1、课时作业9椭圆的简单几何性质基础巩固一、选择题1椭圆1的短轴长为()A8 B10C5 D42已知以椭圆的一个焦点和短轴的两个端点为顶点恰好构成正三角形，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.3已知椭圆C1：1，C2：1，则()AC1与C2顶点相同 BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同 DC1与C2焦距相等4“m3”是“椭圆1的离心率为”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知椭圆1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A. B.C. D.二、填空题6在平面直角坐标
2、系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_7过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为_8设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_三、解答题9求椭圆9x225y2225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标10求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到
3、同侧顶点的距离为.能力提升11若椭圆1(ab0)上存在一点M，使得F1MF290(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，求椭圆的离心率e的取值范围()A0， B.，1C0， D.，112将椭圆1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|P2F|P7F|_.13已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质14如图，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆
4、的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程课时作业9椭圆的简单几何性质1解析：椭圆x225y2161，可知焦点在x轴上，b4，所以椭圆x225y2161的短轴长为8.答案：A2解析：由题意，因为椭圆的短轴的两个端点与椭圆的一个焦点构成正三角形，所以3bc,3b2c2，因为a2b2c243c2，所以eca3432.答案：C3解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(23，0)，(0，2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(4,0)，(0，22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42.故选D.答案：D4解析：椭
5、圆x24y2m1的离心率为12，当0m4时，4m212，得m3，当m4时，m4m12，得m163，即“m3”是“椭圆x24y2m1的离心率为12”的充分不必要条件故选A.答案：A5解析：由题意得a2b2a2(ac)2，即c2aca20，即e2e10，解得e152，又e0，故所求的椭圆的离心率为512.故选B.答案：B6. 解析：设椭圆方程为x2a2y2b21，由e22知ca22，故b2a212.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，故a4，所以b28.所以椭圆的方程为x216y281.答案：x216y2817解析：由题意，PF1F2为直角三角形，
6、且F1PF260，所以|PF2|2|PF1|.设|PF1|x，则|PF2|2x，|F1F2|3x，又|F1F2|2c，所以x2c3.即|PF1|2c3，|PF2|4c3.由椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a，所以2c34c32a，即eca33.答案：338解析：由题意得F1F2P90，PF1F245，设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，设点P(c，h)，则c2a2h2b21，h2b2b2c2a2b4a2，所以|h|b2a，RtPF1F2中，tan 451|PF2|F1F2|PF2|2c|h|2cb22aca2c22ac，所以a2c22ac，ca22ca10，所以ca21.答案：219
7、解析：将椭圆的方程化为标准形式，得x225y291，所以a5，b3，则c2594.因此，长轴长2a10，短轴长2b6，离心率eca45，焦点为F1(4,0)和F2(4,0)，顶点为A1(5,0)，A2(5,0)，B1(0，3)，B2(0,3)10解析：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)，因为椭圆过点A(2,0)，所以4a21，a2.因为2a22b，所以b1，所以方程为x24y21.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，因为椭圆过点A(2,0)，所以4b21，所以b2，因为2a22b，所以a4，所以方程为y216x241.综上所述，椭圆的标
8、准方程为x24y21或y216x241.(2)由已知a2c，ac3，所以a23，c3，从而b29，所以所求椭圆的标准方程为x212y291或x29y2121.11解析：方法一设M(x0，y0)，则|x0|a.F1(c,0)，F2(c,0)，MF1(cx0，y0)，MF2(cx0，y0)F1MF290，MF1MF20，x20y20c2.又y20b2b2a2x20，x20y20b2c2a2x20b2，a2)，即c2b2，a2)，c2b2a2c2，c2a212，e22.又0e1，故椭圆的离心率e的取值范围是22，1.方法二设点M的坐标是(x0，y0)，则x20a2y20b21，x20y20c2，消去
9、y0，得x20a2(c2b2)c2.0x20a2，a2(c2b2)c20，a2(c2b2)c2a2.由得c2b2，即c2a2c2，a22c2，e2c2a212.又0e1，e22，1.由得c2b2c2，此式恒成立综上所述，所求椭圆的离心率e的取值范围是22，1.秒杀法设椭圆与y轴的一个交点为P，椭圆上存在一点M，使F1MF290，F1PF290，则cb，c2b2a2c2，c2a212，e22，又e1，椭圆的离心率e的取值范围为22，1.答案：D12解析：由椭圆的对称性及定义易知|P1F|P7F|2a，|P2F|P6F|2a，|P3F|P5F|2a，|P4F|a，所以|P1F|P2F|P3F|P4
10、F|P5F|P6F|P7F|7a，因为a5，所以所求式子的值为35.答案：3513解析：(1)由椭圆C1：x2100y2641可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(6,0)，离心率e35.(2)由题意可得椭圆C2的标准方程为y2100x2641，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e35.14解析：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即bc.所以a2c，eca22.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中，ca2b2，设B(x，y)由AF22F2B(c，b)2(xc，y)，解得x3c2，yb2，即B3c2，b2.将B点坐标代入x2a2y2b21，得94c2a2b24b21，即9c24a2141，解得a23c2.又由AF1AB(c，b)3c2，3b232b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆方程为x23y221.