1、中宁县第一中学2022-2023学年第一学期高二年级线上测试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意）1. 600是数列，的（ ）A. 第20项B. 第24项C. 第25项D. 第30项【答案】B【解析】【分析】根据题意写出数列通项公式，令，解得即可得到答案.【详解】数列通项公式为，令，则，即，解得或（负值舍去），所以600是数列，的第24项.故选：B2. 在等差数列中，若，则A. B. 0C. 1D. 6【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质得到答案.【详解】等差数列中，若，【点睛】本题考查了等差数列性质，属于简单题.3. 下列命题正确的是
2、（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质，对四个选项逐一判断，即可得出正确选项.【详解】若，则，故选项不正确；若，则，故选项不正确；若，则，因为 所以，故选项正确；当，时，才有成立，故选项不正确；故选：【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.4. 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【详解】，故选C.5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意求出，再解即可.【详解】因为关
3、于的不等式的解集为，所以和是的两个根，所以，所以，所以即，即，解得或.故选：A6. 数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为A. 12B. 12或13C. 13D. 14【答案】B【解析】【分析】本题可以先通过数列通项得出数列是等差数列并知道数列的首项，然后得出数列的前项和，然后得出其的最大值【详解】因为，所以数列是一个首项为、公差为的数列所以数列的前项和为由数列的前项和为是一个开口向下的二次函数，且对称轴为可知的值为12或13，故选B【点睛】二次函数在对称轴位置取最值，不过要注意是否能取到对称轴所在的那个点7. 在正项等比数列中，数列的前项之和为A. B. C. D. 【答案】B【解
4、析】【分析】根据等比数列的性质，即可解出答案【详解】故选B【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题8. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【答案】B【解析】【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.9. 若两个等差数列和的前项和之比为，则 （ ）A. B. C. D.
5、 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质直接计算即可.【详解】因为两个等差数列和的前项和之比为，所以令，则.故选：C10. 已知实数xy满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，解得，根据不等式性质求出.【详解】设，则，解得，因为，所以，所以，即.故选：B11. 若数列是等差数列，首项，且，则使数列前n项和的最大自然数n是（ ）A. 405B. 404C. 407D. 406【答案】A【解析】【分析】根据题意分析得到数列的公差，得到，进而得到答案.【详解】因为数列是等差数列，首项，且，所以数列的公差，所以，所以当时，；当时.所以使数列前n项和的最大自然
6、数n是405.故选：A12. 设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，给出下列结论：；值是中最大的；使成立的最大自然数等于198其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出正确利用等比数列的性质及不等式的性质判断出正确利用等比数列的性质判断出错误利用等比数列的性质判断出正确，从而得出结论【详解】解：，又，且，即正确；，即，故错误；由于，而，故有，故错误；中，故正确正确的为，故选：【点睛】本题考查的知识点是等比数列的性质：若则有其中根据已知条件得到，是解答本题的关键，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，
7、共20分）13. 设等比数列的前项和为，若，则_【答案】【解析】【分析】根据等比数列的前项和的性质，可得答案.【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为，所以成等比数列，则，即，解得.故答案为：.14. 数列满足且，则数列的通项公式是_【答案】【解析】【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可.【详解】设，则，又因，所以，则，所以，因为，所以，所以为常数，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.故答案为：15. 已知中，则数列的通项公式是_【答案】【解析】【分析】根据题设递推关系得，应用累乘法求的通项公式即可.详解】由，可得：，又，故答案为：16. 已知为数列的前项和，若，且
8、，则_.【答案】【解析】【分析】求得数列的周期，由此求得.【详解】由题意，数列是周期数列，且周期为4.故答案为：【点睛】本小题主要考查数列的周期性，属于基础题.三、解答题（第17题10分，其他解答题各12分）17. 求解或证明下列各组中两个代数式的大小：（1）已知均为正实数，比较与（2）已知，证明：【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法比较即可；（2）利用作差法并结合即可证明.【小问1详解】由题意得，因为均为正实数，所以，所以，即【小问2详解】由题意得，因为，所以，所以，即18. 已知数列满足，前项和（1）求实数的值及数列的通项公式（2）在等比数列中，是的等差中项，求
9、的前项和为【答案】（1），； （2）【解析】【分析】（1）由数列的通项与前项和的关系，计算求出实数的值和数列的通项公式；（2）设出数列的公比，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，计算出公比，再由等比数列的求和公式，即可求出的前项和.【小问1详解】由题意，在数列中，可得，解得：，当时，当时也成立，；【小问2详解】由题意及（1）得，在等比数列中，是的等差中项， 设公比为，即，解得：，的前项和为：19. 已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn.若a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12.（1）求数列an与bn的通项公式；（2）求数列an+bn的前n项和.【答案】（1
10、）an=2n+1，bn=3n；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，根据a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12，求出，得到数列an与bn的通项公式；（2）根据等差和等比数列的前n项和公式用分组求和法求和.【详解】（1）由a1=b1，a4=b2，则S4-T2=(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2)=a2+a3=12，设等差数列an的公差为d，则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12，所以d=2.所以an=3+2(n-1)=2n+1，设等比数列bn的公比为q，由题意知b2=a4=9，即b2=b1q=3q=9，所以q=3，所以bn=3n.（2）a
11、n+bn=(2n+1)+3n，所以an+bn的前n项和为(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=(3+5+2n+1)+(3+32+3n)= .【点睛】本题考查了等差和等比数列基本量的计算，前项和公式，分组求和法，属于中档题.20. 在数列中，（1）求的通项公式；（2）若，记数列的前n项和为，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据累加法求（），并验证的情况即可；（2）根据裂项相消法直接求和即可.【小问1详解】因为，所以，各式相加，得，所以，当时，满足上式，所以的通项公式为【小问2详解】由（1）知，所以21. 数列中，其中为常数.（1）若成等比数列，求的值；（2）若，求数列的前项和
12、【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可令n1，2，3，解得，再由等比数列中项性质解方程得p值；（2）由已知an+an+1n+1，讨论n为偶数或奇数，结合数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，即可得到所求和【详解】（1）由可得所以，又成等比数列，所以，即，又，故.（2）时，当为偶数时，当为奇数时，综上所述，.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，以及数列的求和方法：并项求和，考查运算能力，属于中档题22. 已知数列，满足（1）证明：为等差数列，并求通项公式；（2）若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求通项公式，于是可求通项公式；（2）根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，求单调性并求其范围即可求的范围.【小问1详解】因为，所以两边同除以得：，即，又因为，所以的首项，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以【小问2详解】由题意知，所以，两式相减得，所以，因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，因为，所以，所以，所以
