1、1 根与系数的关系探究之本质-附“一元二次方程的根与系数的关系教材设计”佛山市教育局教研室 孙治中 纵观历来的文献（包括数学史、教材、杂志等），可以发现我们对根与系数的关系的研究均停留在非常肤浅的阶段，还没有真正触及探究的本质.本文拟在这个方面作一番较为详尽的说明，当然可能也是肤浅的、有偏颇的，但若能对老师们思考并在教学实践中把握教学内容的探究的内涵、形式和过程有稍稍的帮助，就值得了.一、对根与系数的关系的哲学思考 根与系数的关系在中等数学里应该有远远大于通常认识下的教育价值.这是因为：从对事物的一般认识上来说，根与系数反映了结果（根）和原因（原方程）之间的内在联系，并且揭示的是其本质而非形式
2、，即根只与其系数有关，而与方程中的变量是怎样的符号无关.从数学学科的本质和特征来说，数学是最接近哲学的科学，这样的观点可见诸多文献。本文只提出与文中所研究的问题相关的哲学观点。1.唯物辩证法中矛盾的普遍性与特殊性的观点与数学对象的产生是紧密联系的。唯物辩证法认为，世界上的一切事物不但包含矛盾的普遍性，而且包含了矛盾的特殊性。我们认识事物的时候，要遵循从特殊到普遍，再从普遍到特殊的认识秩序。为什么一元一次方程（组）不研究根与系数的关系，而一元二次方程就要研究呢？这是矛盾的因素，是数学发展过程中的矛盾现象。方程的根一定要用系数表示，这是普遍性的规律，一元二次方程如此，一元一次方程、二元方程组等也是
3、一样，就是不定方程的根也离不开系数的影响。方程根的系数表示只与方程的类型有关，每一类方程根的表达式的结构基本上是固定的，这是特殊性的反映。从一元二次方程的根与系数的关系研究，推广到一元 n 次方程的根与系数的关系研究，又一次反映了事物的普遍性。2.我们还要用联系的、发展的、全面的唯物辩证法观点看问题，而不用孤立的、静止的、片面的形而上学观点看问题。虽然数学本身是一门严谨精确的学科，有着旺盛的生命力，但是它的严谨还是相对的。数学要发展，就必须采用唯物辩证法的观点去解决数学问题，这在数学的发展史上是得到了证明的。数学的对象和结构之间可能具有内在的联系，这是事物普遍联系的观点的反映。过去主要直接呈现
4、运算关系，实际上一元二次方程的两个根之间有各种各样的联系，运算关系只是其中的一种，我们应该用发展的、全面的眼光看待这个问题。二、对根与系数的关系的基本研究 对一元二次方程02=+cbxax，若其有实根，不妨令为aacbbx2421+=，2 aacbbx2421=（若无实根，根与系数的关系仍成立，这是后话）.数学通常是研究数学对象及其关系的，那么对一元二次方程的两根自然也会研究它们之间的关系.诸如对数与数之间的比较和运算、数的规律、字母抽象代数的认识，都可以反映这一点.但一元二次方程的根的成对出现，对两个相近对象进行关系研究，其内容更丰富.这两根之间我们会研究什么关系呢？又如何研究呢？从人的认识
5、来说，一般应有哪些思考、研究内容和顺序呢？1.首先我们认为这两个根是两个由符号所描述的图式，对其观察，可以发现它们非常相似，只差一个符号.一方面观察它们之间的结构关系，另一方面启发我们思考一个问题，就是这么相似的两个对象之间，有没有什么内在的联系呢？这是我们想研究根与系数关系的最基本的思考之一.这两个根都是由系数所表达的，每一个根与系数显然都有关系，但这不是通常认为的根与系数的关系.2.这两个根都是数值，对此我们有以下两个与本文问题有关的基本思考：第一，数值之间有大小比较关系.这是容易说明的，不需赘述.第二，数值之间有运算关系.对运算来说，我们应该研究初中阶段学生所学过的各种运算：abxx=+
6、21，aacbxx4221=，acxx=21，acbbacbbxx442221+=，另有两根自身的乘方、开方运算和两根乘方、开方之后的四则运算等，显然都是复杂的.显然，其中每一个运算关系都可以称为“根与系数的关系”.但是，通常我们选取abxx=+21和acxx=21，叫做“根与系数的关系”（确切的说应为“两根运算与系数的关系”）.为什么要这样选取呢？还要选取两个呢？之所以选取这两个为一组，叫做“根与系数的关系”，过去一般认为是习惯和经验.也有人会认为在运算中，它们都是最简单的、有理的和对称的形式，所以都选出来.事实上，我们应该从“自由参数”上来考虑，一元二次方程实际上只有两个自由参数（因为方程
7、可以化为),(02acqabpqpxx=+），取两个不同的关系是恰当的，并且这样的选取组合有多种.选取人们通常认为的“根与系数的关系”abxx=+21和acxx=21为一组，主要基于运算关系的简单性、有理性和对称性（对称是其本质的特征）.另外可以这样思考：在一元二次方程中，解的地位是相同的（哪个为1x 哪个为2x 是你3 的选择）。而在运算中，反映1x 与2x 地位相同的形式或结构，应该是关于1x 与2x 的轮换不变式，也就是“对称”的。符合这个要求的运算中，21xx+和21xx是最简单的，2221xx+等不是最简的。而21xx、21xx 中1x 与2x 的地位是不相同的。从地位上来分析，也应
8、这样选取，这里充满了辩证法。选取这一组，还有一个隐藏着的关系还没被认识，那就是由abxx=+21、acxx=21组成的方程组恰好与原方程等价（最简约的）！如果选取abxx=+21和aacbxx4221=，则它们组成的方程组则与求根公式等价.又由于“差”运算结果的非有理性和非对称性，这一组一般不会被人们认可.其它的选取更没有太大的意义了.注：如果说两根之差可以用两根之和与积表示而不选两根之差，那么我们也可以用两根之和与差表示两根之积，或者用两根之积与差表示两根之和。它们之间的关系是众所周知的，即212212214)()(xxxxxx=+。三、对根与系数的关系研究的价值判断 初中对根与系数关系研究
9、的价值可以从方程本身和它的应用两个方面来理解.1.从方法论上分析，一元二次方程本身的学习可以类比一元一次方程，这样一元二次方程研究到求根公式就可以结束了.但它的特殊之处就是可能有两个根，这样我们有研究它们的关系（简单的关系）的设想.我们可以研究这两个根自身的结构、它们之间的各种关系.而在研究运算关系时，通过对两根进行加、减、乘、除等运算，发现只有两根的和与积是简单的、有理的表达形式，而且具有对称的结构.每一个表达式都是根与系数的关系式，当考虑“自由度”时，需要全取这两个关系式，得到根与系数的关系的“完备”的结论.这不仅得到一个发现，也体现了一种研究问题的态度、思维和方式.2.另一方面它在研究解
10、决与方程的两根有关系的对称型代数式时，可以简化运算，体现了代数变形（变换）的技巧、简单化思想和整体处理的策略.然而在初中阶段，对方程的应用没有那么深入，基本上没有这样的题目能够反映各种应用（从数学本身的发展来说不太合理）.现阶段，对根与系数的关系的研究其教育价值大于应用价值.我们认为，初中深入研究一元二次方程有其必要性，对学生各方面的发展会有较好的促进作用.4 另外，本人对初中和高中教师做了关于根与系数的关系的研究与应用的调查，基本反映是：根与系数的关系是初中应该学习的重要内容，但重要性大多不明确；在初中和高中都有用，但应用范围大多不明确，只有小数教师说在高中解决圆锥曲线的弦的问题时会有用.实
11、际上在解决圆锥曲线的弦的问题时通常会用4)(1(212212xxxxkd+=，这与记住aacbxx4221=用|)1(212xxkd+=相比并没有什么优势.附：“一元二次方程的根与系数的关系教材设计”一元二次方程02=+cbxax)0(a，令它的实根分别为 aacbbx2421+=，aacbbx2422=。数学中看到两个相近的对象，总是希望研究这两个对象之间的内在关系！看一看，想一想：这两个根都是数，你能比较它们的大小吗？当0a时，21xx；当0a时，21xx。想一想，议一议：这两个根都是数，它们之间的运算有哪些？两个数之间有和、差、积、商、平方和、平方差等运算。当它们的值为正的，还有开方之后
12、的以上运算。做一做：请写出它们的和、差、积、商。你能写出它们的平方和、平方差吗？它们之间还有其它运算吗？abxx=+21，aacbxx4221=，acxx=21，acbbacbbxx442221+=，2222214aacbxx=+，2222214aacbbxx=。我们选择一组关系abxx=+21和acxx=21，叫做一元二次方程的根与系数关系。这两个根都是用系数表示的，而且只差一个符号，它们之间有什么关系呢？5 想一想：为什么在以上的运算中只选择这一组呢？直观来看，这一组式子最简单、最本原、有理表达式、轮换对称（即交换1x 与2x，式子不变）。两根的表示符号是一种约定，它们是可以交换的，而在运
13、算中可以交换的只有加法和乘法。这一组关系中的两个式子与原一元二次方程等价（即它们组成方程组，消元后与原来的一元二次方程一样）。例 1已知方程042=+cxx的一根是 3，求另一个根及c 的值。解：设另一根为 p，则有cpp=+3,43。从而有334,34=cp。例 2已知方程012=+xx的两个根分别是1x 与2x，求下列各式的值：（1）2221xx+；（2）2111xx+。解：根据根与系数的关系，知121=+xx，121=xx。（1）3)1(2)1(2)(2212212221=+=+xxxxxx；（2）11111212121=+=+xxxxxx。小结：根与系数的关系反映了根之间的运算与系数的
14、内在联系。以后若能学到一元三次（四次、五次、）方程，它们也存在根与系数的关系。根与系数的关系是处理根之间的关系或对称形代数式求值时的有效工具，也体现了整体处理的思想。初中函数概念的教学及反思 佛山市南海区大沥镇海北中学 成池军 摘要：函数是中学数学的一个重要的、基础的内容，它贯穿于初、高中甚至大学，它对于培养学生抽象的逻辑思维能力有很大的作用，在初中数学中占有很重要的地位。本文是笔者从初中函数概念这节课的教学、听课中得到的反思、体会。先阐述初中函数概念的重要性，再分析函数概念的课堂教学实施，函数概念的形成史，对如何进行这节课的教学谈了自己的见解，剖析了在这节课的课堂教学中存在的问题，对如何上好
15、初中数学由特殊到一般的归纳性的抽象的概念教学课谈了6 自己的体会。关键词：初中数学 函数概念 函数教学 概念教学 正文：一、函数概念在初中课程中的重要性 函数是中学数学的一个重要的、基础的内容，它贯穿于初、高中甚至大学，它对于培养学生抽象的逻辑思维能力有很大的作用，在初、高中数学中占有很重要的地位。从数学知识的纵向连贯性看，函数的概念是头，在它的基础上初中进一步学习了一次函数、反比例函数、二次函数、简单的三角函数，在此基础上，高中进一步学习了指数函数、对数函数、三角函数等（高中对函数做了更严格的定义）。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限
16、和微积分等都与函数知识有直接联系。初中函数还是数学后继发展的基础，为高中数学中各种初等函数的学习，以至高等数学中函数概念及性质的研究也奠定了一定的基础。同时函数知识在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。函数既从客观现实中抽象出来，又超越了千变万化的课题的个性，其内涵极为深刻，外延又极为广泛，所以它既是中学数学的重点，也是一个难点，而所有这些后继学习的函数内容都是建立在函数概念学习基础之上的，因此，初中数学中函数概念是起点，是其它特殊函数及以后数学学习的基础，在初中课程中占据重要的地位，起着重要的作用。二、函数概念课的课堂教学实施
17、（一）引入概念时，设计的情景，选取的例子应有典型性、代表性 函数概念的引入，一般来说有两种处理办法：一种是从一般到特殊，直接给出函数概念，然后举例加以说明；另一种是从特殊到一般，先举一些学生熟悉的特殊例子，通过对这些例子的分析，抽象出其本质属性，然后归纳出定义，初中函数定义的教学应该用由特殊到一般的方法。在北师大版教材八年级上册P150152 的编写中，编者设计了一个情景引入和两个做一做的练习归纳出了函数的概念，其中，情景引入是跟中学生生活相关的一个坐摩天轮的问题，坐在摩天轮上，随着摩天轮的转动，人距离地面的高度 h(米)与时间 t（分）的变化关系是通过图像及表格的形式呈现的，具体、形象，容易
18、让学生理解其中的变量；7 做一做中的练习 1 是用表格的形式让学生填写并理解堆放圆柱形物体时，堆放物体的总数 y 与层数 n 之间的变化关系的；练习 2 是用代数表达式的形式呈现汽车刹车时滑行的距离 s（米）与刹车前汽车的速度 v（千米/小时）之间的变化关系的；三个问题都来源于与学生比较贴近的日常生活，并分别以图像、表格、代数表达式三种形式呈现，既有图像、表格也有代数表达式；既有连续函数，也有间断函数；既有一次函数，也有二次函数；既有“一对一”的，也有“多对一”的对应，内容形式比较丰富，具有典型性、代表性，但还是不够全面，不够完整，缺少了“一对多”不是函数的例子。在平时的教学过程中，发现有些教
19、师在教这个内容时可能是觉得书上这三个问题太难，没有全选这三个作为例子引入，也没有选取有图像、表格、代数表达式这三种形式的例子，而是只选了其中的一种或两种形式的例子，如我听课中发现有教师改用下面的三个问题来引入：问题 1：飞机以每小时 900 公里的速度匀速飞行，飞行的距离为 s（公里），飞行的时间为 t（小时），则用含 t 的关系式表示 s 是 s=_.问题 2：多边形的内角和 s 与边数 n 之间的关系为 s=(n-2)180，试填写下表 边数 n 3 4 5 6 7 内角和 s 问题 3：正方形的边长为 x(cm),面积为 y（cm2），用含 x 的关系式表示 y 为_。这种引入的优点是简
20、单、学生容易做，容易理解接受，缺点是只选用了有解析式和表格的例子，没有图像的例子，不够全面，缺乏典型性、代表性，这样做的老师没有真正理解教材编者的意图，同时对函数概念的形成过程也缺乏了解，教材编写者的用意是想让学生在本节课从函数的三种表现形式中去理解函数的概念。函数概念的形成已经经过了几个世纪的发展演变、归纳，18世纪数学家们注意到了一个变量可以由一个变量和常数以适当形式所呈现，将早期几何观念下的函数概念推广到了代数观念下的函数概念，到了19世纪由于傅里叶发现了某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子或多个式子表示，又把对函数的认识推进到一个新的层次，等到康托尔创立了集合论终于可以用“集合”和
21、“对应”的观点去给函数下定义。到了20世纪40年代,由于物理学研究的需要发现了一种叫Dirac-函数，又有了广义函数的概念。因此,我们有理由相信，随着生产实践和科学自8 身的发展，新的概括材料的出现，函数的概念还会向前发展。虽然，现在我们的数学教学浓缩了数学艰辛的探索历程，但要使学生感受到概念的形成过程,应在学生认知能力水平能达到的前提下尽可能地提供各种有代表性的例子：既要举有解析式的例子，也要举无解析式的例子，既要举连续函数的例子，也要举间断函数的例子，既要举“一对一”“多对一”是函数的例子，也要举“一对多”不是函数的例子，这是必须的，因为它使学生在理解函数概念时，形成一个情景(解析式的、表
22、格的、图形的)，使函数的对应关系得到一个形象的、动态的反映。没有这三种形式的例子的教学，对函数的理解都是残缺的，不利于学生形成正确的函数观，会让学生养成“以偏概全”的毛病，让学生误把变量之间有解析式这一特征抽象概括成函数的本质属性之一。因此，要选用书上情景引入的例子或其它有图像的例子。笔者认为，在归纳出函数概念之前，应增加一个“一对多”的例子,如增加例题4：八(1)班有50名同学,每人都有一个学号，一次体育课，体育老师测验全班的立定跳远，数据如下表：成绩（厘米）115 120 125 130 135 155 165 170 190 210 230 人数 3 5 4 4 5 5 6 8 5 4
23、1 每一种成绩是否对应着一个确定的学号？（二）函数概念的形成要具有程序性 函数与之前学的列代数式、方程、不等式、平面直角坐标系、变量之间的关系等都有关系，因此，在上课前，可以出35题上述方面的内容进行小测。在本节课的教学中，归纳出函数概念形成过程时的情景引入及例题的教学，教师普遍都是采用（1）先由学生独立思考解答；（2）小组交流答案；（3）师生互动，交流答案，互动时每一个问题老师都强调是哪两个变量之间的关系；（4）小组交流，尝试归纳函数的概念；（5）师生协作，完善函数的概念。这充分调动了学生学习的积极性，让学生主动参加到新知识的建构过程中，符合本地的教学特色，是不错的设计。但从课堂实际效果看，
