1、二项分布、超几何分布 与正态分布 伯努利试验 二项分布 定 义 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(即事件要么发生,要么不发生.)将一个伯努利试验独立地重复(相同条件下)进行n次所组成的随机试验为n重伯努利试验.一般地,在n重伯努利试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的 概率为p,此时称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p),并称p为成功的概率.计 算 公 式 若用Ai(i=1,2,3,n)表示 第i次试验的结果,则这n个事件同时发生的概率P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为 P(X=k)=nkpk(1-p
2、)n-k,k=0,1,2,n.随机变量X服从二项分布,即XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)，D(X).(2)若XB(n，p)，则E(X)，D(X).p p(1p)np np(1p)备注：两点分布是二项分布当n1时的特殊情形.1.已知XB(20，p)，且E(X)6，则D(X)等于 A.1.8 B.6 C.2.1 D.4.2 因为X服从二项分布XB(20，p)，所以E(X)20p6，得p0.3，故D(X)np(1p)200.30.74.2.公式过关2.种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5
3、棵，则恰好成活4棵的概率约为 A.0.33B.0.66C.0.5D.0.45 解析 C450.940.10.33.A.C35C14C45B.59349C.3514D.C1459349箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为 A.C35C14C45B.59349C.3514D.C1459349箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为 “恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同:恰好发生k次的概率P=Cp
4、k(1-p)n-k,有指定的k次发生的概率P=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n).(2019全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_.0.18 题型一 二项分布 例1(2022武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率
5、；23(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值.(3)若该运动员打破一项世界记录，则可以获得30万元的奖金，求该运动员获得奖金Y的均值.依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同.设其打破世界纪录的项目数为随机变量，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A，则有P(A)P(2)P(3)C2323213 C332332027.由(1)可知，XB3，23，则 P(X0)C031233 127，P(X1)C1323123229，P(X2)C23232123 49，P(X3)C33233 827，所以X的分布列为 X 0 1 2 3
6、 P 127 29 49 827 所以均值 E(X)0 1271292493 8272.思 维 升 华判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.二、超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 CkMCnkNMCnN MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.P(Xk)_，km，m1，m2，r，
7、其中，n，N，MN*，若X服从超几何分布,即XH(n,M,N),则E(X)=,D(X)=()()2(1);超几何分布 例2 2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现了快速交会对接.据航天科技集团五院的专家介绍，此次天舟货运飞船携带的物资可以供3名航天员在太空中生活3个月，这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录.如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担，在3名女性航天员(甲、乙、丙)和4名男性航天员(丁、戊、己、庚)共7名航天员中产生.(1)求所选的3名航天员既有男航天员又有女
8、航天员的概率；(2)求所选的3名航天员中女航天员人数X的分布列及均值.为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为.A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.(1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率；课堂练习 23(2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.B恰好答对2个问题的概率为 P2
9、C2323213149.由题意，知 A 恰好答对 2 个问题的概率为 P1C24C12C36 35，X的可能取值为1,2,3，则 P(X1)C14C22C36 15；P(X2)C24C12C36 35；P(X3)C34C02C36 15.所以 E(X)1152353152，因为E(X)E(Y)，D(X)0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为.2.正态曲线的特点(曲线位于x轴上方，与x轴不相交)(1)曲线是单峰的，它关于直线对称；(2)曲线在处达到峰值；(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.222ex-1 2 1 2 XN(，2)x x 曲线与x轴之间的面积为.当一定时，曲线的位置由确
10、定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示.当一定时，曲线的形状由确定，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.1越小越大3.3原则(1)P(X)0.682 7；(2)P(2X2)0.954 5；(3)P(3X3)0.997 3.4.正态分布的均值与方差 若XN(，2)，则E(X)，D(X).2 随机变量X服从正态分布，记作XN(，2).例：随机变量X服从正态分布XN(0，1)，P(X0)_，P(|X|1)_，P(X1)_，P(X1)_.3.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102).已知P(100X110)0.34
11、，估计该班学生数学成绩在120分以上的有_人.考试的成绩X服从正态分布N(110,102)，该正态曲线关于X110对称，P(100120)P(X100)(10.342)0.16.该班数学成绩在120分以上的人数约为0.16508.8 12(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间(对称性）1.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X2c1)P(Xc3)，则c_.43 P(X+a)2.设随机变量服从正态分布N(，2)，函数f(x)x24x没有零点的概率是，则等于 A.1B.2C.4D.不能确定 12 P(x)=P(x)=0.5思维拓展 对于正态分布N(,2),由直线x=是正态曲线的对称
12、轴知:(1)P(x)=P(x)=0.5;(2)对任意的a,有P(X+a);(3)P(Xx0)=1-P(Xx0);(4)P(aXb)=P(Xb)-P(Xa).图 11-4-2 5.(多选)(2022昆明模拟)已知两种不同型号的电子元件(分别记为X，Y)的使用寿命均服从正态分布，XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是参考数据：若ZN(，2)，则P(Z)0.682 7，P(2Z2)0.954 5.A.P(11X121)0.818 6 B.P(Y2)P(Y1)C.P(X2)P(Yt)21 22 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分
13、布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x0.跟踪训练3(1)(2022苏锡常镇四市调研)若随机变量XB(3，p)，YN(2，2)，若P(X1)0.657，P(0Y4)等于 A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 由题意，P(X1)1P(X0)1(1p)30.657，解得p0.3，则P(0Y4)P(Y0)0.5P(0Y2)0.2.(2)(2022深圳模拟)已知随机变量N(，2)，有下列四个命题：甲：P(P(a2)；乙：P(a)0.5；丙：P(a)0.5；丁：P(aa1)P(a1
14、a2).如果只有一个假命题，则该命题为 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 例3(1)(2021新高考全国)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，2)，下列结论中不正确的是 A.越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 (2)(八省联考)对于一个物理量做 n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果.已知最后结果的误差 nN0，2n，为使误差 n 在(0.5
15、，0.5)的概率不小于 0.954 5，至少要测量_次.(若 XN(，)，则 P(|X|2)0.954 5)32 某教育机构对某省全省高中男生身高进行统计，统计调查数据显示：全省接受统计的100000名男生的身高服从正态分布N(170.5,16).现从我校高二年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组157.5,162.5)，第二组162.5,167.5)，.，第六组182.5,187.5.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）试评估我校高二年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；（2）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省 前130名的人数记为，求的均值.