1、第二章2.12.1.2A级基础巩固一、选择题1已知椭圆1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(D)A4 B5 C7 D8解析由题意知，c2，a2m2，b210m，m210m4，m8.2椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为(A)ABCD解析由题意，得a2c，e.3与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是(B)A1B1C1D1解析椭圆9x24y236的焦点为(0，)，(0，)，b2，a225，故选B4(2018全国文，4)已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(C)ABCD解析由题意得焦点在x轴， a24228， a2， e.故选C5若椭圆1的离心
2、率为，则k的值为(C)A21B21C或21D或21解析当焦点在x轴上时，a29，b24k，c25k，k.当焦点在y轴上时，a24k，b29，c2k5，k21.故选C6(全国文，11)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为(A)ABCD解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.二、填空题7已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为_1或1_.解析椭圆长轴长为18，a9.又两个焦点将长轴
3、三等分，ac2c，c3，b2a2c272.焦点位置不确定，方程为1或1.8已知A(2，)是椭圆1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x4的距离为d，则m_8_，_.解析A(2，)是椭圆1上一点，代入可得：1，解得m8.c2.F(2,0)|AF|.点F到直线x4的距离为d2，.故答案为8，.三、解答题9(2020江苏苏州高二检测)已知椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直(1)求椭圆的离心率；(2)求PF1F2的面积解析(1)由题意可知a249，b224，a7，b2，c2a2b225，c5，e.(2)由椭圆定义|PF1|PF2|2a14，由题意可知在RtPF1F2中有：|PF1
4、|2|PF2|2(2c)2100，2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2(|PF1|2|PF2|2)14210096，|PF1|PF2|48.SPF1F2|PF1|PF2|24.B级素养提升一、选择题1已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(C)A1或1B1C1或1D1或1解析由条件知a6，e，c2，b2a2c232，故选C2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A1By21C1D1解析根据条件可知，且4a4，a，c1，b22，椭圆的方程为1.3(多选题)已知椭圆C的中心
5、为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(AC)A椭圆C的方程为x21B椭圆C的方程为y21C|PQ|DPF2Q的周长为4解析由已知得，2b2，b1，又a2b2c2，解得a23.椭圆方程为x21.如图：|PQ|，PF2Q的周长为4a4.4(多选题)从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则下列说法正确的有(BD)AbcBbcCeDe解析依题意，设P(c，y0)(y00)，则1，y0，P.又A(a,0)，B(0，
6、b)，ABOP，kABkOP，即，bc.设该椭圆的离心率为e，则e2，椭圆的离心率e.故选BD二、填空题5(2018浙江，17)已知点P(0,1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_5_时，点B横坐标的绝对值最大解析如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由于椭圆具有对称性，不妨设点B在第一象限，则xB0，yB0. P(0,1)，2， (xA,1yA)2(xB，yB1) xA2xB，即xA2xB设直线AB：ykx1(k0)将ykx1代入y2m，得(14k2)x28kx44m0.(*) xAxBxB， xB2，当4k，即k时，xB取到最大值2，此时方程(*)化为x22x22m0，
7、xAxB2x，即22m8，解得m5.当点B在其他象限时，同理可解设直线AB：ykx1(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)由P(0,1)，2，得xA2xB由得(14k2)x28kx44m0， xAxBxB，xAxB2x.消去xB，得m1.|xB|2，当|k|时，|xB|max2，此时m5.6椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B当m_1_时，FAB周长最大解析如图，当直线xm过右焦点(1,0)时，FAB的周长最大，m1.三、解答题7(2018北京文，20)已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B(1)求椭圆M的方程；(2)若k
8、1，求|AB|的最大值；(3)设P(2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.解析(1)解：由题意得解得a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)解：设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230，所以x1x2，x1x2.所以|AB| .当m0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.(3)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x3y3，x3y3.直线PA的方程为y(x2)由得(x12)23yx212yx12y3(x12)20.设C(xC，yC)，所以xCx1.所以xCx1.所以y
9、C(xC2).设D(xD，yD)，同理得xD，yD.记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQkDQ4(y1y2x1x2)因为C，D，Q三点共线，所以kCQkDQ0.故y1y2x1x2.所以直线l的斜率k1.8(2019天津理，18)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解析(1)解：设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)解：由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.