1、数学试题第1页（共4页）高二数学参考答案与评分标准一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A2C3B4C5C6D7C8A二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9BCD10AC11ACD12BC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。139.614 415 35；1916 1四、解答题：本题 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）因为
2、 233122xfxxxx，1 分所以(1)1f ，2 分又因为(1)1f，所以所求的切线方程为11(1)yx ，即20 xy4 分（2）()f x 的定义域为(0,)由0()fx，得2x，由0()fx，得2x，6 分故()f x 在(02)，上单调递减，在(2)，上单调递增，8 分所以()f x 存在极小值为11(2)ln2(1ln 2)22f，无极大值10 分18（1）女生全排在一起，把 3 个女生捆绑在一起看做一个元素，再和 5 个男生全排，故有36364320A A 种；3 分（2）女生必须全分开，先排男生，在形成的 6 个空中，插入 3 名女生，故有535614400A A 种；6
3、分（3）男生按固定顺序，从 8 个位置中，任意排 3 个女生，其余的 5 个位置男生按照固定顺序排列，故有38336A 种，9 分（4）三个女生站在前排，五个男生站在后排，故有3535720A A 种.12 分19（1）选，二项式22()nxx的展开式的第1r 项为5222122n rnrrrrrrrnnTCxxCx，因为展开式中第 5 项的系数与第 3 项系数之比为56:3，所以442225623nnCC，数学试题第2页（共4页）则424563nnCC，即 235633nn，解得10n；4 分选，展开式中前三项的系数之和为 201，所以01224(1)2412212012nnnn nCCCn
4、n ，解得10n.4 分选，展开式中第三项为22 4224222324nnnnTC xxC x，所以2402n，解得10n.4 分（2）设第1r 项系数最大，即10 2rrC 最大，即1110101110102222rrrrrrrrCCCC，6 分即1012110121rrrr，解得192233r，8 分又因为 rN，所以7r，10 分即系数最大的项为第 8 项，252815360Tx.12 分20（1）据题意，填写列联表如下：分数不低于 120 分分数不足 120 分合计线上 学习 时间不少于 5 小时301040线上 学习 时间不足 5 小时202040合计5030802 分假设0H：“高
5、三学生的数学成绩与学生线上学习时间没有关系”，222()80(30 2020 10)5.3333.841()()()()40 40 50 30n adbcab cd ac bd4 分故有95%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”6 分（2）因为学生成绩(123 49)XN，所以1237，8 分因为1()(130)()2PXP XP X10.68270.31730.1586522，10 分数学试题第3页（共4页）所以10000.15865158.65159，故全年级本次考试成绩不低于 130 分的同学大约有 159 人12 分21（1）设第一关回答的 4 道题目中恰有 3 道正
6、确为事件 A，第二关回答的 4 道题目全正确为事件 B；第一关回答的 4 道题目都正确为事件 C，第二关回答的 1 道题目正确为事件 D，获得“党史学习优秀奖”为事件 E，根据题意有 E=(AB)(CD)，且 AB 与 CD 互斥，1 分所以()()()P EP ABP CD33444111113()()()2222264C.4 分（2）X 的可能取值为 8，10，16.334411111(8)1()()22216P XC，411(10)()216P X，334111(16)()224P XC，所以 X 的分布列为：X81016P11161161410 分（说明：每个概率 2 分）故11118
7、1()81016161648E X .12 分22（1）函数的定义域为 R，由()exf xax，得()exfxa，当0a时，0a，又因为 e0 x，所以()0fx恒成立，此时()f x 在(1)，上单调递增；当0a 时，由()0fx得，lnxa，由()0fx得，lnxa，（i）当 0ea 时，ln1a ，此时()f x 在(1)，上单调递增；（ii）当ea 时，ln1a ，所以当(1 ln)xa，时，()0fx，当(ln)xa，时，()0fx，此时()f x 在(1 ln)a，上单调递减，在(ln)a ，上单调递增；综上，当ea 时，()f x 在(1)，上单调递增；当ea 时，()f x
8、在(1 ln)a，上单调递减，在(ln)a ，上单调递增；2 分（若只从ea 和ea 讨论，结论正确同样给分）（2）由（1）知，当ea 时，()f x 在(ln)a，上单调递减，在(ln)a ，上单调递增，所以lnxa是函数()f x 的极小值点，因为ea，所以 ln1a ，从而ln(ln)ln(1ln)0eafaaaaa，3 分数学试题第4页（共4页）又因为(0)f 1 0，所以()f x 在(ln)a，上有且仅有一个零点1x，且1(0 ln)xa，4 分又2()eaf aa，令2()()eexg xxx，()2exg xx，()20exgx，所以函数()g x在区间(,)e 上单调递增，且
9、e()20eeeg，即()0g x，所以函数()g x 在(,)e 单调递增，所以2e()()0eeeg xg，所以()0f a，令()ln()eh xxx x，则1()10h xx，所以函数()h x 在(,)e 单调递增，所以()()10eeh xh，所以当ea 时，lnaa，所以()f x 在(ln)a ，上有且仅有一个零点2x，且2(ln)xa a，综上，当ea 时，函数()f x 有两个零点；6 分（3）因为函数()f x 有两个零点1x，2x，所以1212eexxaxax，所以要证121xx，即证122ee1xxa，等价于2112221eeee()xxxxxx，也即12212221ee1()(ee)xxxxxx，即证21212221e1()(e1)xxxxxx（*），8 分不妨设12xx，令012xxt，（*）式等价于22e1(0)(e1)tttt，也即2e1(0)e1tttt，于是只要证2ee10ttt ，10 分令2()ee1(0)ttm ttt，则22221()eeee(1e)22ttttttm tt，又令2()1e(0)2tttt，得211()e022tt，所以)(t在(0)，单调递减，0)0()(t，从而()0m t，()m t 在),0(单调递减，所以()(0)0m tm，即证原不等式成立.12 分
