1、第 1 页一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）1.已知集合Axx02，Bxxlog221，则AB（）A RBxx02Cx x0Dxx4212.复数izi5的虚部为（）A 265Bi265C 265Di2653.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.16x30.75，以下结论中不正确的为（）A15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差B15 名志愿者身高和臂展成正相关关系C可估计身高为 190 厘米的人臂展大
2、约为 189.65 厘米D身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米4.函数 xf xxa（）的图象不可能是（）ABCD5.某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点 P 与点 Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为 A，B，则在该几何体表面上，从点 P 到点 Q 的路径中，最短路径的长度为（）江西省南昌市进贤县第一中学2020届高三下学期第九次调研考试数学（理）试卷第 2 页A B C D 6.设 m，n 为正数，且 m+n2，则1312nmn的最小值为（）A B C D 7.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在 中，角，所对的边分别为，则 的面
3、积 S22222142abcab.根 据 此 公 式，若 ，且 ，则 的面积为（）A B C D 8.执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（）A B C D29.若 ，则 x，y，z 大小关系正确的是（）A B C D 10.已知双曲线 C：1（a0，b0），点 P（x0，y0）是直线 bxay+4a0上任意一点，若圆（xx0）2+（yy0）21 与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）A（1，2B（1，4C2，+）D4，+）11.直线 与函数 （）的图象的相邻两个交点的距离为 ，若 在 （）上是增函数，则 的取值范围是（）A 0,4B 0,2C30,4D30,2第 3
4、 页12.已知函数 ，若方程 有 3 个不同的实根 x1，x2，x3（x1x2x3），则22ax 的取值范围是（）A1,0eB22,0eC222,2eeD20,2e二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.）13.717xx的展开式的第 2 项为 14.已知 中，若点 满足 ，则 _.15.记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 31nna的前 项和 16.已知三棱锥 的所有顶点都在球O的表面上，平面 ，则球 的表面积为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤.）17.设 .（1）求 的单调区间；（2）在锐角 中，角，的对边分别为，.若
5、，求 面积的最大值18.如图，在三棱锥 中，已知 ，顶点 在平面 上的射影为 的外接圆圆心（1）证明：平面 平面 ；（2）若点 M 在棱 PA 上，且二面角 的余弦值为 ，试求 的值19.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案规定每日底薪 50 元，快递业务每完成一单提成 3 元；方案规定每日底薪 100 元，快递业务的前 44 单没有提成，从第 45 单开始，每完成一单提成 5 元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取 100 天的数据，将样本数据分为25，35），35，45），45，55），55，65），65，75），75，85），85，95七组，整
6、理得到如图所示的频率分布直方图第 4 页（1）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为 13，选择方案的概率为 23 若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20.如图，椭圆1C：22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,F F，离心率为32，过抛物线2C：24xby焦点 F 的直线交抛物线于
7、,M N 两点，当7|4MF 时，M 点在 x 轴上的射影为1F。连接,NO MO 并延长分别交1C 于,A B 两点，连接 AB，OMN与 OAB的面积分别记为OMNS和OABS，设 OMNOABSS.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）求 的取值范围.第 5 页21.已知函数 （1）若 有两个不同的极值点 ，求实数 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：124xxeea.选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为22cos2sinxy（为参数），
8、直线l的参数方程为22212xtyt （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C 以及直线l 的极坐标方程；（2）若0,1A，直线l 与曲线C 相交于不同的两点 M，N，求11AMAN的值23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 （1）解不等式 ；（2）已知 ，且 ，求证：第 1 页参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）1.已知集合Axx02，Bxxlog221，则AB（）A RBxx02Cx x0Dxx421解：，ABx|x0故选：C2.复数izi5的虚部为（）A 265Bi265C 265Di265解：，
