1、浙江省嘉兴市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）参考公式：若事件，互斥，则.若事件，相互独立，则.若事件在一次试验中发生的概率是，则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率.台体的体积公式，其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高.体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.球的表面积公式.球的体积公式，其中表示球的半径.第卷一、选择题1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用并集和补集的概念即可得出答案.【详解】 ， ,又，故选B.2.已知复数为纯虚数（为虚数单
2、位），则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法法则将复数化为一般形式，然后利用该复数为纯虚数可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】，由于该复数为纯虚数，则，解得.故选：A.【点睛】本题考查利用复数的类型求参数，同时也考查了复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】由函数的奇偶性可得，进而计算即可得解.【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.4.已知物
3、体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足：，则该物体在时刻的瞬时速度为（ ）A. 1米/秒B. 2米/秒C. 3米/秒D. 4米/秒【答案】A【解析】【分析】求出关于的导数，令可得【详解】由题意，时，故选：A【点睛】本题考查导数的物理意义，本题属于基础题5.用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题设中的等式，当时，等式的左边为，当时，等式的左边为，即可求解【详解】由题意，可得当时，等式的左边为，当时，等式的左边为，当时，等式的左边为，所以从到时，左边需增加的代数式是，故选A【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，其中解答中
4、熟记数学归纳法的基本形式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题6.在中，则下列向量与相等是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算将用，表示即可.【详解】因为，所以为的中点，所以故选：D【点睛】本题主要考查向量的线性运算及平面向量基本定理，属于基础题.7.已知，随机变量的分布列如下：02则的最大值为（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分布列求出期望，再得方差，根据二次函数性质可得最大值【详解】由已知，时，故选：C【点睛】本题考查简单随机变量的分布列，均值与方差，掌握方差计算方法是解题关键8.某高
5、一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学，其中大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（ ）A. 21种B. 23种C. 25种D. 27种【答案】C【解析】【分析】报考A大学的选择方案有种，报考B大学的选择方案有种，最后利用分步计数原理计算即可得解.【详解】大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，故报考A大学的选择方案有种；大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，故报考B大学的选择方案有种；该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考
6、科目的选择方案有种.故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.9.已知数列中，当时，为定值，则实数的不同的值有（ ）A. 5个B. 5个C. 6个D. 7个【答案】D【解析】【分析】由题可得，求出，再由递推关系去求出即可.【详解】由题可知，若要满足时，恒为定值，则只需满足，故或.当时，解得，从而解得：，或；当时，解得，从而解得：，或；故的不同取值有7个.故选：D【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的计算，考查了学生的运算求解能力.10.设，且，函数.若函数有且仅有两个零点，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】令，则.即时
7、，方程有且仅有两个根.分别画，的图像和，（）的图像，观察得到.【详解】由题意知：方程有且仅有两个根.令，则.即时，方程有且仅有两个根.令 ， ，当时，由图可知，方程有1个或4个根； 当时，由图可知，方程有0个或1个根； 当时，由图可知，方程有0个或1个根； 当时，由图可知，要使方程有2个根，必须满足. 直线与直线的交点横坐标，直线和直线的交点横坐标，直线经过点时，由题可知：，即时，符合题意.综上所述： 时，函数有两个零点.故选B.【点睛】此题的关键是分别以t和x作为自变量，作出，和，（）的图像，先确定，的值，再确定（）的图像，从图像观察得出结论，注意复合函数自变量的转化.第卷二、填空题11.已
8、知复数（其中为虚数单位），则_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由复数除法计算出，可得其共轭复数，再由模的计算公式计算模【详解】由已知，故答案为：；【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数和模的概念，属于基础题12.从1，2，3，4，5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四位数，则这样的四位数共有_个；其中奇数有_个.【答案】 (1). 120 (2). 72【解析】【分析】(1)直接利用排列数公式求解即可；(2)先确定个位数的种数，再确定千位、百位、十位的种数，然后根据分步计数原理直接求解即可.【详解】(1)从1，2，3，4，5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四
9、位数，共有种；(2)第一步，先从1， 3， 5三个数中选一个放个位有种方法；第二步，再从剩余的4个数中选3个放在千位、百位、十位有种方法；根据分步计数原理，可得个.故答案为: 120；72【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，属于基础题.13.设，则_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】令，利用二项展开式通项可求得的值，利用赋值法可得出，即可得解.【详解】二项展开式通项为，令，可得，则令，则.故答案为：；.【点睛】本题考查利用二项展开式求指定项的系数，同时也考查了利用赋值法求项的系数和，考查计算能力，属于中等题.14.袋子里有7个大小相同的小球，其中2个红球，5个白球，从中随机