24、学生从具体事例到形成函数概念表现得很困难，尽管老师反复强调每个问题中只涉及两个变量，但学生抽象不出定义来，最后老师只好舍去“麻烦”自导自演，自问自答把函数的概念归纳出来。为什么会出现这种“窘境”，我觉得还是老师“导”得不到位。有了上述的概括性材料后，9 老师不应该把精力放在问题的对应关系的观察及解析式的求解上。这是对学情把握不好所致，学生之前已经学了列代数式、代数式求值、列方程解应用题以及数轴、平面直角坐标系等知识，课前又进行了35题这方面的小测，因此引入的问题及练习题学生都不会感到困难，教师不必在这里花太多时间。学生感到困惑的是老师列举这些问题想向学生传递什么信息?怎么观察材料的异同点?怎样
25、表达所需概括的概念的内容。由几个特殊例子归纳出函数的概念的过程是一个抽象思维的过程，教师帮助学生解决这个抽象思维过程的关键就是要促进学生对数学材料的内化,而促进学生内化的关键是依据学情帮助学生塔建解决问题的“脚手架”，如提问学生：（1）这些问题研究的是几个变量之间的关系?（2）从对应的方式看例4与问题13有何不同?（3）用表格形式归纳，让学生回答或填写。如将上面的问题13与书中的3个问题结合在一起教学，让学生填写如下表格：变量 变量 变 量 间 的 对 应关系 名称 特点 名称 特点 问题一 时间 t 有变化范围，在该范围内变量任取一个值 路程 s 唯一值S=900t(t0)问题二 边数 n
26、有变化范围，在该范围内变量任取一个值 内角和s 唯一值S=(n2)180 问题三 边长 x 有变化范围，在该范围内变量任取一个值 面积 y 唯一值y=x2 问题四 时间 t 有变化范围，在该范围内变量任取一个值 高度 h 唯一值某一点的高度 h与旋转时间 t 问题五 层数 n 有变化范围，在该范围内变量任取一个值 物体总数 y 唯一值物体总数 y 与层数 n 问题六 速度 v 有变化范围，在该范围内变量任取一个值 滑行距离 s 唯一值3002vs=抽象 x 在某一变化范围内,变量任取一个值 y唯一值按 某 个 对 应 法则（4）根据表格内容，说说你给出的函数的定义。最后，师生协作，完善函数的定
27、义，并指出自变量、因变量。（三）巩固、深化函数的概念时应注意知识的发展性。归纳出函数的概念后，要对它进行巩固和深化，并检验学生是否真正理解了概念，对概念的理解是一个不断细化的过程，抽象的概念必须经过具体的应用才能得到深刻的理解，为此，必须让学生做一些有代表性的练习，如：（1）让学生联系实际列举现实生活中符合函数定义的例子，并指出其中的自变量和因变量。10 （2）完成书 P152 的 3 个随堂练习题，并指出其中的自变量和因变量。（3）交换上面问题中两个变量的地位,变量之间的对应关系还满足函数定义吗?解决了上面的问题后，本节课对函数的概念就有了一个彻底的、深刻的认识。（四）小结要注意对重点、难点
28、的概括，更要注重对本节课所用的数学思想方法的总结。课堂小结的方式方法很多，可以是教师概括、归纳、总结；可以是学生畅谈本节课的收获（包括学生互谈、小组互谈、学生向全班学生和老师谈等等）；可以是先学生谈再老师补充等等。本节课知识点不多，可以选择先让学生畅谈，再教师补充的方法。在畅谈这节课的收获时,学生甚至有些老师可能都会只停留在知识的层面上,诸如“一个概念、二个变量、三种表示”，“使我们认识到函数知识的运用非常广泛”之类，挖掘不出本节课所运用的数学思想方法，教师应该在此向学生传授本节课我们运用了归纳的数学思想方法抽象出函数的概念。知识的学习固然重要，但方法更重要，方法是知识,而且是更高级的知识。也
29、许若干年后很多学生忘记了许多的数学知识，这并不重要，这并不等于他们白学，因为数学的思维方式将永远留存在他们的大脑中，他们已经不止一次地运用它解决生产生活中的问题。因此对数学思想方法的提炼比学生学习纯粹的数学知识重要得多，是树人的重要举措。（五）课后作业的布置要有层次性，更要有典型性。课后作业的布置要让不同层次的学生得到不同程度的提升，要符合新课标形式的要求，不宜多，一般 23 题，要有思想性（即有思考意义）、典型性，如本节课可以布置两题，一是书 P153 页第 1 题，二是另外出一题：自编一个本节课没有做过的是函数问题的题目，并写出其中的自变量，因变量。为体现因材施教的教学原则，也可以分层，对
30、成绩较后，学有困难的学生只要求做简单的 A 层次题（如第 1 题），对其他学生要求全部做。这样既注重了因材施教，满足不同层次的学生的要求，又体现了北师大版新课标教材思考性、灵活性的特点。总之，函数概念这个内容，在初中数学乃至以后的数学学习中都经常用到，它关系到学生对后面一次函数、反比例函数、二次函数、简单的三角函数，高中的集合、指数函数、对数函数、三角函数等的学习，因此，上好这节课尤显重要。这节课表面看要求学生学的知识点很少，只有函数这个概念，但通过这节课的学11 习，学生还应学到其它的一些数学知识，如：由特殊到一般的归纳方法抽象出概念的形成过程，数形结合的思想方法、交换变量的地位的正反论证思
31、想（换位思想）等。教师在课堂教学中，除了要让学生真正掌握、理解函数概念外，还应通过本节课让学生明白要真正掌握好、理解好概念，就要注重概念的产生、形成过程。本节课用从特殊到一般的方法归纳出抽象的函数概念，是难点，教师要突破好这一难点，才能让学生真正理解、感悟好这个概念。三、由函数概念教学所想到的 初中数学书中所涉及到的代数方面的概念教学，绝大多数都是采取由特殊到一般进行归纳、抽象概括的方法，如：整式、分式、代数式、一元一次方程、一元二次方程、分式方程等等，在进行这些概念课的教学时，情景引入要新颖，能吸引住学生，选择的例题、练习要有典型性、代表性，由引例、例题进行归纳总结抽象出概念的过程是一个抽象
32、思维的过程，要有程序性，教师要注意归纳、总结的方法，抽象出概念后还要对概念进行巩固和深化。总之，由特殊到一般的概念教学的核心就是归纳、概括。以典型丰富的实例为载体，引导学生展开、观察、分析各事例的属性、抽象概括共同材质属性，归纳出数学概念。在对概念的巩固、深化方面，选取的练习要有典型性、代表性，要起到引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决数学问题时应有的作用。数学概念教学是初中数学教学的重要组成部分，教师要在中学数学概念学习原理的指导下进行中学数学概念的教学。2012.7.15 参考文献：1义务教育课程标准实验教科书八年级上册。北京师范大学出版社出版 2教育界：浅谈新课程改革背景下的初中
33、函数概念教学 作者：苏连丽 2011 年第 16 期 3浅谈新课程理念下初中函数教学 作者：刘瑾强 2010.4.19 4浅谈初中数学概念教学 作者：马建辉、王玉生 2010.1 回归课本构建数学高效课堂佛山市南海区里水镇旗峰中学陈观金摘要：12 600050004000300020001000商业 工业 住宅 用电量（百万千瓦.时）商业 工业 住宅 用电量（百万千瓦.时）AOB中考数学复习进入最后冲刺阶段，很多学生会出现“高原现象”，复习低效或无效，如何使学生尽早回归常态，尽快走出心理高原期，提高复习效率？最有效的方法是回归课本！如何回归课本，使学生复习轻松而愉悦，最大限度提高复习效率是本文
34、探讨的中心。关键词：回归 有效 正文：中考数学复习进入最后冲刺阶段，很多学生会出现“高原现象”，复习低效或无效，如何使学生尽早回归常态，尽快走出心理高原期，提高复习效率？最有效的方法是回归课本！大家知道中考数学的所有考点、所有内容都来源于课本，都离不开课本。课本是考试内容的具体化，是中考命题的主要依据，是解题能力的基本生成点。因此回归课本是数学中考复习中能利用的最有效的资源。一、回归课本，在课本中寻找中考题的“原型”、“影子”，激发学生的复习热情 万变不离其宗。中考内容很多来自于课本，也有些是课本习题的改编题，所以教师在回归课本时适时展示一些近年中考题中的课本题或课本改编题，在课本中寻找中考题
35、的“原型”、“影子”，使学生进一步明确回归课本的重要性，从而激发学生回归课本的动力和欲望，刺激学生认真复习课本。例如 2011 年佛山中题第“19 题：某市 2010 年的用电情况如下图 1：（1）求商业用电量与工业用电量之比是多少？（2）请在图 2 上作出更加直观、清楚反映用电比例情况的条形图。第 20 题：如图，已知 AB 是O 的弦，半径20OAcm=，120AOB=，求 AOB的面积。”13 教师展示以上中考真题，找到在课本中对应的习题，真正让事实说话，学生就能真正认识到复习课本的重要性，产生强大的内驱力，加强回归课本的主动性和积极性，复习的有效性不言而喻了。二、回归课本，再现知识点，
36、夯实基础 标准指出：“重要的数学概念和重要数学思想的学习可以遵循逐渐递进，螺旋上升的原则。”教师在数学复习时要不惜时间放手让学生全面复习课本，查漏补缺，扫清盲点。要指导学生特别重视数学概念、定义、定理、性质、法则、判定等知识的再现，注重对数学概念、定义、定理、性质、法则、判定等基础知识的梳理，大胆让学生去互动交流，熟悉牢固掌握它们。例如，在复习实数的有关概念时，经过整数、分数、有理数、无理数、实数等概念的再现，再由学生去争辩 722 是有理数还是无理数，学生对于有理数、无理数、实数等概念就能更清晰地掌握。回归课本再现数学知识点，学生就能有效地掌握数学基础知识，形成知识网络，夯实数学基础知识。三
37、、回归课本，再现知识生成过程，培养数学能力 标准指出：“让学生经历知识的形成与应用过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心。”数学复习中教师要指导学生认真阅读复习课本，重新理顺知识的生成过程和发展过程，梳理前后学习内容之间的联系与区别，理清和掌握知识的主线，透彻地掌握知识的根。重新理顺知识的生成过程和发展过程后，学生的思维能力、理解能力就能得到有效的培养。例如在复习四边形时，先让学生复习课本，然后让学生去说说平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定等等，让他们交流汇报中梳理先学习什么，后学习什么，它们之
38、间有什么联系，怎样去研究，研究方法上有什么异同等，学生对特殊四边形的定义、性质、判定就能更进一步的理解和掌握。学生解答四边形问题时就能准确地找到解决问题的切入点突破口，特殊四边形类的解答问题就能迎刃而解。实践证明回归课本，让学生充分感受知识的发生、发展，再现知识的生成过程，能使学生主动的获取知识，提高数学素养。四、回归课本，尝试前后知识的整合，提升能力 标准指出：“教学中应当有意识有计划地设计教学活动，引导学生体会14 数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。”数学中的有些重要数学思想方法要经历知识的生成、发展过程才能形成和掌握。以课本为主要载体进行复习就
39、能使学生进一步感悟数学思想方法，进一步巩固各类解题方法，提高解题能力。例如在学生全面复习课本之后教师可抛出一个问题：用什么方法可测量池塘的宽度？让学生讨论与交流，学生就会得出各种各样的解决方法：利用平移、构造全等三角形、构造相似三角形、构造三角形的中位线、构造直角三角形，又如熟悉掌握教材后，让学生根据已有的经验设计“蚂蚁爬行问题”，通过整合，学生探索交流后就能设计出不同的问题：蚂蚁沿长方体的侧面爬行、蚂蚁沿体的侧面爬行、蚂蚁沿爬行圆柱体的侧面爬行、蚂蚁沿圆锥体的侧面爬行等等，学生在回归课本中，尝试整合课本知识并在自主探究与合作交流中提升了数学能力。五、回归课本，改编例题习题，挖掘课本潜力 标准
40、指出：“老师应激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本数学知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验。”同时指出“在教学活动中老师应发扬教学民主，成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者，要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践，要创造性地使用教材，为学生提供丰富多彩的学习素材。”许多中考试题是课本例题习题改编而成的，因此对课本上的例题习题的潜在功能进行挖掘是提高学生解题能力的有效方法，挖掘课本例题习题的潜在功能可以是题目的一题多解，题目结论的应用，条件与结论的互换，变换或培养命题的条件能否得到正确命题等。回归课本时让学生对课本例题习题的改编，
41、学生就会跃跃欲试，激发学生思维的浪花，教师让学生尝试到在改编题目和解答题目中成功的愉悦，不仅能大大地调动学生的复习积极性，还能有效地提高学生的数学能力。例如：改编北师大八下 P16 习题“下面是小明同学解不等式223125+xx的过程：去分母，得2315+xx 移项、合并同类项，得22 x 两边都除以2，得1x 他的解法有错误吗？如果有错误，请你指出错在哪里。”学生可尝试把“不等式问题”改写成“方程问题”或改换“不等号”改成不15 同的不等式等等，学生就会感到新鮮而有趣，再次激发学生的学习兴趣，提高复习效率。六、回归课本再现课本的错题资源，重新挖掘课本的功能 教育专家成尚荣说：“在“出错”“改
42、错”的探究过程中，课堂才是最活的，教学才是最美的，学生的生命才是最有价值的。”在回归课本的过程，教师利用课本中的错题资源，在解决“错题”的过程中进一步梳理知识掌握知识提升方法能力，找出错误的根源，是避免一错再错的高效措施。例如利用北师大八下 P16 习题“下面是小明同学解不等式223125+xx的过程：去分母，得2315+xx 移项、合并同类项，得22 x 两边都除以2，得1r）（当两圆相等时，不存在内切），有了第一小题的基础，可以放手让他们自主探索。（以上是定量研究，反映了数学中用数量描述关系所具有的确定性的思想）（五）、例题探究 例 1、O1 和O2 的半径分别为 3cm 和 4cm，设：
43、（1）O1O2=1cm（2）O1O2=7cm 请问O1 和O2 的位置关系？例 2：定圆 0 的半径是 4cm,动圆 P 的半径是 1cm,设P 和0 相切,那么点P 与点 O 的距离是多少?点 P 可以在什么样的线上运动?目的：渗透了从“数”到“形”和从“形”到“数”的转化过程，培养学生数形结合的数学思想。学生较易遗漏相切中内切或外切，因此也培养学生思维的全面性以及书写的规范性。三、评价什么？怎样评价（六）、归纳小结，自我评价 通过本节的学习，谈谈你的收获。这里的收获当然不仅仅是知识上的收获，更是能力上的提高，数学思想方法的领悟，过程的体验与感受，以及对自身、同伴、教师教学的反思与评价，让大
44、家在学习中评价，在评价中学习。（七）、布置作业，巩固新知 必做题：1、已知O，作一个A，使A 与O 相切。（学生容易漏解）2、P137 知识技能 1 选做题 已知A 和B，作一个C，使C 与它们内切。设计目的：设置必做题，选做题，关注学生的个体差异，使每一个学生都有成功的体验，得到相应的提高与发展，体现课标中“使不同的学生得到不同的发展”这一宗旨。（由于每个学生认知的起点不同、思维方式不同，应允许他们进行多样性思考。）38 （八）、再现知识 名称 交点个数 两圆位置 圆心距与半径的关系 外离 0 一圆在另一圆外部 外切 1 一圆在另一圆外部 d=R+r 相交 2 两圆相交 内切 1 一圆在另一
45、圆内部 d=R-r 内含 0 一圆在另一圆内部 设计目的：通过板书，将知识方法纳入体系。日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神，数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。”以上的教学设计我是基于：不只是注重数学形式层面的教学，而是更重视数学发现层面的教学，即让学生在经历“数学家”解决问题的过程中去理解、去感受一种数学的思想和观念数学化思想。当然，以上只是我的预案，教学是动态生成的，是千姿百态的，需要我们不断地探索、改进。数学是什么?数学可以留下什么?数学可以形成怎样的影响力?答案并不唯一,但我认