9、复数上的虚部为故选：A3.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.16x30.75，以下结论中不正确的为（）A15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差数学（理）答案第 2 页B15 名志愿者身高和臂展成正相关关系C可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米D身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米解：对于 A，身高极差大约是 25，臂展极差大于等于 30，故 A 正确；对于 B，很明显根据散点图以及回归方程得
10、到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，展臂就会长一些，故 B 正确；对于 C，身高为 190 厘米，代入回归方程可得展臂等于 189.65 厘米，但不是准确值，故 C 正确；对于 D，身高相差 10 厘米的两人展臂的估计值相差 11.6 厘米，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故 D 错误；故选：D4.函数 af xxx（）的图象不可能是（）ABCD解：f（x），f（x）（1）当 a0 时，f（x），图象为 A；（2）当 a0 时，1+0，f（x）在（0，+）上单调递增，令1+0 得 x，当 x时，1+0，当x0 时，1+0，f（x）在（，）上单调递减，在（，0）上单调递增，图
11、象为D；第 3 页（3）当 a0 时，1+0，f（x）在（，0）上单调递减，令 1+0 得 x，当 x时，1+0，当 0 x时，1+0，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，图象为 B；故选：C5.某几何体的三视图如图，该几何体表面上的点 P 与点 Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为 A，B，则在该几何体表面上，从点 P 到点 Q 的路径中，最短路径的长度为（）A B C D 解：根据几何体的三视图知，该几何体是长方体，如图所示；其展开图中，有三种情况，从点 P（A）到 Q（B）的最短距离为2故选：C第 4 页6.设 m，n 为正数，且 m+n2，则1312nmn的最小值为（）
12、A B C D 解：当 m+n2 时，因为 ，当且仅当 m+1n+2，即 ，时取等号，则 ，即最小值为 故选：D7.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在 中，角，所对的边分别为，则 的面积 S22222142abcab.根据此公式，若 ，且 ，则 的面积为（）A B C D 解：由 acosB+（b+3c）cosA0，可得 sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA0，即 sin（A+B）+3sinCcosA0，即 sinC（1+3cosA）0，因为 sinC0，所以 cosA，由余弦定理可得 a2b2c22bccosAbc2，所以 bc3，
13、由ABC 的面积公式可得 S故选：A第 5 页8.执行如图所示的程序框图，则输出的 a 值为（）A B C D2解：当 i1 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a3，i2；当 i2 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a，i3；当 i3 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a，i4；当 i4 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a2，i5；当 i5 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a3，i6；a 的值是以 4 为周期的循环，由 20204505，故当 i2021 时，满足退出循环的条件，故输出的 a 值为 2，故选：D9.若 ，则 x，y，z 大小关系正确的是（）A
14、B C D 解：0ab1；abaabab01，logbalogbb1；xyz故选：A10.已知双曲线 C：1（a0，b0），点 P（x0，y0）是直线 bxay+4a0 上任意一点，若圆（xx0）2+（yy0）21 与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）A（1，2B（1，4C2，+）D4，+）第 6 页【解答】解：双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y x，即 bxay0，P（x0，y0）是直线 bxay+4a0 上任意一点，则直线 bxay+4a0 与直线 bxay0 的距离 d ，圆（xx0）2+（yy0）21 与双曲线 C 的右支没有公共点，1，即 e
15、 4，故 e 的取值范围为 ，故选：B11.直线 与函数 （）的图象的相邻两个交点的距离为 ，若 在 （）上是增函数，则 的取值范围是（）A 0,4B 0,2C30,4D30,2解：直线 ya 与函数 f（x）tan（）图象的相邻两个交点的距离为一个周期，则 T2，所以，所以 f（x）tan（x+），由 kx+k+，解得 2kx2k+，（kZ）；所以函数 f（x）在（，）上是单调增函数；又 f（x）在（m，m）上是单调增函数，即（m，m）（，），解得 0m；所以 m 的取值范围是（0，第 7 页故选：B12.已知函数 ，若方程 有 3 个不同的实根 x1，x2，x3（x1x2x3），则22ax
16、 的取值范围是（）A1,0eB22,0eC222,2eeD20,2e解：由 f（x）（x22x）ex，f（x）（x22）ex，令 f（x）0，解得 x，当 x或 x，f（x）0，函数 f（x）单调递增，当x，f（x）0，函数 f（x）单调递减，由图象可得x20，又x2，设 g（x）xex，（x0），g（x）（x+1）ex，g（x）在（，1）上是减函数，在（1，0）上是增函数，由 g（1），g（），g（0）0，可得的取值范围为，0），故选：A第 8 页二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.）13.717xx的展开式的第 2 项为 解：（x）7 的展开式的第 2 项为 T2x
