1、试卷第 1页，共 4页20232024 学年度第一学期四校联考（三）数学试卷命题学校：珠海市实验中学命题：张平审题：樊文联说明：本试卷共 4 页，22 道题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答
2、题区域均无效。一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集为 U=R，集合110Bx x，则 U B（）A.10 xx B.10 xx C.10 xx D.10 xx 2“0 x”是“ln10 x”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要3.复数 z 满足：(2)izz （i 为虚数单位），z 为复数 z 的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.22iz B.2z zC.|2z D.0zz4.已知 m，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若/mn，n，则/mB.若/
3、m，n，则/mnC.若m，n，/mn，则/D.若/，m，则/m5.在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，若13AEAC，BFFC，则 BE AF（）A.23B.43C.83D.26.已知实数2log 3a，cos 4b，3log 2c，则这三个数的大小关系正确的是（）A.abcB.bacC.bcaD.acb7.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#试卷第
4、 2页，共 4页的底面面积）超过 34，则该塔形中正方体的个数至少是（）A.4B.5C.6D.78.已知1a，123,x xx 为函数2()xf xax的零点，123xxx，若1322xxx，则（）A.322lnxax B.322lnxax C.322lnxax D.32xx 与 2lna 大小关系不确定二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.记等差数列 na的前 n 项和为nS，已知53a，39S ，则有（）A.15a B.40a C.60S D.34SS10.若0
5、ab，则下列不等式正确的是（）A 11abB22aabbC2baabD11022ab11.已知函数 sin4f xx0()在区间0,上有且仅有 4 条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.f x 在区间0,上有且仅有3 个不同的零点B.f x 的最小正周期可能是 2C.的取值范围是 13 17,44D.f x 在区间 0,15上单调递增12.若函数 2ln21()f xxa xxaR存在两个极值点12,x x 12xx，则（）A.函数 f x 至少有一个零点B.0a 或2a C.1102 xD.121 2ln 2f xf x 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13
6、.已知函数 21,02,0 xbxxf xax 为 R 上的奇函数，则实数b _14.若曲线3yxax在点1,1a 处的切线方程为7yxm，则 m _15.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高 AB，某人先在塔的正西方的点C 处测#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#试卷第 3页，共 4页得塔顶的仰角为 45，然后从点C 处沿南偏东30 方向前进60m到达 点D 处，在 D 处测得塔顶的仰角为30，则铁塔 AB 的高度是_m16.已知平面内非零向量,a b c 满足|1a，|2b，1a b，若2220cb c，则
7、|ca 的取值范围是_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题 10 分）已知数列 na是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为nS，1a，341a ，42S 成等差数列（1）求数列 na的通项公式；（2）令2lognnnbaa，求数列 nb的前 n 项和nT 18.（本小题 12 分）设函数()sin()sin()62f xxx，其中03，已知()06f.（1）求；（2）将函数()yf x的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 4 个单位，得到函数()yg x的图象，求()g x 的单调
8、递减区间.19.（本小题 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，四边形 ABCD为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD 平面 PAC；（2）若060ABC，求证：平面 PAB 平面 PAE；（3）棱 PB 上是否存在点 F，使得/CF平面 PAE？说明理由.#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#试卷第 4页，共 4页20.（本小题 12 分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族 S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 S 中%x（0100 x
9、）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间()f x（单位：分钟）与 x 的函数关系为30,030()1800290,30100 xf xxxx，而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间()g x 的表达式，讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.21.（本小题 12 分）某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA OC 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与 BC 的总长度为 12 米且BAOBCO，设(0)2BAO.（
