1、星期六(解答题综合练)2017年_月_日1.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2，C60.(1)求的值；(2)若abab，求ABC的面积.解(1)由正弦定理可设，所以asin A，bsin B，所以.(2)由余弦定理得c2a2b22abcos C，即4a2b2ab(ab)23ab，又abab，所以(ab)23ab40.解得ab4或ab1(舍去).所以SABCabsin C4.2.如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，ACB，点M是棱BC的中点.(1)求证：OM平面ABB1A1；(2)求证：平面ABC1平面A1BC.证明(
2、1)在A1BC中，因为点O是A1C的中点，点M是BC的中点，所以OMA1B.又OM平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，所以OM平面ABB1A1.(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又BC平面ABC，所以CC1BC.又ACB，即BCAC，且CC1，AC平面ACC1A1，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又AC1平面ACC1A1，所以BCAC1.又在正方形ACC1A1中，A1CAC1，且BC，A1C平面A1BC，BCA1CC，所以AC1平面A1BC.又AC1平面ABC1，所以平面ABC1平面A1BC.3.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是一个ABBDl，B
3、的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂直于底面(C不与A，B重合)，且CD可伸缩(当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D处沿DCA运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v，为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中DCB的大小.(1)当变化时，试将货物运行的时间t表示成的函数(用含有v和l的式子)；(2)当t最小时，C点应设计在AB的什么位置？解(1)在BCD中，BCD，B，BDl，BC，CD，ACABBCl，则t.(2)t.令m()，则m()，令m()0得cos .设cos 0，0，则时，m()0；时，m()
4、0，当cos 时，m()有最小值2，此时BCl.答：当BCl时货物运行时间最短.4.如图，已知椭圆C：y21，A、B是四条直线x2，y1所围成矩形的两个顶点.(1)设P是椭圆C上任意一点，若mn，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由.(1)证明易求A(2，1)，B(2，1).设P(x0，y0)，则y1.由mn，得所以(mn)21，即m2n2.故点Q(m，n)在定圆x2y2上.(2)解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则kOAkOB.平方得xx16
5、yy(4x)(4x)，即xx4.因为直线MN的方程为(x2x1)y(y2y1)xx1y2x2y10，所以O到直线MN的距离为d，所以OMN的面积SMNd|x1y2x2y1| 1.故OMN的面积为定值1.5.已知函数f(x)在x0处的切线方程为yx.(1)求实数a的值；(2)若对任意的x(0，2)，都有f(x)成立，求实数k的取值范围；(3)若函数g(x)ln f(x)b的两个零点为x1，x2，试判断g的正负，并说明理由.解(1)由题意得f(x)，因为函数在x0处的切线方程为yx，所以f(0)1，解得a1.(2)由题知f(x)对任意x(0，2)都成立，所以k2xx20，即kx22x对任意x(0，
6、2)都成立，从而k0.不等式整理可得kx22x, 令g(x)x22x，所以g(x)2(x1)(x1)0，解得x1，当x(1，2)时，g(x)0，函数g(x)在(1，2)上单调递增，同理可得函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以kg(x)ming(1)e1，综上所述，实数k的取值范围是0，e1).(3)结论是g0，理由如下：由题意得函数g(x)ln f(x)bln xxb，所以g(x)1，易得函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以要证g0，只需证明1即可.因为x1，x2是函数g(x)的两个零点，所以相减得x2x1ln，不妨令t1, 则x2tx1，则tx1x1ln t，所
7、以x1ln t，x2ln t，即证ln t2，即证(t)ln t20，因为(t)0，所以(t)在(1，)上单调递增，所以(t)(1)0，综上所述，函数g(x)总满足g0成立.6.已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，am和m个正数b1，b2，bm，使a，a1，a2，am，b是等差数列，a，b1，b2，bm，b是等比数列.(1)若m5，求的值；(2)若ba(N*，2)，如果存在n(nN*，6nm)使得an5bn，求的最小值及此时m的值；(3)求证：anbn(nN*，nm).(1)解设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d，q.a3a3d，b3aq3.因为，所以2
8、a52b0，解得4或.(2)解因为aa(m1)d，所以da，从而得anaan.因为aaqm1，所以q，从而得bna.因为an5bn，所以aaa.因为a0，所以1(*).因为，m，nN*，所以1为有理数.要使(*)成立，则必须为有理数.因为nm，所以nm1.若2，则为无理数，不满足条件.同理，3不满足条件.当4时，42.要使2为有理数，则必须为整数.又因为nm，所以仅有2nm1满足条件.所以12，从而解得n15，m29.综上，的最小值为4，此时m为29.(3)证明法一设等比数列a，b1，b2，bm，b设为cn，且cn0，Sn为数列cn的前n项的和.先证：若cn为递增数列，则为递增数列.证明：当n
9、N*时，cn1.因为Sn1Sncn1SnSn，所以，即数列为递增数列.同理可证，若cn为递减数列，则为递减数列.当ba时，q1.当nN*，nm时，.即，即.因为baqm1，bnaqn，d，所以d，即andbn，即anbn.当ba时，0q1.当nN*，nm时，.即.因为0q1，所以.以下同.综上，anbn(nN*，nm).法二设等差数列a，a1，a2，am，b的公差为d，等比数列a，b1，b2，bm，b的公比为q，ba(0，1).由题意得da，qa，所以anandaan，bna.要证anbn(nN*，nm)，只要证1n0(0，1，nN*，nm).构造函数f(x)1x(0，1，0xm1)，则f(x
10、)ln .令f(x)0，解得x0(m1)log.以下证明0log 1.不妨设1，即证明1，即证明ln 10，ln 10.设g()ln 1，h()ln 1(1)，则g()10，h()ln 0，所以函数g()ln 1(1)为减函数，函数h()ln 1(1)为增函数.所以g()g(1)0，h()h(1)0.所以1，从而0log1，所以0x0m1.因为在(0，x0)上f(x)0，函数f(x)在(0，x0)上是增函数；因为在(x0，m1)上f(x)0，函数f(x)在(x0，m1)上是减函数；所以f(x)minf(0)，f(m1)0.所以anbn(nN*，nm).同理，当01时，anbn(nN*，nm).