46、为:数学课堂不仅仅是让学生学到数学知识,更重要的是应让学生拥有一颗数学的大脑,学会快乐的进行数学思考,学会理性审慎的看待问题,学会科学的研究和分析问题,这才是数学课所要追求的。圆与圆的位置关系的设计始终是基于以上想法展开的：第一、学生学习新知识必须在学生已有知识和经验的基础上自主建构与形成。所以，我一开始提出了三个问题，即复习此节相关的知识点，通过问题解决，以旧引新，提出新的问题，以类比的方法研究圆与圆的位置关系。配合几何画板的动画演示，启发学生思考当初是怎样研究判断直线与圆的位置关系的方法?这种方法是不是同样可以运用到研究圆与圆的位置关系上来?能不能用来判断圆与圆的位置关系?使学生很自然的从
47、直线与圆的的位置关系的判断方法类比到圆与圆的位置关系的判断方法。圆与圆的位置关系在教材中不如之前直线与圆位置关系的应用性广，有关它的题型受教学要求的局限，使教学设计增加了难度，但是运用已学的直线与39 圆的位置关系，用类比的方法去处理圆与圆的位置关系又是一个很好的材料，所以我采用了类比的思想，让学生自主探讨出圆与圆位置关系的判断方法。但在此过程中我更多的关注了结果，很少注意得到结果的过程中能力和思维的锻炼和发展。第二、新的课程标准非常重视学生自主探究，这是学习方式的一次革命，老师的教授过程固然重要，但学生对知识的掌握是在学生自己对知识有体验，有独立的思考和探讨才能成为可能。所谓“学在讲之前，讲
48、在关键处。”学生先有一个对知识的认识过程，老师再在关键处进行讲解，使学生真正完成知识感知、形成和巩固的过程，才是对知识最好的吸收。第三、学生的学习是在教师引导下的有目的的学习，从而教学的过程就是在教师控制下的学生自主学习和探究合作学习的过程，这个过程中的关键点是怎么样有效的控制学生自主学习和合作探究学习的时间和空间，在教学的过程中，我较好的处理了学生学习的空间与时间，既留给学生充分思考与探索的时间与空间，又严格限定时间，由此培养学生思维的敏捷性，提高课堂效率。在初中时，学生已经接触过圆与圆的位置关系，并且掌握得较好，所以理解几何方法水到渠成，容易理解，所花时间较少。北师大版教材中着重强调了几何
49、方法，对代数方法(用方程的思想)没作要求，但代数方法是平面几何问题的深化，它将是以后处理圆锥曲线的基本方法，也是这节课学生自主探究的一部分，所以在之后引导学生探究代数方法，这样的编排是否可行?第四、把解决问题步骤算法化，提前介入算法的思想，有利于后续学习，也有利于学生理清解决问题的思路和规化解决问题的程序。观议课后几个值得反思的问题：1在为什么学中重点只是关注到生活中朴素的圆与圆的的现象，而在这些朴素的生活现象中所蕴含的数学所追求的本质的事物间的内在关系，关注的很少。这样就不可能激发学生对圆自身间关系研究的意识和冲动。2在圆与圆的位置关系研究过程中不能仅仅专注结果（几种位置关系），而是要使学生
50、在此过程中的思维能力得到锻炼和发展。（比如说，几种位置关系的命名完全可以放给学生去尝试定义）。3教材上出现的圆与圆的位置关系只是运动过程中静态条件下出现的结果，40 为了反映数学研究的多样性，对于动态条件下的移动也不可忽视。4工具性知识、方法性知识、技能性知识历来是我们学习数学的一个重点要求。但本节课圆与圆的几种位置关系结果形成过程中，学生画图技能的培养是我们决不能忽视的。我个人认为数学课堂的内涵主要应体现四个方面：一是创新,它是数学课堂的灵魂；二是民主,它是数学课堂的准则；三是合作,它是数学课堂的核心；四是高效,它是数学课堂的目标。数学教育家波利亚指出，只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明
51、过程的话，就应该让合情的猜测占有适当的位置。浅析以观课议课为抓手促数学课变之良策 佛山市南海区狮山镇教育局 董大明 【摘要】本文试从当前数学科教研活动的现状入手，剖析听课评课中存在的问题，明析了有效观课议课的含义，提出了数学教研活动中观课议课有效性的策略，即做好观课前的准备、有效的观课、有效的议课及议课后的总结。【关键词】数学 有效 观课议课 策略【正文】教研是教学中必要的活动，教研的目的就是通过研究和改进课堂教学，提高课堂教学效率，提高教师的教学能力和专业技术水平。一般来说，教师的专业成长需要通过自我反思，同伴互助、专家引领来实现，即，波斯纳所说的“教师成长=经验+反思”；而日常的教研活动正
52、是我们一项必做的功课。可是，很多时候，教研活动都流于了形式，对老师的帮助不大。那么，怎样才能提高教研活动的效益呢？坚持传统的以听评课为主的研究方式，能收到改进课堂教学的明显效果吗？这就需要我们进一步思考：如何改进教研文化，树立“工作本身就是生活”的新观念，使教研变得更有实效？本文试从有效观课议课入手，探求推进中学数学科课程改革的有效策略。一、当前中学数学科的教研现状 自 2002 年开展的课程改革以来，笔者参加了不少的各级各类中小学数学教研活动，即听课评课；通过不断的听课评课，使我了解到：通过十年的课改研究和实践活动，学校能关注全体学生的全面发展，老师们注重了理论学习，教学教研的学习；教学中倡
53、导教学方式、学习方式的多样化，重视以学生为主体，老师为主导的课堂教学。41 然而，面对新一轮课程改革从课程理念到课程目标，从教材内容的选取到知识的呈现方式，从课程结构到课程评价都发生了重大变化，体现出鲜明的时代气息和全新的价值理念，这也对数学教师的知识结构提出了新的更高要求。例如，如何落实义务教育数学课程标准（2011 年版）的要求：由“双基”（基础知识、基本技能）变“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），由“双能”（分析和解决问题的能力）变“四能”（分析问题、解决问题、发现问题和提出问题的能力）。平常的“听课”只是听教师讲或者是师生问答，我们发现：现在的课堂不仅体现在主角正从
54、以教师为中心转向以学生为中心，从讲授为主向多种方式并存，而且课堂上的声音也从一个人发声（教师或一个学生说话）向多个声音同时发出（生与生的同时多向声音）转变，有声的教学和无声的教学（思考、沉默）并存。显然，如果按以往的听课评课方式，目前听课评课中的一些行为是难以跟上时代发展的需要，主要表现在：1、听课方面。听课只写标题；坐在最后面，远离学生，仅听教师讲了什么，不注意观察学生的表现；仅听教学表面的东西，注重授课形式不注重内容。听课随意，接听手机，讲小话。2、评课方面。（1）只听课，不评议。教师们听完课后，便各自拿起手中的笔，在听课评议表的相关栏目中要么画上对号，要么写上 ABCD，然后将表格交上便
55、“大功告成”；甚至有部分老师听到评课就溜走了。（2）评课过程形式化。大多属被动发言，发言者少，旁观者多；为留下活动记录，先说几句好话，然后提一下希望。（3）评课内容表面化。不痛不痒，敷衍了事；如，“这位老师教学目标明确，重点突出，教态自然，语言清晰，板书工整，准备充分，”。只盯住教师在课堂上的行为表现，没有触动课堂上出现的现象背后的教育理念。（4）评课结论两极化。一是虚假、讲好话，做好人的评课方式；二是否定、伤自尊的评课方式。（5）评课效果零散化。主题不集中，缺乏关注焦点，讨论不深入；只从目标、内容、方法、技术手段，教师内在素质、外在表现，方方面面，全方位涉猎。总之，如果按以往的教研方式：一是
56、自己的课进行实践反思，二是对同事和校外其他老师的课进行观摩与研究。听课评课少见上课者与听课者进行互动；过于关注教师，而忽视学生；过于关注教师的课好不好，而忽视教师教学一些共同问题的研究；过于就事论事，而忽视拓展研究；过于着眼当事教师，而忽视教师的共同发展；过于就现象谈现象，就经验谈经验，而忽视理论联系实际；是难以有效迅速提高教师课堂教学水平的。42 苏霍姆林斯基有一个观点：“如果你想教师的劳动能够给教师带来乐趣，使天天上课不至于变成一种单调乏味的义务，那你就应当引导每一位教师走上从事一些研究这条幸福的道路上来”。因此，我认为：要使中学数学教师愿意参与教研、能够参与教研、参与教研不费事、参与教研
57、有收获，把传统的“听课评课”改为“观课议课”会更适合；因为“观课议课”是围绕主题关注焦点，超越现象，深入对话，发现和解决教师专业发展、课堂教学中的问题，更体现教研的内涵；这既可能会解决现实的困难和问题，也可能会引发教师们新的探索和创新。二、有效观课议课的含义 通过学习陈大伟教授有效观课议课一书，让我明白：观课议课是参与者相互提供教学信息，共同收集和感受课堂信息，在充分拥有信息的基础上，围绕共同关心的问题进行对话和反思，以改进课堂教学，促进教师专业发展的一种研修活动。解读了陈大伟教授给出观课议课的含义后，笔者认为：与听课评课比较，“观”是观察的简说，“观”不只是用眼睛看、耳朵听、而且要用心灵感悟
58、和体验，用头脑思考和判断，必须读懂看起来单纯的事件背后所隐藏的复杂性。“议”不是下结论，作判断，而是在“观”所得到的信息基础上，与参与者展开对话、讨论和反思的过程。如果说“评”的过程是写句号的过程，那么“议”的过程则是更多的运用问号质疑、探询和发现的过程。可以说，从“评”到“议”是从鉴定过去的批评性和封闭性转化为面向未来的开放性和创造性。也就是说，观课议课的教研活动就是研讨课堂事实和现象，不针对授课教师，只针对课堂，探讨原因，研究发展变化的可能性和实现条件；对授课者与观课议课者在议课过程中暴露出一时难以解决的问题，可以在下次教研活动做后续研究，求得发展。从这种意义上，听课评课更适合用在需对课堂
59、教学做出评价、分出等级的时候，如，课堂量化考核、优质课评选、教坛新秀等评选的课。三、教研活动中观课议课有效性的策略 如何让观课议课体现出有效性？“以学论教”是观课议课的重要思想，把学生的学习活动和状态作为观课议课的焦点，以学的状态讨论教的状态，通过学生的学来映射和观察教师的教是行之有效的策略。（一）课前的准备 俗话说，留心天下皆学问。观课的教师首先要做好充分的准备，熟悉新课程标准，充分把握教材，了解学生的基本情况，观课时要做到专心、虚心、诚心、细心。了解听课班级学生的基础、智力和班级管理情况，要了解任课教师有关情况，如学识水平，工作态度、教学经历等。了解任课教师所教学科的特点，能达到听懂的目的
60、。了解班级的分组情况，有效的了解小组活动。43 其次，针对这节课在头脑中设计出课堂教学初步方案，粗线条地勾勒出大体的教学框架，以便观课时有个对比；并在观课前要回忆自己曾如何上过这节课内容，有什么困惑与问题，再回忆是否听过这节课，有什么好的教学策略。第三，观课教师要全身心投入，掌握观察要领，作好观课记录（实录、评点、记实），收集好议课的第一手材料便于进行教学点评。观课教师在观课时，不要面面具到，要重点关注一至二个学习小组，重点关注一个纬度。第四，在观课之前，要确定观察目的、观察纬度和研究问题。如，研究小组合作学习时，要明确：在小组合作学习中的观察目的就是了解学生的学习态度、学习方式和学生在小组合
61、作学习中主动探讨问题、合作学习的能力。观察纬度应该是：学生在自主学习中的组内自主学习、组内组间合作和成果展示与评价。研究问题则是教师在小组合作学习中的教学行为，学生的参与度和教学目标的达成度。总之，课前必须明确：走进课室观察什么？讨论问题思考什么、交流什么？这样才可以提高研究的质量和效益。（二）有效的观课 观课的目的是以学生的学习为主要观察对象，发现教学中存在的问题，致力于让所有教师互相观摩教学，直面现有问题，相互坦诚批评，共同商议办法，谋求教学创新，实现共同成长。因此，观课应注意以下几点：尊重学生，以帮助者和共同学习的参与者坐在学生旁边；尊重课堂，不干扰正常教学；尊重教师，成为授课教师的助教
62、。观课中如何收集和利用课堂教学信息呢？首先，课堂上最重要的信息是学生在课堂上学习行为和学习效果的信息，关注和收集学生的课堂学习行为和效果，是观课议课实施“以学论教”，致力有效教学的核心和关键。其次，每位参与者可按观课议课不同的角度或其它任务进行课堂观察，在观课过程中，教师要一边听，一边观察思考（“假如我来执教，我该怎么处理？”），既要看教，又要看学，二者兼顾。同时教师应详尽记录课堂的教学过程，还需主动思考，记下自己的主观感受和零星评析。另外，根据客观事实的记录对数据进行分析；否则，议课时大家会流于表面形式。（三）有效的议课 保罗弗莱雷认为：“没有了对话，就没有了交流；没有了交流，就没有了真正的
63、教育”；因此，平等对话，是议课质量的前提和保障。议课者必须做到：设身处地，同情理解；面向事实，共同探讨；抛弃成见，理解可能。因为议课的对象不是授课的人，也不是课，而是课堂中的现象和事件。只要参与者不置身事外，而是“同在共行”，设身处地站在另外一方的立场将心比心地同情对方，理44 解对方，把授课教师的问题当成自己的问题，共同研究问题、解决问题，在解决问题中共同进步。为了让教师能积极投身到教研活动中去，实现“我参与，我发展”，给参与教研活动的老师有提升的平台，发言的机会；我们尝试通过抽签的方式去力争消灭“南郭”先生，收到了前所未有的效果，具体做法是：1、教师报到时，在小纸条写上“学校和参与者姓名”
64、作为签，放在小箱子里。此外，组织者在观课前要求参与者围绕活动主题有所侧重记录着“听、看、记、思”的内容，以便提出有针对性的议课问题。所提问题，侧重从问题和困难中提出主题；从教学创造和超越中提出主题；从课堂上生成的其他有讨论价值的议课主题；还可对主题进行方向分解：对教材和教学目标的研究、对教法的观察和研究、对学法和学习效果的观察和研究。2、在议课前，组织者应由上课的老师对教学内容、过程、效果做简单反思性说课，一般来说，可以侧重说教学背景（先前学习基础、学生状况、特殊学生、目标任务与分解等）；介绍自己不同常规的教学创新；介绍本课的教学设想和主要的教学活动，提示重点研讨的现象，以及剖析自己的课堂教学
65、得失，有什么想法；让议课老师更有针对性地展开深度研究。3、组织者在开始抽签前还要提出如下要求：（1）凡抽到发言的老师必须围绕活动主题，描述蕴涵困惑或者有学习价值的教学故事，并提出有针对性的问题，且所提到的问题不能重复别人的发言内容。（2）议课老师在提出自己观点时语言要委婉，要采用适当的“话语结构”：“在课堂上，我发现(我注意到)”,“假如你来教”，“假如我来教，我将这样教”，“我这样教，是基于这样的考虑”；不能把课堂上的现象看成教师的缺点和不足，而是当成参与者需要共同面对的困惑和问题；议课者不仅要提出问题，而且要思考如何解决问题，或者提出新的可能，探讨新的可能，使参与者有机会存在多种可能中理解
66、和选择更适合自己的思路和方法。（3）观察从学生出发，关注学生，从学生的行为表现来思考教师行为的合理性，也就是“以学论教”。（4）在“最近可能区”建议。“最近可能区”不仅指教师水平和能力的“最近可能区”，也指其他外在条件的“最近可能区”；其核心是立足实践的实际，给需要建议的教师“跳一跳就能摘到的桃子”。（5）探讨新的可能。教学受多种因素影响和控制，具有发展变化的多种可能，没有唯一，只有多样。探讨和了解教学的更多可能是为了扩大教学的可能性空间，在认识教学的更多可能以后，教师将获得更多的教学选择，从而实现教学活动和教学效果的更优化。45 4、抽出第一位观课教师，描述蕴涵困惑或者有学习价值的教学故事，
67、并提出问题；使议课建立在课堂真实的故事和情境基础上。5、听取授课教师对故事中的困惑和问题的思考和理解，一方面是把执教者背后的教育价值观念揭示出来供大家研究和剖析，另一方面是帮助执教者梳理和澄清背后的教育理想和追求，使参与者梳理出“教育假设”“教学设计”“教的行为”“学的行为”“学的效果”之间的联系。也说是说，让授课者结合备课、上课情况或平时教学情况回答这位老师提出的问题后，让提问者可谈谈自己的看法，其他与会者也可围绕故事和意见，彼此之间相互质询、讨论和交流，以达成对困惑和问题，彼此观念和做法的理解；对实在解决不了的问题，可留待以后进一步研究。其间，议课的组织者可提出以下的话语结构：你确定的观课
68、议课主题对你和其他老师专业成长有什么意义？就相关主题，你有什么特别满意和不满意的地方？有什么问题和困惑需要大家共同讨论？大家就相关主题，观察到什么现象？有什么故事？有什么需要讨论的困惑？请大家对故事和故事中的困惑发表看法。还有没有其他需要共同关心的问题讨论？此外，组织者在议课过程中要及时对讨论的问题和观点进行梳理。6、第一位老师所提出的问题结束后，再抽出第二位老师并让其提出问题，然后重复上述做法 4 和做法 5 的形式，至活动结束。（四）议后总结 在活动结束前 5-10 分钟，应由活动组织者（专家、领导、科组长、备课组长等）对本次活动可取之处进行总述，及总结大家对教学问题达成共识内容及后续研究
