1、高考资源网（） 您身边的高考专家基本不等式【考点导读】1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。【基础练习】1.“ab0”是“ab0，y0，a0 由0得y-b0 x+y当且仅当，即时，等号成立（2）法一：由，可得， 注意到可得，当且仅当，即时等号成立，代入中得，故的最大值为18法二：，代入中得：解此不等式得下面解法见解法一，下略点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决. 例3设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为(
2、1)，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？分析：首先建立函数模型，再通过基本不等式求其最值，注意等号取得的条件.解：设画面的高为，宽为，则，设纸张面积为，则有，当且仅当时，即时，取最小值，此时，高，宽.如果，则上述等号不能成立.现证函数S()在上单调递增.设,则 因为，又，所以，故在上单调递增,因此对，当时，取得最小值.点拨: 用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解.反馈练习：1.如果正数满足，那
3、么（A），且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值不唯一，且等号成立时的取值不唯一2.函数在上（D ）A.无最大值，有最小值7 B.无最大值，有最小值-1C.有最大值7，有最小值-1 D.有最大值-1，无最小值-13.设a1,且,则的大小关系为mpn 4.已知下列四个结论：若则；若,则；若则；若则。其中正确的是5.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为66.若a是正实数，2a2+3b2=10，则的最大值等于7. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 4 8.若x，y是正数，则的最小值是49.若a、b、c为正实数，且a(a+b+c)+bc=4-2,则
4、2a+b+c的最小值为10.（1）已知：，且：，求证：，并且求等号成立的条件（2）设实数x，y满足y+x2=0，0a1，求证：。解： （1）分析：由已知条件，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有，无法利用，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现型，再行论证证明：等号成立，当且仅当时由以上得即当时等号成立说明：本题是基本题型的变形题在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式要注意灵活运用均值不等式（2） ，0a1 11.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速
5、度v（千米/小时）之间的函数关系为：(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：（）依题意， （）由条件得整理得v289v+16000,即（v25）（v64）0,解得25v64.答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时12.已知a、b为正数，求证：（1）若+1，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+b成立；（2）若对于任何大于1的正数
6、x，恒有ax+b成立，则+1.分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：证明过程中代入条件；由条件变形得出要证的不等式.证明：（1）ax+=a（x1）+1+a2+1+a=（+1）2.+1（b0），（+1）2b.从而ax+b（2）ax+b对于大于1的实数x恒成立，即x1时，ax+minb，而ax+=a（x1）+1+a2+1+a=（+1）2，当且仅当a（x1）=，即x=1+1时取等号.故ax+min=（+1）2.则（+1）2b，即+1.评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除. 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 ) 版权所有高考资源网