1、第二章单元质量评估本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题共60分)答题表题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1若方程1表示双曲线，则实数k的取值范围是()Ak3或3k4 B3k4Ck4 D3k42如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A(1，) B(1,2)C. D(0,1)3以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.14以椭圆1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是()A.1
2、B.1C.1或1D以上都不对5若抛物线y24x上一点P到焦点F的距离为10，则P点坐标为()A(9,6) B(9，6)C(6,9) D(6，9)6双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B.C. D.7抛物线y212x的准线与双曲线1的两条渐近线所围成的三角形面积等于()A3 B2C2 D.8已知椭圆C的方程为1(m0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2 B2C8 D29已知抛物线y24x的准线过椭圆1(ab0)的左焦点，且准线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，AOB的面积为，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.10过点P(x，
3、y)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2且1，则点P的轨迹方程是()A3x2y21(x0，y0)B3x2y21(x0，y0)C.x23y21(x0，y0)D.x23y21(x0，y0)11已知椭圆x22y24，则以(1,1)为中点的弦的长度为()A3 B2C. D.12(2016新课标全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B.C. D.答案1D若方程表示双曲线，则或解得3k
4、4，故选D.2D将椭圆方程变为1，由题意，得2，解得0k0)上，1，可得m2.9B抛物线y24x的准线方程为x1，抛物线y24x的准线过椭圆1(ab0)的左焦点，椭圆的左焦点为(1,0)，c1.O为坐标原点，AOB的面积为，1，整理，得2a23a20，解得a2或a(舍)，e.故选B.10D因为Q与P(x，y)关于y轴对称，所以Q(x，y)，由2，得A，B(0,3y)所以.从而由(x，y)1，得x23y21，其中x0，y0，故选D.11C设弦端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x2y4，x2y4，xx2(yy)，此弦的斜率k，此弦所在的直线方程为y1(x1)，即yx.代入x22y24，整
5、理，得3x26x10，x1x2，x1x22，|AB|.12A设E(0，m)，则直线AE的方程为1，由题意可知M(c，m)，(0，)和B(a,0)三点共线，则，化简得a3c，则C的离心率e.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_14过抛物线C：y22px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则_.15过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则
6、椭圆C的离心率等于_16过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2的切线，切点为E，交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，离心率e，求椭圆的标准方程18(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为yx，且过点(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求.答案13.y21解析：双曲线的焦点坐标为(1,0)，(1,0)，离心率为.设椭圆方程为1(ab0)，则e.因为c1，所以a.所以b1
7、.故所求椭圆的方程为y21.143解析：记|AF|a，|BF|b，准线为l，分别过A，B作AA1l，BB1l，则|AA1|AF|a，|BB1|BF|b，再过B作BMAA1于M.在RtBMA中，ABM30，AMab，ABab，于是ab2(ab)，a3b，故所求为3.15.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.、两式相减并整理得.把已知条件代入上式得，故椭圆的离心率e.16.解析：如图，设双曲线的右焦点为F1，连接OE，PF1.O为FF1的中点，E为PF的中点，OEPF1且|OE|PF1|，|PF1|2|OE|a.|PF|PF1|2a，|PF|3a.又OEFP，FPPF1，(3a)
8、2a24c2，故e.17解：(1)当焦点在x轴上时，设其方程为1(ab0)离心率e，.又a2b2c2，a3b.又椭圆经过点P(3,0)，1，a29，b21.椭圆的标准方程为y21.(2)当焦点在y轴上时，设其方程为1(ab0)同理可得a3b.又椭圆过点P(3,0)，1，b29，a281.椭圆的标准方程为1.综上可知，椭圆的标准方程为y21或1.18解：(1)双曲线的一条渐近线方程为yx，设双曲线的方程为x2y2(0)把点(4，)代入双曲线的方程得42()2，6.所求双曲线的方程为x2y26.(2)由(1)知双曲线的方程为x2y26.c2，不妨令F1(2，0)、F2(2，0)点M在双曲线上，32
9、m26，m23.(23，m)(23，m)(3)2(2)2m2330.19.(12分)如图，已知抛物线C1：x2byb2经过椭圆C2：1(ab0)的两个焦点(1)求椭圆C2的离心率；(2)设点Q(3，b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若QMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程20(12分)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.答案19.解：(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(c,0
10、)，F2(c,0)，所以c2b0b2，即c2b2.由a2b2c22c2，得椭圆C2的离心率e.(2)由(1)可知a22b2，则椭圆C2的方程为1.联立抛物线C1的方程x2byb2得 2y2byb20，解得y或yb(舍去)，所以xb，即M，N.所以QMN的重心坐标为(1,0)因为重心在抛物线C1上，所以12b0b2，得b1.所以a22.所以抛物线C1的方程为x2y1，椭圆C2的方程为y21.20解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段M
11、F1的中点，故4，即b24a，由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|MB|MC|MD|.22(12分)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求l的方程答案21.解：(1)由已知，a2b.又椭圆1(ab0)过点P(，)，故1，解得b21，所以椭圆E的方程是y21.(2)设直线l的方程为yxm(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组得x22mx2m220，方程的判别式为4(2m2)，由0，得2m20，解得m0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.