10、1）当3,3AB时，求OB 的长；（2）当6AB 时，求OABC 面积S 的最大值及此时 的值.22.（本小题 12 分）已知函数21()xxaxf xe，其中Ra，（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0 x 时，关于 x 的不等式2()af xe恒成立，求实数 a 的取值范围（注：2.71828e 是自然对数的底数）#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#2023-2024学年度第一学期四校联（三）数学答题卡姓名：班级：考场/座位号：正确填涂缺考标记注意事项1答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。2客观题答题
11、，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。3必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。考 号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9选择题（18为单选题，912为多选题）1 A B C D2 A B C D3 A B C D4 A B C D5
12、 A B C D6 A B C D7 A B C D8 A B C D9 A B C D10 A B C D11 A B C D12 A B C D填空题13、14、15、16、解答题17.17.（续）18.19.#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#20.21.22.#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#试卷第 1页，共 7页20232024 学年第一学期四校联考（三）参考答案题号123456789101112答案CBBDDABCACDACBCACD13
13、.114.215.3016.32,32部分试题答案详解7.【答案】B【解答】解：设从最底层开始的第 n 层的正方体棱长为na，12a，22212222a，22312212a ，则 na为以 2 为首顶，以22为公比的等比数列，2na是以 4 为首项，以 12 为公比的等比数列塔形的表面积2222212314444nnSaaaaa14 132244361212nn，令3236342n，解得4n，该塔形中正方体的个数至少为 5 个故选：B8.【答案】C【解答】解：易知1230,xxx123,x xx 为函数2()xf xax的零点，11322321222244213221323,xxxxxxaxa
14、xax xaxxx xax221 30,xx x又22331322233222,20,210 xxxxxxxxxxx 解之：3221xx ，负根舍去；又2220,lnl(n)xxf xaxxaxxa，即lnyxa与2lnyx有三个交点，交点横坐标分别为123,x xx，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为22,2ln,2ln,ttyxkxt#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#试卷第 2页，共 7页切线方程为：22lnytxtt过原点，et 此时22,lnekyxat的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，24ln,2
15、ln221.eeaa故选：C12.【答案】ACD【解答】解：对于 A，22ln21ln(1)f xxa xxxa x2(1)ln1(1 1)0fa，1x是()f x的一个零点，故 A 正确对于 B，21221()(22)axaxfxaxxx()f x存在两个极值点1212,()x xxx，22210axax 有两个不相等的实数根，即()fx有两个变号零点120,0 xx0，即22(2)4 21484(2)0aaaaa a ，20aa或又120,0 xx，121210102xxx xa，解得0a,综上，2a，故 B 错误对于 C，由 B 选项可得，121xx+，211xx，111xx，1102x
16、故 C 正确对于 D，2212111222()()ln(21)ln(21)f xf xxa xxxa xx22121212ln2()2x xa xxxx,将121211,2xxx xa代入上式212111()()ln(122 12)ln 2(1)22f xf xaaaaaa ln 2ln1lnln 2 1aaaa 令()lnln 2 1(2)h aaaa11()10ah aaa 有()h a在(2,)上单调递增，()(2)2ln 2ln 2 112ln 2h ah ，故 D 正确故选：ACD16.【答案】32,32解：由2220cb c ，得2()2cb，设#QQABJYYEogCgAAIAA
17、AhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#试卷第 3页，共 7页OAa,OBb，OCc，所以点C 的轨迹是以点 B 为圆心，2 为半径的圆2,2caBABA，,3a b，所以4 1 2 2 cos33AB ，于是32,32ca故填32,32 17.解：（1）由题意得：3142 412aaS，1 分即2111(1 16)822212aaa，3 分整理得11132230aaa，解得12a，4 分所以数列 na的通项公式为2nna.5 分（2）由（1）知：2log2nnnnbaan.6 分所以 12312122232(1)2nnnTnn123122222(12)nnn
18、8 分2 1 2(1)1 22nn n1(1)222nn n.10 分18.解：（1）由()sin()sin()62f xxx得：31()sincoscos22f xxxx33sincos22xx，2 分133(sincos)22xx3(sin)3x，4 分由()06f 知(sin)063，则 63k，kZ，故62k，kZ，6 分又03，所以2.7 分（2）由（1）知()3sin(2)3f xx，8 分由题意得()3sin()3sin()4312g xxx.，10 分#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#试卷第 4页，共 7