69、问题，让每一位参与者都有所得观课议课时常戴“三顶帽子”（黄、黑、绿），从不同的角度理解和发现课堂。1、“黄帽子”：是肯定的。它代表着乐观主义的判断，主要思考的问题是“这样教学的好处是什么？合理性在哪里？积极因素是什么？”“黄帽子”给人阳光灿烂的感觉，“黄帽思维”能帮助我们获得教学信心，积淀教学勇气。2、“黑帽子”：是质疑和否定的。思考的问题是“这样教可能出现的问题是什么？风险有哪些?有什么问题是被我们忽略的？”。“黑帽思维”使我们审慎地对待教育，仔细地权衡教育，在决策和实践时尽可能地追求教育利益最大化和教育损害最小化。3、“绿帽子”是新的发现和选择。着重关注“除了现有方案，还有没有其他更好的选
70、择？我们能不能以其他方式来做这件事？有没有另外的解释？”等问题。“绿帽思维”是“黄帽思维”和“黑帽思维”的延续，是对新思路的探询和发现，具有创造性。46 “三顶帽子”的思维使我们对课堂教学保持开放和审视的态度，它强调在认清“正”（黄帽子）和“反”（黑帽子）的种种可能后，从中寻求新的发现。四、结束语 我们的老师的确很忙，但是，再忙也不能忘了观课、议课，观课、议课应该是我们永恒不变的主旋律。无论是授课者还是观课议课者，都不能满足于每次教研活动的顺利结束；应该立足于每一次活动而放眼于将来，要通过对活动的研究与思考，对自己教学行为背后的观念进行批判、反思、重建，以求得自身教学行为长效的改进，促使自己在
71、教学的最近发展区内成长，从而达成观课议课的有效动态生成，提高课堂教学水平。尊敬的老师们，该行动了！观课、议课不是额外负担，而应是我们的教学常态。只要大家在不断的验证可能的假设，发现新的假设，修正原有的假设，发展教师的教育水平，让教师用更合理有效的教育假设改造自身的教育实践；努力构建提高课堂教学研究有效性的观念体系：读懂课堂（观课）有效交流和讨论（议课）对未来行动思考（计划）进行改进教育教学的实践（行动）；使观课议课成为我们的教学风气！一种教研文化！使中学数学教研活动变得更有实效！参考文献：有效观课议课（陈大伟著，2010 年 4 月天津教育出版社）活用数学思想，提高学生的学习能力 南海区九江镇
72、教育局崔荫辉 摘要：义务教育数学课程标准（2011 版）指出“数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成和蕴含的数学思想方法。”所以，数学的课堂教学不但要对学生进行数学知识的传授，更重要的是运用数学思想方法进行分析问题，解决问题，这才是对学生终身受益的。数学思想是数学知识的精髓，能否灵活运用数学思想来解决数学问题是衡量数学能力和数学素质高低的重要标志。近年来在中考和各类数学竞赛中也特别重视数学思想的考查，足以引起我们的高度重视。本文试图就数学思想的重要性谈起，就数学思想在中学课堂教学中的应用展开论述，以及应用过程中的一些建议等 方面谈谈个人几点做法。47 关键词：数学思想；函数与方程
73、思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想 1.数学思想在中学课堂教学中的重要性。义务教育数学课程标准（2011 版）（以下简称为标准）在“课程基本理念”部分指出，“数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成和蕴含的数学思想方法”；标准在总目标部分指出,“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。由此可见，把“双基”拓展为“四基”，突出了数学思想的重要地位。数学课堂教学不但要对学生进行数学知识的传授，更重要的是运用数学思想方法进行分析问题，解决问题，这才是对学生终身受益的。数学思想是数学知识的精髓，能否灵
74、活运用数学思想来解决数学问题是衡量数学能力和数学素质高低的重要标志。近年来在中考和各类数学竞赛中也特别重视数学思想的考查，足以引起我们的高度重视。在中学数学中，我们常用的数学思想主要有以下几种：函数和方程的思想；数形结合的思想、分类讨论的思想、转化的思想、抽象思想、概括思想、类比思想，符号与模型思想等。本文主要从前四种方法展开详细的论述。2数学思想在中学课堂教学中的应用 2.1 函数和方程的思想 函数与方程都是中学数学中的重要内容，也是解答某些数学问题经常使用的数学思想。函数思想就是用运动、变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题
75、获得解决。方程的思想则是在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系。例 1，在讲述一元二次方程的应用这一节之时，我想学生们展示了如下题目：如图，利用一面墙（墙的长度为 42m），用 80m 长的篱笆围一个矩形场地48 用于养殖鸡苗。（1）篱笆 AB 的长度为多少的时候，矩形场地的面积为 750m2？（2）所围矩形场地的面积为 810m2吗？如果能，求出此时篱笆 AB 的长度，如果不能，请说明理由。（3）要围成的矩形场地的面积最大，求出此时的篱笆 AB 的长度。说明：本题的第（1）问中隐含两个等量关系：AD+A
76、B+BC=42，750ABAD=,教者可以引导学生运用方程思想，设元构方程，通过设篱笆 AB 的长度为 x m，则篱笆的宽度为 402x，然后列出一元二次方程即可求解，第（2）问是考察一元二次方程根的情况，学生也不难解决。第（3）问要解决围成的矩形场地的面积最大时篱笆 AB 的长度，要解决这一问题，关键引导学生由于 AB,AD 都是变量，AB 的变化从而引起矩形面积的变化，涉及变量间关系的就应该想到用函数的方法解决问题了。所以不防设矩形场地的面积为 s，那么 s 与 x 之间就建立了这样一种关系：(40)2xsx=，转化为应用把二次函数的最值问题，这题题目就迎刃而解了。类似这样的题目还有很多，
77、可见，函数和方程的思想在方程，函数的题目中要特别留意。22 数形结合的思想 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象和形象思维结合。通过对图形的认识，数形的转化，可以培养学生思想的灵活性、形象性、使问题化难为易，化抽象为具体。在巩固学习七年级（下）变量间的关系这一课时，我向学生提供了如下题目让孩子们进行讨论交流：例 2已知动点 P 以每秒 2 的速度沿图甲的边框按从 BCDEFA 的路径移动,相应的ABP 的面积 S 与时间 t 之间的关系如图乙中的图象表示.若 AB=6,试回答下列问题：(1)图甲中的 BC 长是多少？(2)图乙中的 a 是多少?(3)图甲中的图形
78、面积的多少?(4)图乙中的 b 是多少?图甲FEDCBA49 说明：这是一条典型的数形结合的题目，如果在解题中没有用到这一数学思想，题目就会无从下手，但如果能读懂两幅图之间的联系，问题就会变得很容易了。先发现点从 B 走到 C 用了 4 秒时间，所以 BC=4X2=8，a=18 6242 =。通过分别求出 CD,EF 即可求出图甲中的图形面积和图乙的 b 值。数形结合的题目几乎是无处不在的，尤其在几何的应用当中，那么在课堂教学中就要注意了。因为此类的题目能考查学生的读图能力，理解题目中隐含的数量关系等，对培养学生的学科素养非常重要。2.3转化的思想 将未知向已知转化，把不熟悉的问题转化为熟悉的
79、问题。把复杂的问题转化为简单的问题。这是一种重要的思想方法。转化有等价转化和不等价转化。下面各举一个例子。例 4如图，Rt ABC 中，AC=8，BC=6，=90C，分别以 AB、BC、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为_（平方单位）.说明：由于阴影部分是不规则的图形，教者在教学过程中就要引导学生转化为规则的图形，只要学生们认真思考，把求阴影部分的面积转化为求 Rt ABC 的面积，那么复杂的阴影部分的面积就变得很容易求解了。例 5已知552=a，443=b，334=c，则a、b、c、的大小关系为：（）A.cba B.bca C.cab D.acb 说明：由于,a b c 的底数不同
80、，指数也不同，这样就不容易比较，如果我们做出如下的转化：555 112(2)a=，()1144433b=，()1133344c=，显然，他们由不同的指数变成了同指数，而435342,故bca，即选 D。可见，运用转化的思想解决问题，往往会使复杂的问题简单化。要掌握这种数学思想，在解题时，学生在做题时就要多思考，找到解决问题的突破口。2.4 分类讨论的思想 一般来说，数学研究对象本质属性的共同点和差异点。将数学对象分为不同50 种类的数学思想叫“分类”的思想。将事物分类，然后对划分的每一类进行研究和求解的方法叫做：“分类讨论”的方法。分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想。由于这种思
81、想能够明显地逻辑特点和能训练人的思维的条理性和概括性。所以在中考试题或各类数学竞赛中有着非常重要的位置。例 3 已知：如图（1）RtOAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为 OB 的中点，OA=6，AB=8，OB=10。点 C 为折线 OAB 上的动点，线段PC 把 RtOAB 分割成两部分。问：点 C 在什么位置时，分割得到的三角形与 RtOAB 相似？(注：在图上画出符合要求的线段 PC，并写出相应的点 C 的坐标)。说明：在做此类题目时，我们要首先要引导学生思考：OAB 是一个直角三角形，要找到一个三角形跟它相似，就必须构造直角三角形，如何能构造到直角三角形，作垂直就可以得到
82、。由于点 C 是一个动点，它的位置具有不确定性，我们可以过点 P 作1PCx 轴得到直角三角形（如图 2），我们也可以过点 P 作2PCy轴得到直角三角形（如图 3），相信这两种情况都比较容易。教者这个时候就要引导学生：还有没有别的情况呢？聪明的同学们一定会想到过点 P 作3PCAB,垂足为点3C，这种做法同样能得易证出 C3PBOA,点3C 的横坐标是 6，根据3BCBPBOBA=,可以求出点3C 纵坐标。教者在教学中要渗透分类讨论的思想的时候，就必须引导学生思考：为什么要分类以及如何分类。由于题目的条件或结论可能出现不唯一的情况，所以我们xyOPBAC1xyOPBA图 2图 3xyOPBA
83、C3图 1 xyOPBAC2 图 451 要对出现的不同情况进行讨论，分类的时候要注意按一定的标准，做得不重复，不遗漏。3数学思想在中学课堂教学中应用的一点建议。数学思想的积极运用是有一定难度的，需要有较为扎实的数学基础知识和长期的锻炼。因此，在平时学习中，同学们应牢固掌握好数学学科的特点，多思考，多跟同学交流，多尝试。以提高解决问题的能力和学科素养。老师在平时的教学中要注意渗透与引导，在循序渐进地，潜移默化地让学生掌握运用数学思想研究题目，这才能切实地提高学生的数学能力，培养学生的素质。这才是以学生发展为本，这才是教育的最终目标所在。参考文献：1.义务教育数学课程标准（2011 版）北京师范
84、大学出版社 2.数学课程标准解读 北京师范大学出版社 3.李铁安、义务教育课程标准（2011 版）案例式解读 4.俞凯、郑飞海：函数思想解决规律型探索题的一把钥匙选自 中学数学教学 5.刘建胜：谈谈“等价转化”的教学选自数学通报 6.丘端立、邹泽民等：中学数学方法论。7.历年佛山市高中阶段招生考试数学科试题 加强数学校本研究，提高数学教师的教学质量 佛山市南海区九江镇儒林初级中学李通【内容摘要】新课程改革活跃了我们的课堂，新的理念，新的课标，新的教材，新的教法，让我 们的老师充满激情，学生充满活力。同时也给老师和同学带来更大52 的挑战。如何在新课标 的理念下加强数学课堂的实效性，作为学校方面
85、就要首先牵头，加强数学校本研究，提高数学教师的教学质量。笔者从通过建立校本教研保障机制，确保研究工作顺利进行谈起，就如何开展数学校本培训，全面优化教师个体教研素质；确定研究的切入点，开辟多样化的校本研究途径，参与数学校本研究后的反思等几方面提出个人的意见。【关键词】校本教研、新课程标准、教学质量、发展能力 【正文】数学校本研究，是以数学教师为研究的主体，理论和专业人员共同参与，以教师个体教研素质的全面优化为基础，以课程实施过程中教师所面对的各种具体问题为对象，以解决这种实际问题为研究目标，以教研制度建设为保障的教研方式。它强调理论指导下的实践性研究，既注重解决实际问题，又注重经验的总结、理论的
86、提升、规律的探索和教师的专业发展，是保证新课程实验向纵深发展的推进策略。数学校本研究是多方位、多角度的，怎样才能使研究更具针对性，才能有效解决数学教学中存在的问题，才能确保新课程背景下的课堂教学不断改革、创新，对此我有如下的看法和体会。一、建立校本教研保障机制，确保研究工作顺利进行。成立数学校本教研责任小组，科组长任组长，备课组长为副组长，课题组组长为骨干成员。从制度、时间、条件、指导督促、交流合作等方面提供有力的支持，努力营造校本教研宽松的环境和开放氛围，创设了一种教师之间互相学习，互相帮助，互相切磋、交流的教研氛围，使学校成为教师成就事业、不断学习和提高的学习型组织。二、开展数学校本培训，
87、全面优化教师个体教研素质。培训要有计划，有步骤，有针对性，过程充实，组织严密，效果显著。我认为可按如下措施进行：1、通过科组、集体备课等活动，开设专题讲座，进行案例分析，沙龙式的交流校本教研心得。53 2、走出去，请进来。组织教师参加各层级的校本教研培训活动，组织教师到校本研究成果显著的学校取经，也请专家到科组进行专题指导。3、构平台，使骨干教师越趋成熟。我们一方面鼓励支持各学科的骨干教师争取成为市、区、镇的教学骨干；一方面可在校内为比较成熟的中青年骨干教师构建起展示的平台，每学期都组织“研究课”、“示范课”、“课题探讨课”、“教学专题研讨会”等，使骨干教师越趋成熟，队伍日趋壮大，教研素质越来
88、越强。4、建桥梁，使滞后的教师迎头赶上。科组创造了很多让教师强素质的机会，通过“拜师结对”等方式，精心做好教师的“传、帮、带”工作。5、坚持以学校实际为出发点，以优化课堂教学为切入口，以提高课堂教学质量和促进教师专业发展为目标开展校本研究。通过行动研究、案例研究等主要方式，促进我校“教、学、研、用”一体化的开展，并及时对研究成果进行交流、提炼。三、选好研究对象和问题，确定研究的切入点。我提倡研究的数学问题来自自己的教学实践。问题不在乎大，在乎精，在乎对于课改的意义和价值。鼓励教师从教材教法、教学设计、教学评价、教育技术、知识过关、分层策略、学习方式、学习态度、学习兴趣、学法指导等方面进行选题，
89、找准研究的切入点，以解决教学中存在的相关实际问题。另外，注重研究的实效性。我们要求教师在研究过程中，不是搞什么创造、发明什么新东西，而是通过探索一些有效的方法提高课堂质量。四、开辟多样化的校本研究途径。数学科开展校本研究我认为可采取如下方式：1、专业引领，把握方向。经常邀请专家与科组教师交流研究情况，倾听专家的意见，明确进一步研究的方向。2、投身科研，提升能力，开展“课题研究”式教研。研究方法包括实验法、调查法、观察法、访谈法、行动研究和案例研究法等。3、互动交流，集思广益，开展“课例研讨”式教研。这种方式的教研，我们围绕三方面进行：一是研究教材的使用和教材的开发。二是研究教学过程和学习方法，
90、尤其是研究课堂教学方法的最优化选择。三是研究教学过程的问题及处理方法。每次听课后，必组织评课活动，评课不仅要评出优点，而且要指出不足54 和今后改进的建议；还要定期就教学中的疑难问题开展集体“会诊”活动，通过共同“会诊”，找出解决疑难、困惑的办法。由于我校重视新理念下的课堂教学研究活动，坚持开展“课例研讨”式教研，故教师的教学基本功、教学能力有明显的提高。4、不拘一格，畅所欲言，开展“沙龙”式教研。利用科组、课题组和集体备课活动，让老师们围绕“问题”畅所欲言，通过不断探索、不断交流、不断反思、不断总结，直至问题的解决。五、开展以书本为本，以课标为纲的校本研究。1、从 2012 年秋起，新的课程
91、标准全面实施，新教材又在悄悄的变化。主要表现在：知识内容的编排体系、逻辑结构变了，一些知识点的教学要求变了，知识的呈现方式变了，重视了过程和方法、情感态度价值观的培养，重视了理论和实践的联系。如，现在八年级下册第四章相似形之前学习几何，都不要求学生有严谨的证明，只是说说理由而已，但几何的入门很重要，不进行严谨规范的教学，会对学生慎密思维的培养，数理清晰的表述带来较大的影响。在教材编排与学生学习出现矛盾的情况下，怎样开展教学？课堂教学的设计、教学方法将如何变化？这有一个值得考虑研究的问题。2、要以科学的态度处理好教材。我认为，现在的数学（特别是几何）实行的是“初一先教，今后再分年段教”的模式，实
