是（，）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：函数的导数为f（x）=3x2+10，则函数f（x）为增函数，f（x）=x3x=（x3+x）=f（x），函数f（x）是奇函数，则f（3a2）+f（a1）0等价为f（3a2）f（a1）=f（1a），
20、则3a21a，即a，故答案为：（，）【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键18已知f（x）=x3+ln，且f（3a2）+f（a1）0，则实数a的取值范围是（，）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据条件先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化求解即可【解答】解：由0，得1x1，即函数的定义域为（1，1），f（x）=x3+ln=x3+ln（x+1）ln（1x），则函数f（x）为增函数，f（x）=x3+ln（x+1）ln（1+x）=x3+ln（x+1）ln（1x）=
21、f（x），函数f（x）为奇函数，则不等式f（3a2）+f（a1）0等价为f（3a2）f（a1）=f（1a），则不等式等价为，即，得a，故答案为：（，）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键三、解答题（共6小题，满分70分）19全集U=R，若集合A=x|2x9，B=x|1x6（1）求（CRA）B；（2）若集合C=x|ax2a+7，且AC，求实数a的取值范围【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用【专题】计算题；转化思想；定义法；集合【分析】（1）根据全集与补集、并集的定义，进行化简、计算即可；（2）根据子集的概念，列出
22、不等式组，求出a的取值范围【解答】解：（1）全集U=R，集合A=x|2x9，RA=x|x2或x9，又B=x|1x6，（CRA）B=x|x6或x9；（2）集合A=x|2x9，集合C=x|ax2a+7，且AC，解得1a2，实数a的取值范围是1a2【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题目20已知向量=（1，sin），=（2，cos），且，计算：【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数基本关系的运用【专题】定义法；三角函数的求值；平面向量及应用【分析】根据向量平行建立方程关系，代入进行化简即可【解答】解：，2sincos=0，即cos=2sin，
23、则=5【点评】本题主要考查三角函数式的化简和求值，根据向量共线的等价条件进行等量代换是解决本题的关键比较基础21如图，在ABC中，已知AB=3，BC=4，ABC=60，BD为AC边上的中线（1）设=， =，用，表示向量；（2）求中线BD的长【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】（1）根据向量的平行四边形的法则即可求出，（2）根据向量的模的计算和向量的数量积即可求出【解答】解：（1）设=， =，BD为AC边上的中线=（+）=（+），（2）=（+），AB=3，BC=4，ABC=60，|2=（|2+|2+2）=（|2+|2+2|cos60）=（9+16+
24、234）=，|=，故中线BD的长为【点评】本题考查了向量的加减几何意义以及向量的模的计算和向量的数量积公式，属于基础题22已知函数f（x）=1，判断f（x）的单调性并运用函数的单调性定义证明【考点】函数单调性的判断与证明【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据函数的单调性的定义证明即可【解答】证明：函数f（x）的定义域是：x|x0，设x1x2，则f（x1）f（x2）=1（1）=0，f（x）在（0，+）递增【点评】本题考查了通过定义证明函数的单调性问题，是一道基础题23已知函数f（x）=2sin2（+x）cos2x1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若不等式f（x）
25、m+10在，上恒成立，求实数m的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数恒成立问题【专题】综合题；数形结合；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=2再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间（2）由x，可得可得取值范围根据不等式f（x）m+10在，上恒成立，可得mf（x）+1max【解答】解：（1）f（x）=cos2x=sin2xcos2x=2由2k+，kZ，解得：x+k，函数f（x）的单调递增区间是， +k，kZ（2）由x，则0，1f（x）0，1不等式f（x）m+10在，上恒成立，mf（x）+1max=2实数m的取值范围是（2，+）【点评】
26、本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题24对于函数f（x）=logxalog2x2，x1，4，aR（1）求函数f（x）的最小值g（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：mn0；当函数g（a）的定义域为n，m时，值域为m，n，若存在，求出所有满足条件的m、n的值；若不存在，说明理由【考点】对数函数的图象与性质【专题】计算题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】（1）利用换元法求函数的最值（2）根据二次函数图象和性质，结合定义域和值域之间的关系进行讨论即可【解答】（本题满分为12分）解：（1）设t=log2x，x1，4，t0，2，f（x）=t22at=（ta）2a2，当t=a，即x=2a时，f（x）min=g（a）=a2（2）mn0，g（a）=a2在0，）上为减函数，又g（a）的定义域为n，m，值域为m，n，n2=n，m2=m，m=n=1，这与mn0矛盾故满足条件的m，n不存在【点评】本题考查了函数与方程的关系，同时考查了换元法求函数的最值，要求熟练掌握二次函数的图象和性质，属于中档题2016年3月7日
