1、第七章立体几何第六节 空间向量及其运算最新考纲考情分析了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系；能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现.课时作业01知识梳理诊断自测02考点探究明晰规律01 知识梳理 诊断自测 课前热
2、身 稳固根基 知识点一 空间向量及其线性运算1空间向量在空间中，具有的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab存在 R，使 a.大小和方向b(2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，使向量 p 与向量 a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p.(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序实数组x，y，z使得 p.xaybxaybzc知识点二 空间向量的数量积运算1两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b(2)空间
3、向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)交换律：abba.分配律：a(bc)abac.2空间向量的坐标表示及其应用设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若 ab0，则a，b是钝角()(2)若两条不重合的直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是平行()(3)已知AB(2,2,1)，AC(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量是 n013，23，23.()(4)若 n1，n2 分别是平面，的法向量，则 n1n2.()2小题热身(1)如图所示，在平行六面
4、体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1的交点若ABa，AD b，AA1 c，则下列向量中与BM 相等的向量是()A12a12bcB12a12bcC12a12bcD12a12bcA解析：BM BB1 B1M AA1 12(AD AB)c12(ba)12a12bc.(2)在空间直角坐标系中，已知 A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是()A垂直B平行C异面D相交但不垂直B解析：由题意得，AB(3，3,3)，CD(1,1，1)，AB3CD，AB与CD 共线，又 AB 与 CD 没有公共点，ABCD.(3
5、)已知 a(2,3,1)，b(4,2，x)，且 ab，则|b|.2 6解析：ab，ab2(4)321x0，x2，|b|4222222 6.(4)正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则EF 的长为.2解析：|EF|2EF 2(ECCD DF)2EC 2CD 2DF 22(ECCD ECDF CD DF)1222122(12cos120021cos120)2，|EF|2，EF 的长为 2.(5)O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且OP 34OA 18OBtOC，若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t.18解析：P，A，B，C 四点共面，3418t1，
6、t18.02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 空间向量的线性运算【例 1】在三棱锥 O-ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用基向量OA，OB，OC 表示OG，MG.【解】OG OA AG OA 23ANOA 23(ON OA)OA 2312OB OC OA13OA 13OB 13OC，MG OG OM OG 12OA 13OA 13OB 13OC 12OA 16OA 13OB 13OC.方法技巧用已知向量表示某一向量的三个关键点1用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.2要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义
7、，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.3在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.已知空间四边形 OABC 中，OA a，OB b，OC c，点 M 在 OA上，且 OM2MA，N 为 BC 中点，则MN()A12a23b12cB23a12b12cC12a12b12cD23a23b12cB解析：如图所示，MN MA ABBN13OA(OB OA)12BC OB 23OA 12(OC OB)23OA 12OB 12OC 23a12b12c.考点二 共线、共面定理的应用【例 2】已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA
8、 的中点，用向量法证明：(1)E，F，G，H 四点共面；(2)BD平面 EFGH.【证明】(1)证法 1：E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD的边的中点，FG EH 12BD.EG EFFG EFEH，E，F，G，H 四点共面证法 2：E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边的中点，FG EH 12BD.FGEH.故 E，F，G，H 四点共面(2)由题意知BD AD AB2AH 2AE2(AH AE)2EH.BD EH.BDEH，又 BD平面 EFGH，EH平面 EFGH.BD平面 EFGH.方法技巧1利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是直接利用定理.向量方法为几何问题的解决
9、提供了一种新的思路.2向量的平行与直线的平行是不同的：直线平行是不允许重合的，而向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合.如图所示，已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 M，N 分别在 AC1 和BC 上，且满足AM kAC1，BN kBC(0k1)，向量MN 是否与向量AB，AA1 共面？解：AM kAC1，BNkBC，MN MA ABBN kC1A ABkBC k(C1A BC)ABk(C1A B1C1)ABkB1A ABABkAB1 ABk(AA1 AB)(1k)ABkAA1，由共面向量定理知，向量MN 与向量AB，AA1 共面考点三 空间向量的数量积运算【例 3】如图所示，已知
10、空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算：(1)EFBA；(2)EG 的长【解】设ABa，ACb，AD c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，EF12BD 12c12a，BAa，DC bc.(1)EFBA12c12a(a)12ac12a2141214；(2)EG EBBC CG 12AB(AC AB)12(AD AC)12AB12AC 12AD 12a12b12c，所以EG214(abc)214(a2b2c22ab2ac2bc)12，所以|EG|22.即 EG 的长为22.方法技巧(1)利用数量积解决问题的两条途径：一
11、是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题a0，b0，abab0；|a|a2；cosa，b ab|a|b|.已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设 aAB，bAC.(1)若|c|3，且 cBC，求向量 c；(2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值解：(1)cBC，BC(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmBC m(2，1,2)(2m，m,2m)，|c|2m2m22m23|m|3，m1，c(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2
12、)1，又|a|121202 2，|b|120222 5，cosa，b ab|a|b|110 1010，即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 1010.考点四 利用空间向量证明平行与垂直【例 4】如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，BC90，AB4，CD1，点 M 在PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30的角求证：(1)CM平面 PAD；(2)平面 PAB平面 PAD.【证明】由题意知，CB，CD，CP 两两垂直，以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴，CD 所在直线为 y 轴，CP 所在直线为 z轴建立如图所示的空
13、间直角坐标系 C-xyz.PC平面 ABCD，PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，PBC30，PC2，BC2 3，PB4，D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，A(2 3，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32，DP(0，1,2)，DA(2 3，3,0)，CM 32，0，32.(1)设 n(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量，由DP n0，DA n0，即y2z0，2 3x3y0，令 y2，得 n(3，2,1)nCM 3 32 201320，nCM.又 CM平面 PAD，CM平面 PAD.(2)解法 1：由(1)知BA(0,4,0)，PB(2 3，0，2)，设平面 PAB
14、 的一个法向量为 m(x0，y0，z0)，由BAm0，PBm0，即4y00，2 3x02z00，令 x01，得 m(1,0，3)又平面 PAD 的一个法向量 n(3，2,1)，mn1(3)02 310，平面 PAB平面 PAD.解法 2：取 AP 的中点 E，连接 BE，则 E(3，2,1)，BE(3，2,1)PBAB，BEPA.又BEDA(3，2,1)(2 3，3,0)0，BEDA.BEDA.又 PADAA，BE平面 PAD.又BE平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.方法技巧利用空间向量证明平行与垂直的方法(1)选取空间不共面的三个向量为基底，用基底表示已知条件和所需解决的问题，结合空间
15、向量的法则解决(2)建立空间直角坐标系，用坐标法证明平行与垂直如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，点 M 是 BD 的中点，AE12CD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示(1)求证：EM平面 ABC；(2)试问在棱 CD 上是否存在一点 N，使 MN平面 BDE？若存在，确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由解：以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，D(2,0,4)，E(0,0,2)，M(1,1,2)，AE(0,0,2)，DB(2,2，4)，DE(2,0，2)，DC(0,0，4)，DM(1,1，2)，EM(1，1,0)(1)证明：由图易知AE为平面 ABC 的一个法向量，因为AEEM0(1)01200，所以AEEM，即 AEEM，又 EM平面 ABC，故 EM平面 ABC.(2)假设在 DC 上存在一点 N 满足题意，设DN DC(0,0，4)，0,1，则NM DM DN(1,1，2)(0,0，4)(1,1，24)，所以NM DB 0，NM DE 0，即228160，2480，解得 340,1所以棱 DC 上存在一点 N，满足 NM平面 BDE，此时，DN34DC.温示提馨请 做：课时作业 49PPT文稿（点击进入）