10、取出2个小球，则取出的都是红球的概率为_；若表示取出的红球的个数，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)求出随机取出2个小球的取法种数和2个小球是红球的种数，根据古典概型计算公式求解即可；(2)确定的所有可能取值，再求出相应的概率，根据均值公式求解即可.【详解】(1) 随机取出2个小球有种取法，取出的2个小球都是红球有1种取法，故取出的都是红球的概率；(2)的所有可能取值为0，1，2，；，所以的分布列为所以.故答案为：；【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算，随机变量的均值的求解，属于基础题.15.已知中，是的中点，且，则_.【答案】【解析】【分析】作出图形，设，用表示A
11、C、AM、MB，在中利用正弦定理即可求得.【详解】如图所示，已知，是的中点，且，设，则，在中，由正弦定理得，解得.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理解三角形、勾股定理，属于基础题.16.已知向量，向量满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，再结合基本不等式即可求出的最小值.【详解】由平行四边形性质可得：，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及基本不等式的应用，属于中档题.17.若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】由得：，设， ，则 在上恒成立，且
12、b为的纵截距，利用，的图像得到当过点A，且与相切时，b有最大值，进而得到答案.【详解】由得：，设， ，则 在上恒成立，且b为的纵截距，易知，在上单调递减，且 ， ，当时， 或，故 在 上单调递增，在上单调递减，且 ， ， ，如图，当过点A，且与相切时，b有最大值，设切点 ，则有 解得： ，故b的最大值为2，故答案为：2.【点睛】此题因含有2个参数，采用分离参数法的话要很繁杂的参数讨论，会给做题增加很大难度，这个时候我们如果把不等式进行一定的变形，使含参数的部分变成一次函数，因为它的图像是一条直线，会比较容易找到需要的位置，使解题过程变的简单.三、解答题18.已知函数（）.（1）求的值；（2）求
13、的最小正周期及单调递增区间.【答案】（1）；（2）最小正周期为；单调增区间为：，.【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦公式、余弦的二倍角公式和辅助角公式将式子化简为，然后代值计算即可；（2）由计算最小正周期，令，解不等式即可得出函数的单调增区间.【详解】（1），；（2），令，的单调增区间为：，.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，考查正弦型函数的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19.如图，四棱锥中，底面，且，是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连结，证明是平行四边形，从而有线线平行得线
14、面平行；（2）取中点，连，易知，证得平面后得面面，过作，证明即为直线与平面所成角，然后解得这个角的正弦即可【详解】解：（1）取中点，连结，.是的中点，且，且，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面.（2）取中点，连，是平行四边形也是矩形，平面，平面，面，面面，过作，连，面，即为直线与平面所成角，在中，由等面积法知：，.【点睛】本题考查证明线面平行，求直线与平面所成的角，证明线面平行的根据是线面平行的判定定理，求直线与平面所成的角关键是作出直线与平面所成的角，为此需要找平面的垂线，这可从线线垂直、线面垂直、面面垂直间的关系去寻找确定20.已知等差数列中，且，成等比数列.(1)求数列的通项公式；
15、(2)若数列满足，求数列前项和.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为，由，成等比数列可得关于的方程，解出后由等差数列的通项公式即可求得；(2)根据条件可得时，再由(1)可求得，再验证的情形，即可求得，利用错位相减法即可求出.【详解】(1)因为，成等比数列，所以，所以，因为，所以，解得，所以.(2)当时，所以，两式相减得，当时，满足上式，所以，由(1)可知，所以，所以，由得，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列，数列通项的求法及错位相减法求和，属于中档题.21.如图，已知抛物线：的焦点为，设点为抛物线上一点，过点作抛物线的切线交其准线于点.（1）求点的坐标（
16、用表示）；（2）直线交抛物线于点（异于点），直线交抛物线于，两点（点在，之间），连结，记，面积分别为，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得切线方程后可得点坐标；（2）写出直线方程与抛物线方程联立求得点坐标，同样写出方程与抛物线方程联立解得坐标，计算为的函数，可令换元后应用基本不等式得最小值【详解】解：（1）由求导，.点处的切线方程为：，准线方程：，代入切线方程得，点.（2），：，联立，得，易知：，联立，得，即，由上知，即，设，则，当且仅当，即时，取到最小值.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查导数的几何意义，本题中采取解析几何的最基
17、本方程，求出直线方程，与抛物线方程联立方程组解得交点坐标最后再计算面积比，求最值22.已知函数，.（为自然对数底数.）（1）求的值域； （2）设，若在区间有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，确定函数的单调性，同时注意时函数值的变化趋势，从而可得函数值域；（2）求导函数，为了确定其正负，设，再求导，观察得需对分类：，通过得出的单调性，结合函数图象得出在存在零点的条件【详解】解：（1），当时，；当时，且，在区间，单调递减，单调递增.时，又，由图可知的值域为.（2），令，则，.当，即时，即在单调递增，又，存在，使得，在区间单调递减，单调递增.又，当时，
18、.故在区间内无零点.当，即时，即在单调递减，又，存在，使得，在区间单调递增，单调递减.又，当时，.故在区间内无零点.当，即时，令，解得，令，解得，即在区间单调递减，单调递增，令，则，当时，解得；当时，解得；在区间单调递增，单调递减.，. 由图可知，只有满足，即时，在有零点.综上所述，.【点睛】本题考查用导数求函数值域，用导数研究函数零点问题，解题关键是分类讨论确定函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力，转化与化归思想，分类讨论思想，难度大，要求高，本题属于困难题解题中要注意我们用导函数的正负确定函数的单调性，而有时导函数的正负（导函数的零点）不明显，又需要对导函数或其中一部分（此时可引入新函数）求导，确定这部分函数的单调性，零点存在性，零点存在时的范围等性质