92、际上是忽视了遗忘规律和学习知识的系统性，初一蜻蜓点水，初二昙花一现，实在让人感到教了也白教。面对这种编排，我尽量做好对教材的统筹，尽量优化整合好教材。具体操作如下：一是对于课标中已经删掉的，且在新教材中未出现的内容，教学中不再捡回；二是有不同处理方式的内容，一般按照所使用版本教材给出的处理方式进行教学，如果另一种处理方式在使用教材中未出现，但在其他版本教材有出现，而且对学生理解知识、运用知识解决问题可能产生积极影响，则用另一种处理方式告诉学生；三是旧教材有而新教材没有，且升中必考的题型，要补充相关的例题和练习。在备课时，要充分利用多种教学资源的新理念，遵循“用教材教”而不是“教教材”的原则，深
93、入研究现有教材与课标的关系，鼓励教师熟悉各种版本教材内容，取其精华，弃其糟粕，利用自己的教学经验和智慧做好教学设计，达到优化整合传统教材与新教材，传统教法与新课标倡导自主、合作、探究的学习方式的55 目的。力求上的课课堂气氛活跃，基础知识和基本技能得到强化训练，学生的思维得到培养，数学的学科知识体系得以形成。课堂设计，要重视“训练”环节，应把训练贯穿课堂教学的始终，这是由数学学科特点决定的。因为练能巩固知识，掌握技能；练能培养思维，发展能力；练能规范格式，表达严谨；练能提高数学素质。另外，我们的学生还要过独木桥，还要参加升中的选拔考试，还要“应试”不练或者少练行吗？六、开展校本教研的成效。自我
94、校开展校本教研以来，我校数学老师的专业素质发生了巨大的变化，各位老师都积极的投身到数学教研活动中。在次期间，有一个南海区级教育科学“十一五”规划课题顺利结题，有一个南海区级小课题顺利结题和两个小课题通过立项研究。还涌现出一大批的佛山市级，区级骨干教师和学科带头人，教者并把研究所得推广到数学课堂上，切实地提高了课堂的实效和学生的能力。七、参与数学校本研究后的反思。从开始实施数学校本研究以来。我们从新课程标准的解读，中考试题的分析，教材整合,教法研究,学法指导等方面作出了很多大胆的尝试。取得了较好的效果，在这个过程中，我们有如下的反思：1、构建有效、高效的新课堂，首先要更新观念，更新思维，大胆的抛
95、开传统框框，重新思考课堂教学的设计。2、要树立新课堂的质量观。课堂要活，学生参与要多，基础知识落实要好，学生“自主学习”、“合作学习”、“探究学习”应成为培养学生技能、促进学生发展的重要手段，不是为了做秀。3、要认真钻研教材，研究教法和学法。充分发挥集体备课和个人备课的作用，通过集体备课完善个人备课，利用个人备课提升集体备课的质量。一句话，要备好每一节课，上好每一节课。4、挖掘新课标理念下信息技术与课程整合的潜力，让网络进入课堂，让现代教育技术得到更合理更充分的应用。5、将新的理念、新的思维、新的教法、新的学法与传统的课堂教学精髓有机结合起来。传统的教学也有很多好的教学手段和方法，比如说上课即
96、点明课题、展示目标、精讲多练，启发教学等等，我们还要在课堂教学中传存、创新，并将56 它们融入到学生“动手实践，自主探究，合作交流、充分体验”的悦纳和谐新课堂中。6、课堂应有有力的落实基础和技能的手段，譬如尽量设计好练习，让学生多思、精练，做到抓好基础，当堂巩固、教师在练中教，学生在练中学。总之，加强数学校本研究，集中全体数学老师的智慧，在数学领域中各抒己见。所谓“众人拾柴火焰高”。此举必定能提高数学教师的专业水平和教学质量，提高课堂的实效和学生的能力。不断地推广和深化，必定能取得更多的教研成果。培养学生课堂自控力岂止一个控字那么简单 佛山市南海区黄岐初级中学罗晓彤【摘要】教师要善于培养自我，
97、培养理性的约束力，只有先做好这一步，才有基础实施管理学生的措施。并要以“课堂规矩”作底线，才谈得上保障“思想个性”的真正发展，才能真正培养学生课堂学习的自我监控能力。如果在以上的基础上渗透自律文化的感染，我们教师本身更会感觉到一种轻松快意，收获不仅只是学生的。【关键词】自控 规矩 文化 如果我们任由自己认为我们可以控制他人的话，就注定将以失败告终。如果我们费尽心机想去掌控课堂、掌控我们的学生甚至掌控我们的生活，那就代表着我们已经无法控制自我，我们已经丧失了我们为之奋斗的事物：控制权！我们每个人都应该坚信并告诉自己：“我们能够控制的只有我们自己。”在我们的教学工作中对于学生自我监控能力的低下，最
98、糟的情形是有些老师还在不断地争取控制权，而没有意识到他们的战术其实漏洞百出，最后他们的努力就是竹篮打水一场空。一、教师首先要有自控力 控制好课堂，控制好学生，让学生能按老师的意图去学习、听课、做作业。这是老师们普遍的工作愿望。我看过一本好书：好老师可以避免的 20 个课堂错误，该书作者伊丽沙白谈到一个例子：“我遇到过的最伟大的老师巴克女士，我们很荣幸成为她的学生，而且在日后的生活中一直以她为榜样。巴克女士的自我控制能力特别好，不管是在课堂上、咖啡馆里、体育馆内还是在校园里，同时这也对其周围的人起到了很好的榜样作用。她貌似是在试图去控制他人，其实她一直都没有失去对自我的控制，就是这样，她看上去似
99、乎掌控了对所有事物的控制权。凡是上她课的学生都为实现了自我价值、自控、自律以及获得了大量的知识而感到兴奋不已。多年后，我终于意识到巴克夫人之所以看上去似乎掌控了所有事物的理由，就是她牢牢握住她唯一有可能掌控的一样事物：自我。”日常教学工作中，大部分老师特别是班主任，都采取过以下的办法控制不听57 话学生，认为这样的手段会提高学生的自控能力：、大声呵斥。这种控制手段有时真有很奏效的，学生会当场“镇”住。、罚去办公室站。这样做的结果会呈现两个，一个是有的学生因为觉得害怕会听话一些。另一个是有的学生再不当去办公室一回事。经过抽样调查，大凡这样做的的老师都能感觉到自己不是受学生尊重的人、这样做的方法并
100、不是最高效的，但大部分人依然继续做下去，其原因是这些老师都失去了自我，只能靠外在的力量，包括情绪、行政手段来试图控制学生或者说培养学生一定的自控能力。我们需要对自己的教育教学行为进行深入的、理性的分析思考：在思考上，我们要让自己清晰，对他人要有足够的尊重且要有希望他人尊重自己的愿望。要能够意识到互相讨厌会成为师生之间的最大隔阂，会让彼此的心灵距离越来越大。要让每一位学生知道老师是讲原则的但能感受到老师的亲和。严格按规则执行时，老师要学会控制自己的情绪，理性地处理，对任何人保持一致的处理态度，而在处理后要加大功夫去走进学生的内心深处。让学生感觉教师的榜样，而不是行政手段的执行者。要善于发现学生的
101、积极一面，同时进行积极地推进。以上几个问题，我们要反复地对照思考。教师的一言一行都影响着学生，学生自我监控力的培养首先是通过模仿老师的言行而得到的，所以教师要善于培养自我，培养理性的约束力，只有先做好这一步，才有基础实施其他措施。二、指导有效的可操作的”课堂规矩”古语云：无规矩不成方圆。师生关系和谐是一种民主的管理模式，在此基础上，要以“课堂规矩”作底线，才谈得上保障“思想个性”的真正发展，才能真正培养学生课堂学习的自我监控能力。通过实践探索，我得出一个结论：培养学生课堂学习的自我监控力，不要仅仅从学习内容以外去想办法，而要在人文关怀的基础上多从课堂教学内容上下功夫。我以课堂练习定“课堂规矩”
102、为例：课堂练习在一节课中占着很大的时间比例，一个班的学生有不同的程次，课堂练习的安排是否具有科学性直接影响着学习者的心情，从而影响他对将来学习的进程，当学生厌恶这个环节，他就会分心，从而失去自我监控力。我对学生练习的“课堂规矩”是：将练习分为三层，要求学生务必完成 A 层（具体给出由短到长的 3 个完成的时间要求），要求在第 1 和第 2 个时间内完成的同学做 B 层（具体给出由短到长 3 个完成的时间要求），同样要求在第 1 和第 2 个时间内完成的同学做 C 层。这样练习的难易考虑到了学生身心发展这一客观规律，然后在速度上也作了分层的要求。在开始操作时，我强调提醒，做得快的同学争取做 B(
103、或 C)层题，提醒学生“快而准”。从实施的情况看，各层学生变得专注而充满斗志，我强调每位同学按老师制定的“规矩”务必做完 A 层题，告诉同学们完成 A 层题就是第一步成功，这样每位同学都有成就感。长期训练下去，课堂上同学们都没有时间开小差，因为在分层练的“规矩”下，同学们感受到了要求、感受到了约束、感受到了一种集体的学习氛围，更重要的是感受到了“主人翁”的意识，这种无声的策略奇迹般地帮助学生进行课堂学习自我监控，促使他们养成自主学习、自选习题的好习惯。我们反思一下我们传统的课堂练习一刀切，题目容易时，成绩好的同学做完在讲话开小差；58 题目难时，成绩不好的同学想不出来更开小差。我认为，教师制定
104、“课堂规矩”要注意以下三点：1“课堂规矩”要适度，并且要经常用案例来说明其优越性，让学生信服。2“课堂规矩”在一开始实施时，学生还不是很熟悉，容易忘记，教师要耐心地反复强调并时常提醒，尤其是“立场”要鲜明，切不可含糊不清或敷衍了事。3可与学生共同制定“课堂规矩”，这样的“规矩”，学生乐意去执行和维护，强制的“命令”只会让学生压抑，促使部分学生尤其是“问题学生”出现对抗行为，导致师生关系紧张。三、用“文化”来指导学生自控力约束是最扎实一环 培养学生课堂自控力仅靠定规则和老师的榜样作用显然不能做到可持续发展。企业有一句行话：低端企业靠产品，中端企业靠标准，高端企业靠文化。文化就是一种和谐、是一种大
105、气环境、是一种驱动力，一项措施要实施，单纯让对象“被实施”会缺少人性化，不如让其自觉去做，这要让其懂得其中的道理，乐意去接受，企业发展的现象应当能够给予我们教育界一个很好的启示。阿尔卑斯矿泉水价钱高出普通矿泉水十元以上，还能卖得非常好，就是因为经营者为它打造了一个很好的文化背景：一位身患绝症的人在自己最后的日子到处旅游，当他到达阿尔卑斯山脚下时，口渴了，就着阿尔卑斯山的雪水喝了起来，奇迹在这个时候出现了，他的病不仅好了，而且身体还更棒，人们发现这是喝了阿尔卑斯山的水的缘故，消息一传开，阿尔卑斯的水就值钱了，人们趋之若鹜。这是一个故事，正是这个故事，创造了一个神奇，人们愿意相信这水的绝妙。回到我
106、们对学生课堂自控力的培养，我们不是可以常常以“故事”的形式去渗透一些规矩的意义吗？让学生懂得他们应该懂的道理，让这些文化元素象涓涓细流一样流进学生的心灵深处，让他们舒服地感受着，默默地认可，让他们能够从此可以与自己对话：做一名自觉遵守课堂纪律、专注听课接受知识，这样做才是有意义的。并且通过典范的传播作用，做到人人自觉，不是一件快乐的事情吗？！如果我们对学生课堂自控力要求每次都是“控”字当头，那么每次效果都打了 7折、8 折，10 次后就是 2 折、3 折了，20 次后呢？付出了心机，效果却出乎我们的意料，其中是有很深刻的道理的。只是我们埋头去做，埋头往前冲，没有认真地去思考的分析所致而矣。一种
107、文化的打造要坚持不懈地渗透，“强势文化打造强者。”就是这个道理。在自律文化的感染下，我们教师本身也会感觉到一种轻松快意，收获不仅只是学生的。【参考文献】好老师可以避免的 20 个课堂错误，（美）伊丽沙白布鲁瑞克斯，中国青年出版社。2让学生在愉快中享受教育，张万兴，中央民族出版社。3名师优质课堂的效率管理，冯增俊，西南师范大学出版社。数学教学中培养学生创新能力的尝试 佛山市南海区狮城中学吴华清 59 摘要：教育部制定的基础教育课程改革机要（试行）把“以学生发展为本”作为新课程的基本理念。基础教育课程改革的目标：“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、
108、勤于动手，培养学生的创新意识和实践能力”。因此，激发学生的创新意识，培养学生的创新思维，提高学生的创新能力，是数学课堂教学急需解决的问题。本文结合笔者的教学实践，谈谈在数学教学中培养学生创新能力的体会和尝试。关键词：学习兴趣，数学教学，创新能力 江泽民总书记曾经指出：“创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。”随着知识经济时代的来临、九年制义务教育阶段数学教材的改革的进一步深入，如何提高课堂教育教学质量，如何培养学生的创新能力，成为每一个教育工作者都应该关注的一个重要课题。特别是基础教育课程改革机要（试行）把“以学生发展为本”作为新课程的基本理念。让学生在动手实践、自主探索、合作交流的
109、过程中，培养学生的创新意识和创新能力的创新教育已成为数学教学的一个重点。在实际教学过程中对学生创新能力的培养,已引起广大数学教师的高度重视。那么，在数学教学中如何培养学生的创新能力呢？在教学实践中笔者体会到，解决好这一问题的关键是在课堂教学中，有效的激发学生创造性思维的发生机制，引导学生积极思考与探索，从而培养学生的创新能力。笔者在数学教学中有下面一些体会和尝试，与广大同仁商榷。一、具有创新意识的学生的特点。初中生的创新意识是指学生具有做出前所未有的事情的情绪、毅力、良心和对客观事物的正确反映。然而，初中生的创新不同于科学工作者的创新，科学工作者的创新对全人类而言是首创的，而初中生的创新是对自
110、己或者对全班同学而言是首创的。美国教育心理学家托拉斯认为，有创新意识的初中生具有以下特点：从不气馁、自信心强；乐观、幽默；精细地观察事物；听人说话、观察事物、行动专心致志；口头或文字表达能用类比的方法；全神贯注地读书或书写；完成作业后有兴奋的表现；敢于向权威挑战；习惯寻找事物的各种原因；能够从他人交谈中发现问题；在从事创新工作时的忘我状态；能发现问题和与问题相关的各种关系；除了正常的日常生活外，平时都爱研究问题；拥有好奇心，有自己独特的探讨方法和发现方法；能够预测结果，并能正确地加以验证；经常思考事物的新答案与新结果；具有敏锐的观察力和提出问题的能力；学习自己关心的特殊探讨课题；能从多方面探索
111、问题的可能性；能不断地产生新的猜想。二、数学教师的创新意识是培养学生创新能力的首要条件。众所周知，教师是教育、教学活动的组织者和评估者，在教学双边互动过程中，教师起主导作用，所以，要培养学生的创新精神，教师必须先改变自己的教育观念，具有不断创新意识，领会、实践新课程标准“以学生发展为本”的60 基本理念，改变以知识传授为中心的教学思路，以培养学生的创新意识和实践能力为目标，从教学理念到教学方式上，大胆尝试，确立创新性教学思路。1、克服对创新认识上的误解。一提到创新意识，往往想到的是脱离教材而进行的其他活动，如小发现、小制作等等，或者是借助个别问题，让学生任意去胡思乱想，说得离奇，便是创新，走入
112、了另一个极端。其实，每一个合乎情理的小发现，不同寻常的观察角度等等都是创新。一个人对于某一问题的解决是否有创新性，不在于这一问题及其解决是否别人提过，而关键在于这一问题及其解决对于这个人来说是否有所突破。学生也可以创新，也有创新的能力。教师完全能够通过挖掘已有教材，高效地驾驭教材，把与时代发展相适应的新知识、新问题引入课堂，与教材内容有机结合，引导学生再去主动探究、互相交流。让学生掌握更多探讨的方法，了解更多的知识，培养学生的创新能力。2、创设和谐民主的教学氛围。首先，要使学生积极主动地探求知识，发挥创造性思维，必须克服那些课堂上教师是主角，个别学生是配角，大多学生是听众的教学模式。因为这种课
113、堂教学往往过多地发挥教师的主导作用，束缚了学生创造性思维的发展。教师应保留学生自己的空间，尊重学生的爱好、个性和人格，以平等、宽容、友善的态度对待学生，使学生在教育教学过程中能够与教师一起参与教学，做学习的主人；其次，创设课堂上民主氛围，有利于学生之间的多向交流。特别是一些不易解决的问题，让学生在班集体中开展讨论，这是营造创新环境，发扬教学民主环境的表现。在班集体中，学生在轻松环境下，畅所欲言，各抒己见，学生敢于发表独立的见解，或修正他人的想法，或将几个想法组合为一个更佳的想法，从而在学习过程中，培养学生创新能力。3、把激励带进课堂。激励是利用外部诱因调动人的积极性和创造性的过程。把激励带进课
114、堂，就是教师运用语言、体态、暗示、情感、需要等多种激励措施，教师应当充分地鼓励、表扬学生发现问题，提出问题，讨论问题、解决问题，通过质疑、解疑，让学生具备创新思维、创新个性、创新能力。教师运用有感染力的语言，创设情境，激励学生打破自己的思维定势，从独特的角度提出疑问。鼓励学生进行批判性质疑，让学生敢于对教材上的内容质疑，敢于对教师的讲解质疑，能够打破常规，进行批判性质疑，并且勇于实践、验证，寻求解决的途径。三、培养学生创新能力的方法。在初中数学教学中，不仅要树立学生的创新意识和培养学生的创新精神，而且要培养学生的创新思维，更重要的是把学生的创新思维运用到解决新问题中去，进而提高学生的创新能力。
