1、第五节 函数的奇偶性和周期性基础梳理1.定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意xA，都有_，则称函数y=f(x)为奇函数；如果对于任意xA，都有_，则称函数y=f(x)为偶函数2.图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象_；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象_3.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足_，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数_叫做这个函数的周期，所有周期中存在最小的一个正数叫做f(x)的最小正周期f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)关于原点对称关于y轴对称Tf(x+T)=f(x)4.奇(偶
2、)函数有关定义的等价形式：f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=_=_(f(x)0)5.奇(偶)函数有关的结论(1)若一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=_.(2)若函数y=f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)+f(-x)为_函数；f(x)-f(-x)为_函数；f(x)f(-x)为_函数fxf x 010偶奇偶6.函数周期性的相关结论(1)设a是非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：f(x+a)=-f(x)；f(x+a)=；f(x+a)=-；f(x+a)=f(x-a)，则f(x)是周期函数，2|a|是它的一个周期(以上各式中分母均不为零)(2)函数图象
3、的对称性：若f(x+a)=f(b-x)(a、b为常数)在定义域上恒成立，则f(x)的图象关于直线_对称特别地，若f(a+x)=f(a-x)，则函数f(x)关于直线_对称，_时，f(x)为偶函数1f x 1f x a=0 x=a2abx基础达标1.(必修1P39例6改编)有以下函数：f(x)=x2-1；f(x)=x3-2x；f(x)=2|x|-1；f(x)=(x-1)2；f(x)=x4，x-2,2)；f(x)=.其中，奇函数有_，偶函数有_(填序号)2x解析：验证f(-x)与f(x)的关系，可知为奇函数，为偶函数，的定义域不关于原点对称，不满足奇、偶函数定义，故为非奇非偶函数2.(2010泰州调
4、研)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)+f(-2)=2，则f(2)-f(3)=_.3.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数，那么a+b=_.解析：f(x)为R上的奇函数，f(2)-f(3)=-f(2)+f(3)=-f(-2)+f(3)=-2.-213解析：定义域关于原点对称，故a-1+2a=0，则a=，又f(x)为偶函数，故b=0，a+b=13134.下面四个命题：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)其中正确的命题序号为_ 4.解析：错误，比如f(x)=；错误，比如f(
5、x)=；错误，如f(x)=0，x-1,121x1x5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x(0,2)时，f(x)=2x2，则f(2 011)=_.解析：f(x+4)=f(x)，f(x)的最小正周期为4，又f(x)为奇函数，f(2 011)=f(-1+2 012)=f(-1)=-f(1)=-2.-2 经典例题题型一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列各函数的奇偶性1(1)()(1)1xf xxx221(2)()|2|2lgxf xx 2,1(3)()0,|12,1.xxf xxxx 分析：(1)考虑定义域；(2)利用定义域先化简函数；(3)分段讨论解：(1)由0，得定义域
6、为-1,1)，不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数(2)由得定义域为(-1,0)(0,1)这时，f(x)为偶函数11xx2210|2|20 xx 222211()22lgxlgxf xxx 222211()()lgxlgxfxf xxx (3)当x1，f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x)当x1时，f(x)=-x+2，-x-1，f(-x)=-x+2=f(x)当-1x1时，f(x)=0，又-1-x1，f(-x)=f(x)=0.对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x)，f(x)是偶函数 判断下列函数的奇偶性变式1-122,0(1)(),0 xx xf xxx x 22(2)()33f x
7、xx(3)f(x)=x2-|x-a|+2.解析:(1)当x0，则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；当x0时，-x0，则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)对任意x(-，0)(0，+)都有f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数(2)由得x=或x=，函数f(x)的定义域为 ，又对任意的x ，f(x)=0，f(-x)=f(x)=-f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数223030 xx 333333(3)函数f(x)的定义域为R.当a=0时，f(x)=f(-x)，f(x)是偶函数；当a0时，f(a)=a2+2，f(-a)=a2-2|a|+2，f(a)f(-a)，且
8、f(a)+f(-a)=2(a2-|a|+2)，f(x)是非奇非偶函数2172|022a题型二 奇偶性的应用【例2】(1)已知函数f(x)=(a，b，cZ)是奇函数，又f(1)=2，f(2)f(2x)，求x的取值范围21axbxc分析：第(1)小题关键是f(-x)=-f(x)恒成立的应用，即对定义域中任何x都成立，所以-bx+c=-bx-c恒成立，可得c=0；第(2)小题关键是利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)，将f(3x-1)f(2x)转化为f(|3x-1|)f(|2x|)，这样就避免了讨论2211axaxbxcbxc 解：(1)由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c)，c=
9、0.又f(1)=2，得a+1=2b，而f(2)3，得3，解得-1af(2x)，得f(|3x-1|)f(|2x|)，因而有|3x-1|2x|，化简得5x2-6x+10，解得x1.则x的取值范围为(1，+)151,5 已知函数f(x)对一切x、yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)变式2-1解析：(1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称函数f(x)对一切x、yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得f(0)=2f(0)，f(0)=0.再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，f(-x)=-f(x)
10、，f(x)为奇函数(2)f(-3)=a且f(x)为奇函数，f(3)=-f(-3)=-a.又f(x+y)=f(x)+f(y)，x、yR，f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)当x0,2时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 011)题型三 函数周期性及其应用分析：技巧在于通过换元进行转化，求函数f(x)的解析式要利用函数的周期性进行转化，转化到已知区间上
11、，因为只有此时才有函数解析式解：(1)证明：f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x-2,0时，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2，又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2，f(x)=x2+2x.又当x2,4时，x-4-2,0，f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x2,4时，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0，f(2)=0，f(1)=1，f(3)=-1.又f(x)
12、是周期为4的周期函数，f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 011)=0.变式3-1已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0 x1时，f(x)=x，求使f(x)=-的所有x的值1313解析：f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，f(x)的周期为4，当0 x1时，f(x)=x，f(1)=，f(-1)=-，当x=4k-1，kZ时，f(x)=-13131313【例】判断函数f(x)=的奇偶性错解 当x0时，f(-x
13、)=-(-x)2+2(-x)-3=-(x2+2x+3)=-f(x)；当x0时，f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3)=-f(x)函数f(x)是奇函数2223,02,023,0 xxxxxxx正解：f(x)既不是奇函数也不是偶函数易错警示链接高考1.(2010江苏)设f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则a=_.知识准备：1.理解函数奇偶性的定义；2.会用赋值法求解函数问题 解析：方法一：由f(-x)=f(x)-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x)，a=-1.方法二：f(x)为R上的偶函数，可以赋特殊值，故f(-1)=f(1)a=-1.方法三：f(x)=
14、x(ex+ae-x)是由两个函数h(x)=x与g(x)=ex+ae-x相乘而得，又h(x)=x为奇函数，且f(x)为偶函数，则g(x)在R上为奇函数，故g(0)=0a=-1.-12.(2010山东改编)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=_.知识准备：1.知道奇函数的定义及奇函数在原点处有定义时f(0)=0；2.知道要求f(-1)时转化为求f(1)解析：f(x)是定义在R上的奇函数，f(-x)+f(x)=0，当x=0时，f(0)=0，可得b=-1，此时f(x)=2x+2x-1(x0)，f(-1)=-f(1)=-(21+2-1)=-3.-3
