1、第二章单元评估卷(二)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1抛物线yax2的准线方程是y1，则a的值为()A4 B4C D.2若椭圆1的焦点在y轴上，则实数m的取值范围是()A. B(0,1)C. D.3已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx4已知双曲线y2x21的离心率为e，且抛物线y22px的焦点坐标为(e2,0)，则p的值为()A2 B4C2 D45已知圆锥曲线mx24y24m的离心率e为方程2x25x20的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为()A1
2、B2C3 D46.如图，过抛物线y23x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则|AB|()A4 B6C8 D107过椭圆C：1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则k的值为()A B.C D8已知椭圆1的左、右顶点分别为A，B，在椭圆上有一个异于点A，B的动点P，若直线PA的斜率为k0，则直线PB的斜率为()A. BCk0 Dk09设F1，F2分别为曲线C1：1的左、右焦点，P是曲线C2：y21与C1的一个交点，则cosF1PF2的值是()A. B.C. D10若点O和
3、点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，)C. D.11如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B.C. D.12已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k等于()A. B.C. D.答案1C2B本题主要考查椭圆的基本概念由题意得3m0,2m10且2m13m，得0m0，b0，C的渐近线方程为yx，故选C.4D由条件知，双曲线的离心率为
4、e，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以2，所以p4.故选D.5C由2x25x20可得x12，x2，又圆锥曲线化为标准方程为1，若e2，则方程表示双曲线，且焦点在x轴上，有一条；若e，则方程表示椭圆，焦点不确定，可有2条故选C.6A本题主要考查抛物线的定义分别过点A，B作AA1，BB1垂直于准线l，垂足分别为A1，B1，由抛物线的定义得|BF|BB1|.|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130.又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，|BF|1，|AB|4，故选A.7C本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用由题意知点B的横坐标是c，
5、故点B的坐标为，则斜率k(1e)，故选C.8B本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算由题设知A(2,0)，B(2,0)设P(x0，y0)(x02)，kPA，kPB.点P在椭圆上，1，y3，kPAkPB.kPAk0，kPB，故选B.9B本题主要考查椭圆和双曲线的定义及余弦定理的应用曲线C1：1与曲线C2：y21的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P为第一象限的交点则|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|.又|F1F2|4，在F1PF2中，由余弦定理可求得cosF1PF2，故选B.10B因为F(2,0)，所以c2，所以a2c2b23，所以a，设P(x，y)，则x
6、，所以(x，y)，(x2，y)，所以x(x2)y2x22xy2x22x1x22x1(x)，因为函数yx22x1在，)上单调递增，所以当x时，ymin32，故的取值范围为32，)故选B.11D设|AF1|m，|AF2|n，依题意有mn4，m2n2|F1F2|212，两式联立，得mn2，所以(nm)2m2n22mn8又nm，所以nm2，故双曲线C2的离心率e.故选D.12D将yk(x2)代入y28x得k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24，抛物线y28x的准线方程为x2，由|FA|2|FB|及抛物线定义得x122(x22)，即x122x2，代入
7、x1x24，整理得xx220，解得x21或x22(舍去)所以x14，5，解得k2，又因为k0，所以k.故选D.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在题中横线上)13已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a_.14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P在侧面ABB1A1内的轨迹为_15已知双曲线1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若()，则|_.16设抛物线M：y22px(p0)的焦点F是双曲线N：1(a0，b0)的右焦点，若M与N的公共弦AB恰好过点F，
8、则双曲线N的离心率e_.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点(1)用p表示|AB|；(2)若3，求这个抛物线的方程18(12分)设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：ykx1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|2，求k的值答案13.14解析：本题主要考查动点的轨迹问题依题意可知点P到点B的距离等于其到直线A1B1的距离，根据抛物线的定
9、义，可知动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过点A的抛物线的一部分中的图象为直线的图象，排除；中B不是抛物线的焦点，排除；中的图象没有过点A，排除.故填.151或5解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中点表示由题意知点F(3,0)为双曲线的右焦点设双曲线1的左焦点为F1，由()，知Q为PF的中点连接PF1，则|.由|4，|6，得|2或10，故|1或5.16.1解析：本题主要考查双曲线、抛物线的焦点抛物线M：y22px(p0)的焦点为F，双曲线N：1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)，c.又公共弦AB恰好过点F，得AB为抛物线M的通径，AB2p，b22acc2a22ac，e22e10
10、，e1或e1(舍去)17解：(1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程是yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x23px0，x1x23p，x1x2，|AB|x1x2p4p.(2)由(1)知x1x2，x1x23p，y1y2x1x2(x1x2)p2，x1x2y1y2p23，解得p24，p2.这个抛物线的方程为y24x.18解：(1)过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可知|PM|PN|，而y0，所以|PN|y，所以y，化简得x22y(y0)为所求的方程(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x22kx20，所以x1x22k，x1x22，|AB|2，所以k43k240，而k
11、20，所以k21，所以k1.19.(12分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y2x2上，l是AB的垂直平分线(1)当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围20(12分)已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆1的右焦点重合(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，都有POQ.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由答案19解：(1)点F在直线l上|FA|FB|A，B两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是x轴的平行线，上述条件
12、等价于y1y2xx(x1x2)(x1x2)0，x1x2，当且仅当x1x20时，直线l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b，依题意，得l的方程为y2xb.则过点A，B的直线方程可写为yxm，联立化简得2x2xm0，x1x2.A，B为抛物线上不同的两点，上述方程的判别式8m0，即m.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0，y0x0mm.又点N在直线l上，mb，于是bm，l在y轴上的截距的取值范围为.20解：(1)椭圆1的右焦点为(4,0)，所以抛物线C的方程为y216x.(2)设点M(a,0)(a0)满足题设，当PQ的斜率存在时，PQ的方程为yk(xa)，则联立k2x22(ak2
13、8)xa2k20，则x1x2，x1x2a2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由POQ得x1x2y1y20，从而x1x2k2(x1a)(x2a)0a216a0a16，若PQ的方程为xa，代入抛物线方程得y4，当POQ时，a4，即a16，所以存在满足条件的点M(16,0)21.(12分)设双曲线C：1(a0，b0)的离心率为e，若直线l：x与两条渐近线相交于P，Q两点，F为右焦点，FPQ为等边三角形(1)求双曲线C的离心率e；(2)若直线yaxb被双曲线C所截得的弦长为，求双曲线C的方程22(12分)已知两定点E(2,0)，F(2,0)，动点P满足0，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点
14、M满足，点M的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)过点D(0，2)作直线l与C交于A，B两点，点N满足(O为原点)，求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程答案21.解：(1)双曲线C的两条渐近线方程为yx，与直线l：x的两交点为P，Q.设直线l交x轴于点M(如图)PFQ为等边三角形，则有|MF|PQ|.c，即，解得ba，c2a，e2.(2)由(1)得双曲线C的方程为1.设直线yaxb与双曲线C的两交点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)把yaxbaxa代入双曲线C的方程，得(a23)x22a2x6a20.则a26，且a23.又x1x2，x1x2，直线yaxb被双曲线C所截得的弦长为，化简整理得13a477a21020.a22或a2，满足a20得k2，所以x1x2，x1x2，因为SOAB|OD|x1x2|x1x2|，所以SOANB2SOAB2|x1x2|2228，令4k23t，则4k2t3(由上可知t0)，SOANB8882，当且仅当t4，即k2时取等号；所以当k，平行四边形OANB面积的最大值为2，此时直线l的方程为yx2.