115、学生创新能力的培养不是一蹴而就的，它是一个渐进的、长期的过程。培养学生的创新意识和创新能力，就要让学生在问题探究过程中不拘泥书本、不迷信权威和不墨守成规，在教师适时、适度的指导和帮助下，充分发挥自己的主观能动性，独立思考、大胆探索，积极地提出自己的新观点、新思路和新方法。笔者曾在初中教学中要从以下几个方面培养学生的创新能力进行尝试。61 1、激发学生强烈的求知欲和创新愿望。启发和激励学生浓厚的学习兴趣、强烈的求知欲和创新愿望，是培养学生创新素质的重要前提。学生有了正确、强烈的学习动机后，就会产生迫切的学习愿望，进而能够主动地学习、积极地探索。在数学教学中，教师要把培养学生的创新意识和创新思维作
116、为重要目标，利用学生好奇、好知的心理特征，精心设计教学方案、精心选择典型问题，通过分析和进行新旧知识的铺垫，让学生置身于一种探索问题的情境之中，引导学生用已有知识分析和解决问题。如果有哪个学生在分析问题和解决问题时，发现了一种新的思路和简捷的解法，就要充分肯定和大力表扬，使学生在学习中感到自己智力的力量，体验到创新成功的快乐，从而激发创新兴趣和创新愿望。笔者经常在班级开展“数学之星”活动，每次表扬一名有创新思维方法的学生并命名为班级的“数学之星”。这样做有利于激发学生的创新兴趣和创新愿望，并且能够激发学生的竞争意识。2、培养学生的自学能力。在数学教学中，让学生通过自己的多种感官参与教学的全过程
117、，主动学习知识，进行知识的再创造，是培养创新人才的一条重要途径。在数学教学中如何培养学生的自学能力呢？要增强学生自学的信心。学生在自学过程中，往往会出现困难和挫折，这时，教师就应该运用情感效应，采取客观、积极、激励性的评价，不断增强学生的自学信心，使得学生的自学活动向成功靠近一步。当学生通过自学找到一个新思路或新方法时，老师要及时肯定、表扬。做对一道难题时，老师应鼓励说：“真不简单，你能把这道难题做出来，请再思考，你还有更好的方法吗？”当学生遇到困难时，让他“再动动脑筋，你会做出来的！”这样的评价不是对学生过多地指责，而是善意的引导，有助于增强学生自学的信心。要教给学生自学的方法。学生由于受到
118、知识层次和文化水平的影响，自学活动往往带有很大的盲目性，费时费力，效果并不是很好。教师在学生自学活动的过程中，应该让学生“有法可循”，教给学生正确、简明、合理的方法。笔者针对北师大版数学教材的特点，举办了题为“如何自学数学”的专题讲座，教给学生自学数学的方法，收到较好效果。阅读是学习的主要手段，要学好数学就要读好数学教材。首先，要了解北师大版数学教材的结构特点。一般来说，一本数学教材包括问题的引入（情境）、做一做、议一议、想一想、规律、公式、例题和习题（随堂练习、知识技能、数学理解、问题解决、联系拓广）等主要内容。其次，要了解不同内容目标所要达到的不同要求。数学教材主要是建立和阐述数学概念、解
119、释和运用数学规律、推导和使用数学公式，概念、规律、公式是核心内容，其他内容是帮助我们理解和运用概念、规律、公式来解决数学问题的“桥梁”。再其次，要根据不同的内容选择不同的读书方法。对核心内容要精读、细读、慢读，切实理解它们的实际意义。62 对概念：要逐字逐句地读，弄清每一个字的含义。读完后要想一想，这个概念为什么要提出来？这个概念是怎样建立的？这个概念能解释什么问题？这样读概念，才能深刻理解它。对数学定理：数学定理是数学家经过无数次实验总结出的说明和解决数学问题的结论。读完后要想一想，这个定理的条件是什么？结论是什么？它的使用范围是什么？对公式：数学公式是实际问题的数学表达式。因此，要弄清公式
120、中每一个符号的数学意义。哪些量是常数？哪些量是变量？公式的使用范围是什么？如何利用这个公式来解决有关问题？切忌乱套公式。对“做一做”：在完成问题的过程中思考，在这一问题的解决中，得到什么规律或结论，如果没有这一问题作为铺垫，在寻找这一规律或结论的过程中，能否想到这些问题作为推导依据？对例题：数学教材上的例题是帮助我们运用概念、规律和公式解决数学问题的范例，它具有示范作用。要着重掌握和数学分析问题的方法而不在于例题本身。对于有的例题要找出多种解法，分析和比较各种方法的优劣，要能够做到举一反三。对习题：数学教材上的习题是为了让我们练习使用概念、定理和公式来解决实际问题的。在做习题时要分析题目的条件
121、，如何运用相关知识解决，不能乱套公式。阅读数学教材时，要牢记比记忆更重要的是理解和应用数学知识的能力，特别是数学思想方法的渗透或介绍。在数学学习中，突出数学思想方法的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解。案例：二次函数的图象课前预习提纲 第一组：请在同一个直角坐标系内作出下列二次函数的图象。(1)y=2x (2)y=22 x （3）y=12+x 解：列表（略）描点、连线得 填表：63 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x y=22 x y=12+x 第二组：请在同一个直角坐标系内作出下列二次函数的图象。（1）212yx=（2）21(2)2yx=+、（3）21(2)2yx=（4）21(
122、1)32yx=+解：列表得 x 212yx=21(2)2yx=+21(2)2yx=21(1)32yx=+描点、连线得 填表：抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 212yx=21(2)2yx=+21(2)2yx=21(1)32yx=+二、观察函数212yx=、21(2)2yx=+、21(2)2yx=、21(1)32yx=+的图象，完成下列的练习：1、思考：（1）函数212yx=、21(2)2yx=+、21(2)2yx=、21(1)32yx=+的图象的形状是否一样？64 （2）抛物线21(1)32yx=+能否看成是由抛物线212yx=经过平移得到的？（3）如果能，那么抛物线212yx=经过怎样的平
123、移得到抛物线21(1)32yx=+2、猜想：（1）函数8)4(212+=xy的顶点坐标是 ，对称轴是 （2）抛物线8)4(212+=xy能否看成是由抛物线212yx=经过平移得到的？（3）如 果 能，那 么 抛 物 线212yx=经 过 怎 样 的 平 移 得 到 抛 物 线8)4(212+=xy（4）函数khxay+=2)(的开口方向是 ,顶点坐标是 ，对称轴是 。三、在预习中，你收获了 ；存在的疑惑是 。在此案例中，笔者做到渗透“数形结合”这一数学思想的加强者。数学思想不可能向数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。这一个过程中是从个别到一般，从具体到抽象，从
124、感性到理性，从低级到高级的螺旋上升过程。在数学学习过程中，需要我们教师做一个渗透数学思想方法“过程”的组织者，不断用我们的数学思想方法“崔化”学生的思维、让学生在一次次的“崔化”过程中，不断的积累、不断的感悟、不断的开窍，直到最后的主动应用数学思想方法。3、培养学生的创造性思维。创造性思维是一种主动性、独特性的思维方式，它能突破习惯性思维方式的限制，使人在解决问题过程中，善于提出具有新颖的观点、方法。那么怎样才能更好地培养学生的创造性思维呢？笔者认为应抓住以下几点：（1）利用“一题多解”、“一题多变”和“一法多题”，培养学生的创新思维。一题多解，开阔思路：在数学教学中，经常采用一题多解的题目，
125、鼓励学生多想、善思，引导学生在比较、分析中增强探索性思考力，通过对两个或两类事物进行比较，从而产生思维的悟性和灵感。教师经常注意运用比较分析法，进行长期训练，就能培养学生形成思维的广泛联系、多方比较、深入探索的良好习惯和能力。让学生掌握“异中求同，同中求异”的基本方法，可以更好地发展迁移能力。既可启发思维，优化思维方法，又可提高他们解题时的比较、综合能力。65 一题多变，活跃思维:在数学教学中，从一个中心问题出发向多方向、多角度衍射，提出一些辐射状的系列问题，让学生讨论其各种可能性的正误，可培养学生的创新思维，提高其思维的灵活性。教学中的一题多问、一题多叙、一空多填等类型的题目都有助于培养学生
126、的创新思维，提高学生的思维变通能力。一法多题，举一反三：在数学教学中，只要选好典型题，通过有的放矢的精解和适当的点拨、拓宽，就可以使学生不仅掌握一类题目的解法，而且熟悉一般的解题方法，进而明确只要抓住问题的实质、关键，“以不变应万变”，就能够达到举一反三、触类旁通的目的。在教学中，教师要对学生进行用一种方法解答多个问题的训练，有意识地培养学生归纳和综合应用的能力。要求学生注意收集和整理有关“一题多解”、“一题多变”和“一法多题”方面的问题，并让学生在班上进行讲解，所有学生都可以针对某个问题进行讨论和补充，使它进一步系统和完整。这样做有利于培养学生发散思维和综合思维的能力。（2）引导学生敢于质疑
127、，大胆发表自己的见解，培养学生的创新思维。思维从问题开始。问题是学习的动力，是创新的前提。教师应多鼓励学生大胆质疑，引导学生讨论、争辩，逐渐使学生养成乐于问、善于问的好习惯。在学生提问时，即使他们所提问题有失偏颇，异想天开，教师也不要加以指责，要保护他们好问的积极性，另外，教师要给学生提供寻找问题的方向。问题一般要在以下几个环节上去找：在知识的生长点上找；在知识的衔接点上找；在知识的“怎么样”上找；在知识的“为什么”上找；在知识的应用中去找。笔者经常指定有关的数学教材中的“读一读”阅读材料，要求学生自己阅读，并就此材料各自提出相关问题，在班上进行交流、比较，看谁提出的问题有深度、有新意。在此基
128、础上，教师、学生一起评出最佳问题并加以褒奖，这样做，有利于培养学生阅读、质疑和理解的能力，进而培养学生的创新思维。（3）借助信息技术，培养学生的创新思维。现代信息技术的应用，使学生原先很难得到的直接经验，通过多媒体取得直观感性经验，进而扩大学生的感知时间和空间，有利于发展学生的想象力、观察力和创新思维能力。现代信息技术的运用使学生可以充分发挥各种感官功能，根据自己的需求自主选择、广泛吸纳信息资源；可以根据自己的学习水平能动地选择学习方式和学习方法，体现自主学习的原则；突破了时空的限制，可重复教学过程。如，笔者曾经作过一些尝试，例如，讨论2x=x 的解的个数，学生利用几何画板自己建立模型，设计了
129、各种解决方案，比如利用几何画板画出 y=2x 和 y=x的图象。观察它们交点个数。有同学提出利用 y=2x,与 y=x 的交点来判断，在探求问题的过程中，学生还进而自己发现研究了方程2x=kx 解的情况的方法，并将k 用动态的方式用图象展示出来，利用这些方法得到的解的近似值。上课气氛热66 烈、研究气氛十分浓厚。既激发了学生的学习热情，又调动了学生的创新、探索的积极性，学生自己解决了学习中遇到的各种问题，效果十分明显。4、要培养学生创新能力，就要培养学生的创新人格。人们的价值观念正经历着从重视人的创造物的价值到重视人自身的价值的转变，而对人的品质评价已趋向于提倡人的创造性、开拓型的性格。因此，
130、我们最终应把创新能力的培养落实到学生创新人格的塑造上。创新人格主要表现为：良好的思维品质；独立的个性特征，如质疑精神、不迷信权威、创新意识；优良的意志品质；强烈的求知欲；不竭的进取精神。具有创新人格的学生往往显示出首创性、洞察力强、感觉敏锐、能独立判断、能接纳新经验。凡是有利于创新活动的个性品质，都是创新所需要的，这些个性品质称之为创新个性。创新个性具有相当的完整性和持久性。笔者认为，在数学教学中要保护学生的好奇心，解除学生对错误的恐惧心理，鼓励独创性与多样性，鼓励幻想，鼓励和有创造力的人接触，形成一个有创新意识的集体，塑造学生的创新人格，对学生今后的发展会产生积极的和决定性的影响。21 世纪
131、创新人才的培养是世界教育发展的主流，培养学生的创新能力既关系到学生个人的可持续发展，更是国家和民族发展和进步的需要。虽然创新能力的培养是一个漫长的过程，提高的方法也是多种多样的，以上只是笔者的几点愚见，还存在着很多不足，在今后的教学过程中，笔者将不断思考，继续探究，为培养更具创新能力的人才而不懈努力。参考文献 【1】吴明革 如何培养学生的创新能力 青海教育，2007（11）【2】创造性思维与教学 陈龙安主编（中国轻工业出版社，1999）【3】创新教学探索，兴旺主编，（湖南教育出版社出版，2000）关注动态生成，打造高效课堂 例谈数学课堂“动态生成”资源的促进策略 佛山市三水区西南街道第四中学王
132、粤冀 摘 要 新课程背景下的课堂教学过程应该是生动的、充满活力的,课堂的活力来自学生动态的发展,教师必须紧紧抓住课堂教学中“动态生成”的因素,用动态生成的观念,赋予数学课堂生命的活力。本文着重通过具体案例来说明，目的在于使课堂教学更加有效、高效，更具灵动、和谐。67 关键词动态生成 促进策略 高效课堂 正文 笔者从教八年以来经常会遇到这样的情景：精心设计的一节课，原想着学生会顺着自己的设计思路，很顺利地在课堂教学中予以实施，但事实却并不是这样，往往会因为学生的一些出乎意料的想法或问题，而使教学偏离了预设的轨道。相信不少教师都有过这样的经历，有的教师为了完成所谓的“知识教学任务”,按预定的教案教
133、学,千方百计地把学生拉到自己的教学思路中来,决不允许学生出“格”这样的课很难焕发生命的活力。笔者认为，数学课堂应有效地利用课堂中的动态生成资源，激发数学课堂的生命活力,达到预设与生成的和谐统一,进而提高课堂教学效率。教育家布鲁姆说过:“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围.没有预料不到的成果,教学也就不能成为一种艺术了.”新课程背景下的课堂教学过程应该是生动的、充满活力的,课堂的活力来自学生动态的发展,教师必须紧紧抓住课堂教学中“动态生成”的因素,用动态生成的观念,赋予数学课堂生命的活力,数学课堂教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的动态过程。它应该突破“预设”的禁锢,变“预设”为“生成与
134、建构”,积极引导学生经历数学的“再创造”过程,使学生在参与和体会“问题解决”的过程中,既长知识,又长智慧,让学生在“生成”中建构属于自己的认知结构,真正促进学生的终身可持续发展。本文以真实的课堂教学案例来说明，目的在于使课堂教学更加有效、高效，更具灵动、和谐。策略一：抓“意外”促生成，让课堂教学更有效 教学活动是个动态的过程，它必须通过教师和学生之间的信息不断交流和反馈，才能实现控制和调节。每一个环节或者例题的设置，教师都有预定的目标和实施方案，但在实际教学过程中，常会出现“意外”：学生偏离了教师预设的思路的现象。此时，教师要学会采取有效的策略，审时度势合理调控，挖掘和利用学生的非标准思路中所
135、具有的价值。案例 1：北师大版七年级数学下册1.5 同底数幂的除法一课中为了引入课题，老师设置了这样几道题：教师：在前面我们学习了同底数幂的乘法，今天我们来学习这样的运算：（1）_101058=；（2）_)3()3(37=；（3）_1010=nm 观察这三道题，它们有什么共同特点？这又是什么运算呢？学生 A：被除数和除数的底数相同。学生 B：是同底数幂的除法 学生 C：答案是310、4)3(、nm10 68 学生 C 的回答就是一个“意外”的出现，本来接下去教师是要引导学生利用同底数幂的乘法和幂的定义两种方法来得出结果，可是学生却直接得出了答案。既然出现了“意外”就应该充分利用，顺着学生的需要
136、进行开展。教师问学生 C：你是怎么得到这个结果的？学生 C：我是利用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加，那么除法与乘法互为逆运算，就应该是底数不变指数相减。学生 D：老师，同底数幂的除法能转化成乘法吗？教师：当然可以，各学习小组不妨尝试一下。学生纷纷开始计算，此时教师达到了目的。小组 A：我们算出来了，因为求_101058=、_)3()3(37=、_1010=nm，就 相 当 于 求8510_10=，73)3(_)3(=，mn10_10=，所以利用同底数幂的乘法可以得到答案是310、4)3(、nm10。小组 B：老师，我们组的答案也是一样的，但是我们的方法不是利用乘法，不知道对