17、5x5，故答案为：x514.已知 中，若点 满足 ，则 _.解：，所以：，以及 AB3，AC5，BC7，cosBAC可得，所以（）（）12故答案为：1215.记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则数列31nna的前 项和 解：因为an是等数差数列，S1745917a9459a927，而 a2+a418，所以，解得 d3，a13，则 an3+（n1）33n，nN*；数列a3n构成首项为 9，公差为 9 的等差数列；若 n 为偶数，则，若 n 为奇数，则 Tn9+1827+36+9（n2）+9（n1）9n，第 9 页故 Tn；故答案为：16.已知三棱锥 的所有顶点都在球 O 的表面上，平面 ，则球
18、的表面积为 解：如图：由 cosACBsinACB，可得，则ACB30在ABC 中，AC，BC1，ACB30，AB则ABC 为等腰三角形，设ABC 的外心为 G，连接 BG 交 AC 于 E，由正弦定理求得 BG1，求解三角形可得 BE，则 EG取 CD 中点 F，则 F 为三角形 ACD 的外心，过 F 作平面 ACD 的垂线，过 G 作平面 ABC 的垂线，两垂线相交于 O，则 O 为三棱锥 DABC 的外接球的球心，其半径 R球 O 的表面积为故答案为：8第 10 页三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤.）17.设 .（1）求 的单调区间；（2）在锐
19、角 中，角，的对边分别为，.若 ，求 面积的最大值解：(1)由题意知f(x)sin2x.由 2k2x 2k，kZ,可得 kx k，kZ；由 2k2x2k，kZ,可得 kxk，kZ.所以 f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由 fsinA 0，得 sinA，由题意知 A 为锐角，所以 cosA.由余弦定理 a2b2c22bccosA，可得 1bcb2c22bc，即 bc2，且当 bc 时等号成立因此 bcsinA.所以ABC 面积的最大值为.18.如图，在三棱锥 中，已知 ，顶点 在平面 上的射影为 的外接圆圆心（1）证明：平面 平面 ；（2）若点 M 在棱 PA 上，
20、且二面角 的余弦值为 ，试求 的值解：（1）证明：如图，设 AC 的中点为 O，连接 PO，由题意，得 BC2+AB2AC2，则ABC 为直角三角形，第 11 页点 O 为ABC 的外接圆圆心又点 P 在平面 ABC 上的射影为ABC 的外接圆圆心，所以 PO平面 ABC，又 PO平面 PAC，所以平面 PAC平面 ABC（2）解：由（1）可知 PO平面 ABC，所以 POOB，POOC，OBAC，以 OC，OB，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（1，0，0），P（0，0，1），设，0，1，（
21、1，0，1），M（1，0，），（1，1，0），（1，0，1），（2，0，），设平面 MBC 的法向量为（x，y，z），则，令 x1，得（1，1，），设平面 PBC 的法向量为（x，y，z），由，令 x1，得（1，1，1），二面角 PBCM 的余弦值为，cos，解得，即 M 为 PA 的中点第 12 页19.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案规定每日底薪 50 元，快递业务每完成一单提成 3 元；方案规定每日底薪 100元，快递业务的前 44 单没有提成，从第 45 单开始，每完成一单提成 5 元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取 100 天的数据
22、，将样本数据分为25，35），35，45），45，55），55，65），65，75），75，85），85，95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图（1）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65 单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为 13，选择方案的概率为 23 若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）（共 13 分）解：（1）设事件 A
23、 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于 65 单的频率分别为：0.2，0.15，0.05因为 0.2+0.15+0.050.4所以 P（A）估计为 0.4（2）设事件 B 为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）”设事件i 为“甲乙丙三名骑手中恰有 i（i0，1，2，3）人选择方案（1）”，第 13 页则 P（B）P（C2）+P（C3）所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为（3）方法 1：设骑手每日完成快递业务量为 X 件方案（1）的日工资，方案（2）的日工资所以随机变量 Y1 的分布列为Y11
24、40170200230260290320P0.050.050.20.30.20.150.05所以 EY11400.05+1700.05+2000.2+2300.3+2600.2+2900.15+3200.05236同理随机变量 Y2 的分布列为Y1100130180230280330P0.10.20.30.20.150.05EY21000.1+1300.2+1800.3+2300.2+2800.15+3300.05194.5因为 EY1EY2，所以建议骑手应选择方案（1）方法 2：快餐店人均日快递量的期望是：300.05+400.05+500.2+600.3+700.2+800.15+900.