19、页由322,2122kxkkZ解得 71922,1212kxkkZ，所以()g x 的单调递减区间为 7192,2()1212kkkZ.12 分19.（1）证明：因为 PA 平面 ABCD,所以 PABD；1 分因为底面 ABCD是菱形，所以 ACBD，2 分因为 PAACA,PA AC 平面 PAC,所以 BD 平面 PAC.3 分（2）证明：因为底面 ABCD是菱形且60ABC，所以 ACD为正三角形，所以AECD,因为/ABCD,所以 AEAB；4 分因为 PA 平面 ABCD，AE 平面 ABCD,所以 AEPA；5 分因为 PAABA，所以AE平面 PAB，6 分AE 平面 PAE,
20、所以平面 PAB 平面 PAE.7 分（3）存在点 F 为 PB 中点时，满足/CF平面 PAE 8 分理由如下:分别取,PB PA的中点,F G，连接,CF FG EG,在三角形 PAB 中，/FGAB 且12FGAB；9 分在菱形 ABCD中，E 为CD 中点，所以/CEAB 且12CEAB，所以/CEFG 且CEFG，即四边形 CEGF 为平行四边形，所以/CFEG;又CF 平面 PAE，EG 平面 PAE，所以/CF平面 PAE.12 分20解：（1）根据题意知()40f x，1 分当 030 x时，()3040f x，不满足题意；2 分当30100 x时，由180029040 xx化
21、简得2659000 xx，即(20)(45)0 xx，解得45x 或20 x（舍去），45100 x，4 分综上知当 45100 x时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间，5 分（2）由题意得()%()(1%)40g xxf xx，6 分当 030 x时，()%30(1%)40g xxx14010 x，由一次函数图像性质可知()g x 在030 x时单调递减；7 分#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#试卷第 5页，共 7页当30100 x时，1800()%(290)(1%)40g xxxxx2113585010
22、xx，由二次函数图像性质可知当(30,32.5)x 时，()g x 单调递减，当32.5,100)x 时，()g x 单调递增；9 分综上，2140,03010()11358,301005010 xxg xxxx，在(0,32.5)上单调递减，在32.5,100)上单调递增，10 分说明当自驾群体范围小于 32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少；当自驾群体占比为 32.5%时，人均通勤时间最少；当自驾群体范围超过 32.5%时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加.12 分21.解:（1）连接,AC OB，设,OBmBOC，在 OAB中，由正弦定理可知：33cossinsin()32m
23、，在OBC中，由正弦定理可知：9sinsin 3m，2 分于是有93sincos，即sin3cos，而22sincos1，解得10cos10（负值舍去），4 分因此3333 302cos210sin 310mm，即3 302OB；6 分（2）由题意知6ABBC，所以BCABAC，而 OAOC，BAOBCO，因此4OCAOAC，所以OAOC，而 ABBC，所以OB 垂直且平分 AC，因此4BOC，344ABOCBO，8 分在OBC 中，由正弦定理 sinsinOBBCBOC，得6 2 sinOB则132sin24SOBBA36 2 sinsin4#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWi
24、CkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#试卷第 6页，共 7页2236 2 sincossin22236sincos36sin18sin 218 1cos218 2 sin 2184，02 10 分当242，即38 时，S 取到最大值，最大值为18 218因此，当38 时，养殖场OABC 最大的面积为18 218平方米.12 分22.解：（1）由2(2)1(1)(1)()xxeexaxaxxafx，1 分当11a ，即0a 时，因为210()xxfxe恒成立，故()f x 在()，上为减函数；2 分当1 1a ，即0a 时，由 0fx得，1x 或1xa；由()0fx得，11x
25、a，所以()f x 在()1，和(1)a ，上为减函数，在(1)1a，上为增函数；3 分当1 1a ，即0a 时，由()0fx得，1xa 或1x ；由()0fx得，11ax ，所以()f x 在()1a，和(1)，上为减函数，在()11a ，上为增函数.4 分综上：当0a 时，()f x 在()，上为减函数；当0a 时，()f x 在()1，和(1)a ，上为减函数，在(1)1a，上为增函数；当0a 时，()f x 在()1a，和(1)，上为减函数，在()11a ，上为增函数.5 分（2）因为0 x 时，关于 x 的不等式 2f xea恒成立，则 20afe，即21ae，解得 ae 或 ae.
26、6 分当 ae 时,由（1）知 fx 在0,1 上为增函数，在1,上为减函数，所以 fx 在0,上的最大值为 1f，故 21afe，即22aaee，解得2a 或1a ，因为 ae，所以2a .8 分当 ae时，由（1）知 fx 在0,1 和1,a上为减函数，在1,1a 上为增函数，所以 fx 在0,上的最大值为 max0,1ff a，故21af ae，#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#试卷第 7页，共 7页即212aaaee，整理得220aaae.9 分记 22()ag aaaaee，1xt xex，所以 1xtxe，当0 x，0tx，t x 单调递减；当0 x，0tx，t x 单调递增，所以 00t xt即10 xex，10 分则 232122g aaaaaaa，因为函数3ya和22yaa在,e 上均为增函数，2120g ae eeee ee，11 分综上：a 的取值范围是,2,e12 分#QQABJYYEogCgAAIAAAhCAwWiCkAQkBGCAKoORAAAsAAAQRNABCA=#