137、不对？教师：你们是怎么算的？小组 B：我们把581010 看成是3581010001000001000000001010=教师：其他同学，你们认为这样算对吗？再用其他的几个式子进行尝试，验证这种方法是否正确。原定让学生探索结论的教学变成了现在让学生验证结论的教学。案例反思：使课堂数学教学效率的高低不取决于教师打算教给学生什么，而取决于学生实际获得了什么。只有引导更多的学生主动参与数学活动才能内化数学基础知识、基本技能和与数学知识相关的数学思想方法，才能真正提高发展学生的数学素质。在上述的教学过程中，出现了“意外”，打乱了教师预设的教学思路。面对这种现象，教师不应该选择回避，假装没有听见，而要充
138、分抓住这一“意外”生成的教学资源，顺势根据学生的需要调整教学的方向，重新设计和组织学生的学习活动。策略二：抓“精彩”促生成，让课堂教学更高效 在丰富多彩的课堂中经常会出现学生对所学知识的“联想”与“推测”，由此引发一些非常有价值的生成性的“精彩”资源。教师在课堂中要及时捕捉这些“精彩”资源，努力地将这些成为“精彩”课堂教学中的“高潮”，从而让课堂69 教学更高效。案例 2：北师大版八年级数学上册3.5 它们是怎么变过来的一课，这节课主要教学目标是让学生探索图形之间的变换关系，包括轴对称、平移旋转及其组合，并且通过动手操作和画图等过程，进一步掌握画图技能。在本节课巩固练习时，教师设置了这么一道题
139、：作出ABC 关于直线 1l 成轴对称后的图象111CBA，然后再作出111CBA关于直线 2l 成轴对称的图象222CBA（1l 2l）。作完图后，教师问学生在作图时有没有问题，目的是让怕学生已经忘记初一时所学的知识，可是学生却提出一个出乎意料的问题。学生 A：老师，222CBA能不能看成是由111CBA平移来的呢？学生 B：当然可以了，而且平移的方向和距离在图中都能找到。教师：B 同学说得没错，大家观察得挺仔细。象这道题这样，把一个图形经过两次轴对称变换，有时也可以看成是平移，这说明图形的变换之间是有 众学生：有联系的。这时，其实学生已经在无意中掌握了变换之间的一个关系，此时，教师及时抓住
140、学生动态生成的“精彩”，进一步向学生提出问题：两次轴对称之后，是否原图形和第三个图形会是什么呢？一石激起千层浪，这时学生们纷纷讨论起来，学生 C：如果两条对称轴平行，那么原图形和第三个图形可以通过平移得到。学生 D：如果两条对称轴相交，那么原图形和第三个图形可以看成是什么呢？教师：动手画图看看。这时，学生们兴趣盎然都动起手来。通过画图，学生得到了答案：当两条对称轴相交时，原图形和第三个图形可以看成是旋转变换。案例反思：本节课中，教师通过抓住学生一个“精彩”的瞬间，趁热打铁，引导学生的探究向纵深发展，让学生的思维碰撞出火花，不但完成本节课的教学目标，还达到了最佳的拓展境界，让课堂教学更高效。策略
141、 3：抓“肤浅”促生成，让课堂教学更灵动 抓“肤浅”促生成策略，是指学生在学习中没有达到应该达到的深度和高度，而面对老师的提问，回答非常肤浅，甚至幼稚时，这时老师应该抓住这些“肤浅”，通过层层深入的方式促进学生朝深层次的领悟发展。案例 3：北师大版八年级数学上册8.1 平均数第二课时 在进行到巩固练习这一环节时，有这么一道随堂练习题：小明骑自行车的速度是 15 千米/时，步行的速度是 5 千米/时。（1）如果小明先骑自行车 1 小时，然后又步行了 1 小时，70 那么他的 平均速度是多少？（2）如果小明先骑自行车 2 小时，然后步行了 3时，那么他的平均速度是多少？很多学生很快给出了第（1）问
142、的 答案：10 千米/时，教师继续问，那第（2）问的答案是多少？这时学生的答案出现了分歧。小部分学生：是 4 千米/时。另一部分学生：还是 10 千米/时。还有一部分学生：是 9 千米/时。很显然，有相当一部分学生没有区分好算术平均数和加权平均数或者没有理解好题目的意思就作出了“肤浅”的回答。教师：我现在想知道，你们的第一问的结果是怎么计算出来的呢？学生 A：1022011515=+（千米/时）教师：对的。但是请同学们再思考一下，式子中的 2 是算术平均数中数值的个数，还是骑自行车 1 小时，步行了 1 小时这两个“权”的和呢？这时，学生们纷纷讨论起来，甚至出现了某些学习小组之间的辩论，经过一
143、翻“口水战”，最终学生们统一了意见，并且给出了第（2）问的式子。学生 B：第（2）问应该这么算：95453235215=+（千米/时）案例反思：在评讲这道练习题时部分学生出现了“肤浅”的回答，这时教师及时抓住这一动态生成，没有马上评判谁的答案对谁的答案错，而是继续追问，引导学生的思维朝着深层次的领悟去发展，在最终解决了问题的同时，也让学生从具体的题目中区分算术平均数与加权平均数的含义以及算法，加深了对概念的整体感知和理解。策略 4：抓“错误”促生成，让课堂教学更和谐 抓“错误”促生成策略，是指当学生在课堂上不按照老师原来预设理想答案，甚至答非所问、错误百出时，老师如何巧妙引导，让学生从错误中吸
144、取合理成分，促进其发展。案例 4：北师大版七年级数学下册5.4 探索全等三角形的条件第三课时边角边(SAS)在课前,老师要求每个同学回去按照课本的要求在卡片纸上画两个三角形：第 1 个三角形，两条边分别是 2.5cm 和 3.5cm，这两条边的夹角是 40 度；第 2个三角形，依然是两条边分别是 2.5cm 和 3.5cm 长度 2.5cm 的边对着的角是 40度。开始上课了，老师让学生们拿出画好的三角形，用剪刀剪下来，然后拿去和别的同学的三角形比较一下，看看会有些什么结论。学生们经过一翻比较，作出了归纳。71 小组 A：我们剪出来的第 1 个三角形，都能完全重合，它们是全等的。剪出来的第 2
145、 个三角形，四个都不一样，不能完全重合。小组 B：我们组的结果和刚才的小组一样。我们归纳出，假如两个三角形的两条边以及这两条边的夹角分别相等的话，那么所画出来的三角形都是全等的。仿照前面的知识，可以简称为边角边或 SAS。教师：好，非常的好。这就是我们这节课要学的判别两个三角形全等的第四种方法边角边或 SAS。接下来，按照课程设计，教师打算利用 SAS 进行例题的讲解，这时，有个小组却提出了出乎意料的问题。小组 C：我们组的同学有不同的见解。教师：是什么见解呢？请这位同学说一说。学生 A：两条边和一个角，这个角不一定是两边的夹角。我和学生 B（是堂兄弟）昨天晚上没有留意老师规定的角要 40 度
146、。我们俩分别画了两个直角三角形 ABC和 DEF，AB=DE，BC=EF，这 两 个 三 角 形 是 全 等 的。这个同学能得到这个结论，虽然他的想法是错误的，但是他所画的三角形的特殊性是正确的。所以教师在此打算借助该学生的想法作一次深入探究。教师：这个同学画的是直角三角形。而我布置画图时要求 40 度角，根据条件是锐角三角形，其他同学已经通过画图发现锐角三角形的 SSA 这种情况是不成立的，那么还有一种情况就是钝角三角形。我们不妨来研究一下：探究 2 若两边分别对应相等，其中一边的对角是钝角，它的度数也相等，则两个三角形是否全等？通过再次动手画图验证，学生们很快得出 SSA 不一定成立，但是
147、不管是什么类型的三角形 SAS 总是成立的。案例反思:本案例中，正是因为我对学生错误的悦纳，才使学生的好奇心和创造力在“出错”中发出了异常的光彩。因此，作为老师要知道有时教学中的“错误资源”，反而会给课堂注入新的生命力，使课堂呈现出峰回路转、柳暗花明的神采。所以在现实的数学课堂中，教师要勇于面对学生的非预设生成的错误资源，E D F A B C 72 积极对待，冷静处理，把学生的这些非预设生成尽可能转化为自己教学服务的资源，让课堂教学更和谐。总之，“动态生成”会给师生带来意外的感觉，这种意外往往会给学生带来探究的冲动，课堂的活力经常在这样的情景中迸发出来。叶澜教授曾经指出：“课堂应是向未知方向
148、挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”所以，教师应从关注生命的高度，用变化的、动态的、生成的而非静止的僵化的观点来看待课堂教学，充分有效地利用课堂中的动态生成资源，让课堂焕发生命活力，使课堂教学更加高效。参考文献：1 叶澜，让课堂焕发生命活力-论中小学教学改革的深化，教育研究，2002.9 期 2 教育部基础教育司等，数学课程标准解读M北京：北京师范大学出版社，2002.5.3俞剑波 郑勇新课程数学课堂教学中的应变艺术中学数学教学参考，2006.7 期 4 章晓东 高洁，如何在生成教学中彰显智慧的魅力中学数学教学参考，2007.8
149、期 5 陈德前，既要关注生成，又要重视预设，中学数学教学参考，2007.9 期 数学教学中如何体现生活化 佛山市南海区狮山镇官窑第二初级中学潘丽欢 摘要：数学新课程标准强调加强数学教学和学生生活、现代社会以及科技发展的联系，让学生在兴趣下提高数学学习的积极性和主动性。初中数学教学实行生活化教学能够最大限度地激发学生的学习兴趣，丰富学生的学习经验，提高学生的数学素养。本文阐述了通过创设生活情境，激发学生兴趣；将学生练习与生活结合，学以致用；在课外活动中培养学生课题意识，培养数学精神，理论阐述和案例分析相结合，操作性强。关键词：初中数学；生活化；兴趣；数学素养 73 新课改要求加强教学内容与学生生
150、活的有效链接，加强教学内容与现代社会和科技发展的联系，最大限度地提高学生的学习兴趣，丰富学生的学习经验，为学生的终身发展奠定基础。在我们的数学教学中，教师要转变教学观念，不能只是强调数学知识和数学理论，逼学生做大量的练习题来巩固数学知识。教师要有一种生活教学观，使学生明白“数学来源于生活，又服务于生活”的真理，鼓励学生加强数学学习与生活的联系。在教学过程中教师不仅要传授数学知识和数学技能，更重要的是要把教学内容与学生生活、现代科技结合起来，关注学生的数学素养的提高，增强学生学习数学的热情，为学生知识向实践能力转化打下基础。一、在教学中教师要善于创设生活情境，激发学生学习的兴趣 在教学中教师要善
151、于创造生活情境，使学生对那些未知与已知、浅知与深知的知识都能在这种生活情境中再现，在情境中学生不断解决矛盾，不断发展探索，不断收获成功。在生活情境中，学生才能更清晰地认识自己，发现问题，不断提高。例如：教师在讲有关函数的内容时，就可以创设生活情境，教师可以设计，一名学生从甲地到乙地去，中间经过一些旅游景点地方，学生可以下车探胜，这样一下就能激起学生兴趣。在例子中教师要把所学内容灌输进去，教师可以引导学生思考在旅行中涉及哪些量，哪些是变化的，哪些是不变的，这样就自然的引出了变量与常量的概念，又可以进一步引入函数概念。这样，由于教师引入的例子贴近学生实际生活，学生很容易接受，学习兴趣很高，函数知识
152、的学习就简单多了。再如，教师在讲授勾股定理的教学内容时，就可以设计这样的生活场景：比如，小花想知道自己睡的床脚是不是 90 度，他只能选择用米尺量，而不能用三角板量，大家能帮助小花量下他家的床脚吗？一时间，学生非常诧异，不明白尺子怎么用来量角度。这时，教师就要不失时机地鼓励学生学习本课内容，通过学习一定能帮助小花想出好办法，这样学生的学习积极性主动性大大增强，很快就明白了“三角形三边长满足什么数量关系时，这个三角形是直角三角形？”的问题，并且很容易就掌握了“勾股定理的逆定理”知识。74 教师从学生熟悉的、感兴趣的的生活问题入手，创设真实的生活情境，拉近数学与生活的距离。使学生在不知不觉中进入到
153、探究过程，激活了学生的思维，激发了学生的想象力，使学生更容易学到知识，并提高学生消化运用知识的能力，收到了良好的教学效果。二、在指导学生训练习题的实践中，教师要注意把练习与生活结合起来，使学生能够做到学以致用。在教学活动中，教师经常要指导学生做练习，以巩固学生知识。但学生通常会掉入题海中不能自拔，学生感到厌倦，感觉乏力，成绩的提高愿望总是成为泡影，学习效率极低低下，这都是因为练习题过多又无味造成的。在练习题设计上，教师要有一个度，不能太多又不能太难，一定要贴近学生熟悉的现实生活，使生活与数学习题上的知识联系起来，使生活和数学融为一体。教师应充分探求生活资源，编设一些以真实生活现象为依据的训练习
154、题，以加强数学学习与客观生活实践的联系。力图通过习题训练，提高学生的运用知识能力，信息处理能力和解决实际问题的能力，使学生在探索中体验数学知识的价值，体验解决问题的快乐，最终到达提高学生实践能力的目的。例如，教师结合勾股定理所学可以设置这样的生活习题：“点 A 是一个半径为 40 m 的游戏场中心，在游戏场附近有 B、C 两个植物园，如果在 B、C 两个植物园之间修一条长为 100 m 的水泥路将两个植物园连接起来，经测得 B=60，C=30，请大家思考一下，这条水泥路要不要穿过游戏场?请大家通过计算证明一下。这种生活习题既能对勾股定理进行巩固，又很形象地反映现实问题，趣味性强，能够激发了学生
155、的探索求证精神，一举多得。.再如，教师结合两个变量之间的函数关系，可以设置这样的习题：一只蝴蝶由八根小棒组成，两只蝴蝶由十四根小棒组成，那么 N 只蝴蝶与 S 根小棒之间的关系是什么？大家自己摆摆看看，然后思考一下这个问题。这样，大家都利用事先准备好的道具摆弄开来，大家互相讨论思考着教师提出的问题，学习的热情空前高涨，没多久问题就得以解决。这种实践性强的生活习题，学生的参与热情更高，在动手操作过程中，学生的观察能力、猜想能力、推理能力、操作与交流能力都得到了提高，在做题过程中收获了成功，又收获了快乐，意义非凡。75 生活中充满着数学元素，教师要善于从生活中挖掘数学内容，设置好练习题。改变传统习
156、题枯燥无味的现象，使学生感觉到生活处处有数学，要不断地在生活中学习数学，充分认识到数学的重要性，提高学习数学的兴趣，努力做一位善于思考、善于解决问题的好学生。这样学生的数学素质才能真正得到提高。三、在课外活动中，教师要努力培养学生的课题意识，使学生在生活中培养数学精神。日常生活为学生提供了丰富的课外学习数学的资源，教师要适时为学生布置些生活化的课外探究活动，在实践中培养学生的数学探究精神。这样才能把数学教学从课题引进生活，真正践行生活教学的理念，使学生在课堂上所学的知识与数学理念真正得到拓展，得到有效运用，得到准确检验。教师要鼓励学生向生活学习，在生活中挖掘数学问题，研究数学结论，提出有价值的
157、探究方案。通过课外活动，搭建数学与生活的有效交流平台，通过生活问题的探究活动，使学生的培观察能力、实践能力得到有效培养，最终提高学生的创新能力。例如：教师讲授完因式分解的教学内容后，就可以鼓励学生到生活中寻求有关内容，大家交流总结，看哪位同学收集的资料能够更好地把此部分内容与生活结合起来，大家能不能利用数学知识分析一下各自所收集的生活现象。这样学生在课外活动中都积极地行动了起来，收集到了各自各样的生活中的数学现象，比如，有个学生的素材是这样的：在小河边有对老人在聊天，说他们鞋码的平方差等于 195，这时一对老人也说：“我们两人鞋码的平方差也等于 195。”正巧，又走过来一对中年夫妇也说他们鞋码
158、的平方差也等于 195。实际上有四对人的鞋码的平方差等于 195，看谁能用数学方法推算出这四对人的鞋码？这个生活素材与课堂所学内容联系的非常紧密，证明提供素材的学生确实下了一番功夫，费了不少心思。通过布置课题，让学生从生活中寻找素材的方式，有效的利用了学生的课余时间使学生真正把数学学习与生活实际联系了起来，扩大了学生视野，丰富了学生的思想，提高了学生的学习兴趣，更重要的是养成学生良好的向生活学习的习惯。数学知识来源于生活实践，生活又是很好地数学课堂，初中数学教学应尽可能地拉近数学知识与学生生活及社会生活的距离，把学生“身边的数学“带入课76 堂，让学生感知生活中到处是数学知识，数学中皆有生活常
159、识和道理。让学生自己建立数学知识和生活现象的联系，实现数学教学和生活实践的沟通，提高学生的数学素养。参考文献 1 李晶.中学“数学生活化”的若干问题研究D.陕西师范大学 2011 2孙晓兵.初中数学教育生活化之实践研究D.东北师范大学 2009 3 解兴武.关于中学数学教育中生活资源的开发与利用的研究D.华中师范大学 2005 从“0”出发 浅淡在数学教学中的“智赏”教学 南海金沙中学 黎爱娟 摘要：“智赏”教学是一种新的教学方式，它提出老师要用敏锐的眼光去观察，从学生当中捕捉和调整教学的信息。当获取信息后，老师要用智慧去引导学生去自学，为他们创设机会，用宽容之心容其不足，并大力赏识他们可供赏
