1、求抛物线的标准方程【例1】求定点在原点，对称轴为坐标轴，且过点(3,2)的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p.从实际分析，一般需确定p和开口方向两个条件，有时需要相应的讨论【变式练习1】求顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线x2y40上的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程抛物线的几何性质【例2】已知A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB(O为坐标原点)，(1)求证：A、B这两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也是定值；(2)求证：直线AB过定点；(3)求线段AB中点M的轨迹方程p的规律性结论很多，我们都可围绕定义，同时适时
2、运用点差法即可求得设AB为过抛物线y22px(p0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为，则【变式练习2】设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.抛物线的应用【例3】已知点A(1,0)，F(1,0)和抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P两点，直线MF交抛物线C于另一点Q，如图【变式练习3】如图，设抛物线方程为x22py(p0)，M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；4.已知点P
3、(3,2)在抛物线y24x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M，使|MP|MF|最小，并求此最小值【解析】过M作准线l的垂线MA，垂足为A，则由抛物线的定义有|MF|MA|.所以|MP|MF|MP|MA|，显然当P，M，A三点共线时，|MP|MF|最小此时，M点的坐标为(1,2)，最小值为4.5.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其焦点坐标；(2)当直线PA与直线PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率【解析】(1)由已知条件可设抛物线的方程为y22px(p0)因为
4、点P(1,2)在抛物线上，所以222p1，得p2.故所求抛物线的方程是y24x，焦点坐标为(1,0)(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，1由于坐标系建立时，设坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种形式，这四种标准方程的区别与联系在于：(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数(2)方程右边一次项的变量与所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线开口方向、焦点的非零坐标是一次项系数的1/4(3)在利用抛物线定义解题时应特别注意应用“斜直转换”，即将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离互相转换(2)求抛物线的标准方程，需判断焦点所在的坐标轴和确定p的值当根据已知条件不能判断是抛物线时，用轨迹法过焦点的直线与抛物线的交点问题有时用焦半径较简单(3)要重视抛物线定义的应用，“回归定义”有时使问题变得简捷明确利用坐标法求曲线方程并研究其性质，体现了解析几何研究数学问题的数学思想方法