25、0562因此，方案（1）日工资约为 50+623236方案 2 日工资约为 100+（6244）5190236故骑手应选择方案（1）第 14 页20.如图，椭圆1C：22221(0)xyabab的左右焦点分别为12,F F，离心率为32，过抛物线2C：24xby焦点 F 的直线交抛物线于,M N 两点，当7|4MF 时，M点在 x 轴上的射影为1F。连接,NO MO 并延长分别交1C 于,A B 两点，连接 AB，OMN与 OAB的面积分别记为OMNS和OABS，设 OMNOABSS.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）求 的取值范围.解：（1）由抛物线定义可得)47,(bcM，点
26、M 在抛物线by42上，)47(42bbc，即2247bbc又由23ac，得223bc，将上式代入，得bb772，解得1b，3c，2a，所以曲线1C 的方程为1422 yx，曲线2C 的方程为yx42.（2）设直线 MN 的方程为1 kxy，由yxkxy412消去 y 整理得0442 kxx，设),(),(2211yxNyxM，则421xx，设,mkmkOMON，则41161211122xxxyxymm，所以mm41，设直线ON 的方程为mxy（0m），由yxmxy42，解得0 xm4，所以2214|1|mmxmONN，由可知，用m41代替 m，可得2216111|)41(11|mmxmmOM
27、M，第 15 页由1422yxmxy，解得1422 mxA，所以1412|1|222mmxmOAA，用m41代替 m，可得14116112|1611|222mmxmOBB，所以|OBOAOMONSSOABOMN1411611214121611114222222mmmmmmmm1411422mm2212412422mmmm，当且仅当1m时等号成立.所以 的取值范围为),2 .21.已知函数 （1）若 有两个不同的极值点 ，求实数 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：124xxeea.解：（1）函数 f（x）x2aex1，f（x）2xaex，f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，f（x）2
28、xaex0 有两个根，即 a，即 ya 与 yg（x）有两个交点，g（x），当 x1 时，g（x）0，函数 g（x）单调递增，当 x1 时，g（x）0，函数 g（x）单调递减，g（x）maxg（1），当 x时，g（x）+，当 x+时，g（x）0，第 16 页当 a（0，）时，ya 与 yg（x）有两个交点，实数 a 的取值范围（0，）（2）证明：由 f（x1）2x1ae0，f（x2）2x2ae0，有即；由不等式，设 lnx1t1，lnx2t2，则，所以上述不等式变为；所以；故+成立22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为22cos2sinxy（为参数），直线
29、l 的参数方程为22212xtyt （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C 以及直线l 的极坐标方程；（2）若0,1A，直线l 与曲线C 相交于不同的两点 M，N，求11AMAN的值解：（）依题意，曲线 C：（x2）2+y24，故 x2+y24x0，即 24cos0，即 4cos；直线 l：y1x，即 x+y10，即 cos+sin10，故；第 17 页（）将直线 l 的参数方程（t 为参数）代入 x2+y24x0 中，化简可得，设 M，N 所对应的参数分别为 t1，t2，则，t1t21，故23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 （1）解不等式 ；（2）已知 ，且 ，求证：解：（）由 f（x）3|x+2|，可得|x+2|+|x+1|3，则或或，解得 x3 或或 x0，故不等式的解集为（，3）（0，+），证明（）f（x）|x|x+1|x|x+1x|1，a2+4b2（a+2b）24ab22（）21，当且仅当 a2b 时，即 a，b时取等号，1，