160、识之处。经过一年的风雨历程，事实告诉了我们：“智赏”教学让课堂变了，学生能力变了，习惯变了，品德变了，学习成绩变了。学生懂得了自吃其力，从“做”中“学”，从“学”中“尝试”，从“尝试”中“成长”，从“成长”中“成才”。关键词：教学方式 观察 智慧 自学 赏识 一、研究背景 有的老师不留堂，不加班，不占用任何课外时间，而学生学习成绩很好？有的老师每天加班加点，而学生成绩还是不好？有的老师课堂上简单数语，而学生的进步却天天不同？有的老师在课堂上满堂灌，讲得滔滔不绝，口干舌燥，而学生一片谜糊，分不出青红皂白？有的老师看起来轻轻松松，而他们的学生却学得有滋有味，出类拔萃？面对着这些现象，我的心在焦急，
161、不禁自问：什么原因让这些结果那么悬殊呢？对于我们这些农村式学校，应以什么方式教学呢？学生又用什么方式学习呢？带着这些问题我陷入了思考：不禁让我想起了日本著作窗边的小豆豆这篇小说，我的心里突然阔然开朗，意识到成功的成才在于学生的学习方式和教师的教学方法。根据自己的成长之路，根据自己这十多年来的教学成功经验，我提出了“智赏”教学法，意思是做教师要有敏锐的观察，明察秋毫，从学生当中捕捉和调整教学的信息，获取信息后老师要用智慧去引导学生去自学，为他们创设机会，用宽容之心容其不足，并大力赏识他们可供赏识之处。二、研究过程 我特意从七年级找了两个班作为实验，一个班是 111 班，学生 42 人，男 23人
162、，女 19 人。学生的数学基础一般，中差生偏多，基本上找不到特优生。另一77 个班 112 班，学生共 45 人，男 21 我，女 24 人，学生的数学基础好些，优生多一些。我准备全力打造一种新的教学方法，号称：从“0”出发，但这个过程并不是一帆风顺的。下面是我实验的大致过程：第一节课，我专门向他们进行了一次从“0”出发的演讲：告诉他们七年级是一个暂新的开始，如同一张白纸，关键是以后在白纸上画出什么？接着我给他们发了一张白纸，让他们在白纸上为自己的名字写上最好的解释。最后结合我校实际向他们介绍了这次从“0”出发的计划：课前老师把新课的学习目标编制成学习题纲，学生带着题纲进行自学（也就是自我阅读
163、书上的内容。接着完成我特别设计的练习，这些练习一般是根据课本内容分解而成的，具有一定的梯度性。第二步是对学。第三步是小组活动，四人一小组进行积极的讨论以及疑难问题解惑。第四步是师生共同提练精萃，完成学习目标，老师一般少讲，精讲或者不讲。第五步是相应练习巩固。第六步是当堂测试，并及时反馈。刚开始时，我为了体现从“0”出发的理念，特意把学习内容降低了要求，结果学生学习得非常有兴趣。两周过去了，学生开始习惯这种学习方式，并且学习的效果很不错。三周过后，新的问题又出现了：学生的情况难以检测？优生还是比较好，但后进生有点跟不上，个别同学出现滥竽充数的现象。于是，我增设了“一对四”和“一周两测”的策略。具
164、体内容是每周进行一次 120 分的综合测试，一次 100 分的查漏补缺。这样就比较清楚地知道学生的学习情况，并能及时进行反馈。“一对四”是指在做练习时，最快举手的，我先帮他（她）批改，做正确的这个同学就去为另外四个再举手的同学批改，接着被改的同学的做法如此类推。这样的课堂看上去好像有点乱，但是实效性还是很不错，特别是对中优生。半个学期过去了，为了了解他们的真实情况，我们特意进行了一次大规模的检测，结果班内的中优生都有了很明显的进步，但是后进生的进步还不太理想。怎样才能让后进生也动起来了？我又陷入了思考。这个过程后进生确实少了一些机会？接着我的对策是：采取分组分职管理的方式，前后两张桌子，四个同
165、学一组，把他们编成、号（一般按成绩编排），每组的号同学为小组长，负责组内疑难问题的解答；号同学负责作业、练习册的完成情况；号同学负责修错本的检查情况；号同学负责整理同学的问问题和答问题的数量，并且他们享有特权，以“一”当“二”，也就是说问一个问题作为二个计算，答问题也一样。这样一来，号同学做事更卖劲了，看着自己的名字后面的“”越来越多，有时还能排在小组的第一位，从来没有过的认可和成功感让他们久久不能平静。想起他们以前从来不问问题，只会呆呆地坐着，而现在他们却变得自信、大胆、积极了，我真是喜在眉梢。下课了，他们都排着整齐的队伍围在我的四周，不知情的人还以为我要惩罚学生了，哪里知道原来是排队问问题
166、呢？一个学期过去了，学生们的成绩证明了我的做法是正确的，两个班的成绩都在级组的前列。全级共有 12 个班，期末考成绩统计如下：班别 平均分 合格 合格率 优生 优秀率 综指 排名 101 69.9 20 51.3%10 25.6%146.8 11 102 71.6 21 52.5%10 25.0%149.1 10 103 76.5 24 61.5%9 23.1%161.1 6 104 74.4 25 64.1%8 20.5%159.0 8 105 79.3 27 67.5%12 30.0%176.8 3 106 71.7 24 58.5%12 29.3%159.5 7 107 69.9 21
167、52.5%8 20.0%142.4 12 78 108 75.8 25 64.1%10 25.6%165.6 5 109 70.6 23 57.5%10 25.0%153.1 9 110 77.2 28 68.3%9 22.0%167.5 4 111 88.5 32 76.2%19 45.2%209.9 2 112 95.3 40 90.9%26 59.1%245.3 1 全级 767 310 6505%143 2955%总结第一学期得失：成绩还算可以，但是在成绩的背后我负出的却是比别人多几倍的脑力和体力的劳动。除了作业和每周的两份测验题的批改外，还要跟踪好学生的四表，关键点还在于根据不同的学
168、生为他们“量身订做”的练习题和课件的制作，需要花费很多时间，特别是后进生。那么，这样一条改革之路还能继续走下去吗？就算我愿意走下去，但我的精力或身体能吃得消吗？又一次让我陷入了思考？但一次偶然的育儿经历给了我一支强心针。事情是这样的：2011 年 11 月，我的小孩不小心左手骨折了，要在家里休养一个多月。小孩的成绩本来就很不理想，如果再休学一个多月，我担心他回校后学习跟不上，但是我自己又要上班不能在家教他。怎么办呢？每天上班前我把要学习的内容编成题纲，让他自己在家自学，如有不会的就自查资料，或看书本，晚上我再批改或指导。意外的事情发生了，一个多月后，当我的小孩回到学校上课时，成绩就有了一个质的
169、飞跃，成绩是有史以来最好的。这样就给了我很大的启迪：平时我对小孩的管理是不是太多太死了，好像什么事情都不放心，总想管一下，结果他的学习失去了主动性，而这次在家没有老师教，也没有父母帮忙，只能靠自己，不会的只有自己去解决。一个二年级的学生都可以“自学”成效，更何况是七年级的学生呢？只要做事不包办，多给学生机会，大胆地“放”手让他们干起来，一定可以！但关键在于方式方法的使用，以及如何去引导。想到就做，在第一个学期的散学典礼那天，我特意作了一次“不仅自学，还要提前自学”的演讲。布置了一个开放式的假期作业，第一是自己上网找资料，然后出一份“七年级上学期数学期末考试模拟题”。第二是自学下学期的新课内容第
170、一、二章。第二学期，我把他们的作品进行评比，称为“优秀的数学小老师”，结果他们的热情更高了。于是，我更坚定信念，大胆去“尝试”，更“放”去管理。提拔一批学生做数学的大组长，引导他们进行四表的跟踪与管理（教给他们方法，最后把最终结果上送给我审阅）。培养几个同学专门负责题纲的编写，培养几个同学进行题目的讲解。这样“分组管理，分职挂帅”，同学们真是干得有滋有味，学得乐也融融。事实证明：对中优生大胆去“放”，对于后进生全力去赏识，大力去提拔，这种做法是正确的。我专门找了一些进步较大的同学了解情况，他们说：以前，一听课就打磕睡，现在自学了，同学们讨论时就有了话题，再听老师讲解就更明白了，结果成绩有了明显
171、的进步。具体数据比较如下：姓名 111 班 郭铭健 111 班 何林红 111 班李嘉棋111 班蒋颖贤112 班杜文珊112 班 李嘉惠 112 班 麦明宇 112 曾瑶第一学期期末 81 82 68 92 83 76 81 88 第二学期期中 105 113 98 100 110 114 113 115 第二学期期末 105 106 114 102 108 98 102 113 一年过去了，真是功夫不负有心人。两个班以优异的成绩结束了这个学年的学习任务，同时这种教学方法也赢得了学生、家长和学校的认可。以下是七年级第二个学期的期末数学成绩统计表：79 数 学 科 班别 平均分合格 合格率优生
172、 优秀率综指 排名 101 70.4 22 56.4%14 35.9%162.7 10 102 74.0 24 60.0%12 30.0%164.0 9 103 87.3 34 87.2%18 46.2%220.6 3 104 79.4 27 69.2%14 35.9%184.6 4 105 74.7 25 62.5%11 27.5%164.7 8 106 70.7 25 61.0%9 22.0%153.6 12 107 72.5 26 66.7%8 20.5%159.7 11 108 77.0 25 65.8%15 39.5%182.3 6 109 75.1 25 62.5%15 37.5%
173、175.1 7 110 79.0 29 70.7%14 34.1%183.9 5 111 95.9 39 92.9%26 61.9%250.7 2 112 101.4 43 95.6%35 77.8%274.7 1 全级 79.88 344 71.22%191 39.54%三、总体的转变 （一）课堂之变 课堂由“教”堂向“学”堂转变，学生的知识由老师“授”向学生自己自学转变。课堂上，学生可以自由地选择学习对象，也可以自由提问，同时也可以大胆地对问题进行争论。小组学习是自学的核心部分，学生自食其力，在做中学，在学中尝试，在尝试中成长，在成长中成才。（二）学生之变 学生学习方式的转变，以自学、提前
174、自学和小组学习为主。学习能力变了，他们自觉学习，主动求知，善于思考。更重要的是良好学习习惯和品德的养成，达到知、情、意、行的和谐统一。学生的情感变了，师生间的亲和力增强了，老师的权威加强了，同学之间合作更无间了。（三）后进生的大面积转变 对于我们这些农村式学校来说，常出现的问题是两极分化严重。后进生一般来说都比较难转化。但这次实验却成功地把“后进生”大面积的转化。这关键在于对中优生的“放”和对“后进生”的引导与赏识。对于后进生我还特意制定了一个文档叫“记功本”，专门记录他们做的好事。例如，“11 月 5 日某某同学今天举手发言了”，“11 月 8 日某某同学小测 100 分”，“11 月 10
175、 日某某同学独立完成了一题作业”，“11 月 20 日某某同学帮某某同学解决了一个难题”等等。人都是喜欢别人表扬和肯定，特别是学生更希望得到激励和赏识。只有在这种环境中他们才会更自信，更容易进步。我就是用这种方法慢慢地把他们从后面拉上来的。111 班有个叫陈健祥的学生，上课时他常常分神，又不愿意动笔去做。记得第一次与他交流时，我是这样对他说并记下来的“今天，老师发现你很认真地做了一道题，学习有了进步，假设你能继续认真做下去，那么你一定比很多同学还要学得好！”之后，我还专门安排他为我整理资料，结果他上课认真多了，争着为我做事。入学时，他数学成绩是 25 分，结果七年级期末考得了 73 分。有句名
176、言说，世界上不缺少美，缺少的是发现美的眼睛。所以我们做老师的要懂得用发现美的眼睛去观察，明察秋毫，用放大镜去寻找他们可供赏识之处，80 再用智慧去引导和点拔他们。“智赏”是智慧与赏识的教育，它如春风般和煦，如夏荫般宜人，如秋色般赏心悦目，它能巧妙地谱写美好的教育诗篇。参考文献 1严建兵 试论数学教学的真善美 苏州工业园区星海数学网 2涂文琳 以爱去保护学生学习数学的兴趣 金竹小学 浙江省遂昌县教育网 3苏霍姆林斯基 给教师的建议 北京：教育科学出版 1999 4刘良华 不用扬鞭自奋蹄 5刘坚新 郑学志 班主任工作的 55 个“鬼点子”中国轻工业出版社 6尹建莉 好妈妈胜过好老师 作家出版社 如
177、何实施初中数学概念的有效教学 佛山市南海区九江镇初级中学潘燕媚 【摘要】：数学概念学习是数学学习的基础，数学概念的教学是数学教学最重要的组成部分。因为数学概念是进行数学推理和证明的基础和依据，数学中的推理和证明实质上由一连串的概念、判断和原理组成，而数学中的原理又都是由一些概念构成。有效地进行数学概念的教学，是学生学好数学的关键。【关键词】：数学概念 概念教学 概念本质 概念体系 概念应用 “同学们，你喜欢数学吗？”你会发现许多学生正皱着眉头说：“我才不喜欢学数学，我讨厌那些枯燥抽象的数学题。”确实，数学的特点是既存在于客观现实，又具有高度的抽象性、精确性、逻辑性和严密性。许多事实证明了正确地
178、理解数学概念是学好数学的关键。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）指出：数学概念教学对整个数学教学起着重要的作用，对学生数学素养的提高发挥了基础性功能的作用，教师在数学概念教学中，应努力通过揭示概念的形成、发展、巩固、应用和拓展等过程，培养学生深度思维的好习惯，完善学生的认知结构，发展学生的创新能力，从而提高数学学科的教学质量。现在笔者从教学实践中，就实施数学概念教学的有效性谈些不成熟的看法。一、注重概念的引入，有效地形成概念。数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，是人们通过实践，从数学所研究的事物对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。概念的形成，标志着人
179、的认识已经从感性认识上升为理性认识。怎样帮助学生在脑中形成概念表象，有效地建构其良好的概念图式呢？如：有一些数学概念借助数学符号或式子来表达，由于比较抽象，教师切忌形式主义地进行讲解，应该使学生明确：“概念在生活中的实际背景是什么？”“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”。概念的引入方法很多，设计时不仅要考虑概念自身的特点，还要结合学生的认识水平及生活经验，本着有利于突显概念本质的原则。例如“科学记数法”81 的概念教学时,我是这样引入的。首先请学生们观察生活中的具体实例形成感性认识。给出以下实例（实例是北师大七年级上册课本 200 页）要求学生读和写。这个环节一定要多些学生作示范，
180、让学生感到读和写的困难。（1）第五次人口普查时，中国人口约为 1300 000 000 人 （2）太阳半径约为 696 000 000 米 （3）光的速度约为 300 000 000 米/秒 这些数太大了，读和写都比较困难，这时学生迫切想知道：怎样写这些数简便？引出研究书写这些较大数据的科学的方法的必要性。这时，让学生观察这些大数的特点，学生发现“0”比较多且都在后面。接着引导学生回顾我们学习过10 的 n 次幂的规律和意义：10=101；100=1010=102；1000=101010=103；10000=10101010=104；1000000=10101010=10n 我们用 10 的
181、n 次幂的形式表示出了像这样 1 后面有很多 0 的形式的大数，那么，我们怎么来表示一般的大数呢？请学生学生猜想课前 3 道题的答案,并用找规律的方法写出像这样的大数的一般形式。在 10n的模仿下，学生猜想像这样的大数的一般形式是：一个数10n 或数 a10n，教师给出两方的答案，在比较下让学生争论如何表达才科学？a10n 中 a 是什么范围的数？n 是什么数？n 是如何右确定的？通过争论，问题突显 a 是什么范围的数是整个问题的关键。剖析问题的关键：131.3101.3101，696=6.961006.96102,1002=1.00210001.002103 所以 1300 000 0001
182、.31000 000 0001.3109 696 000 0006.96100 000 0006.96108 300 000 0003100 000 0003108，这样形式更统一，更能揭示本质，像上面那样表示大数的方法，我们叫科学记数法：一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a10n 的形式，其中a10,n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。概念的形成是一种发现学习的过程，是一个接受学习的过程。老师应以学生自己的直接经验为基础，从大量的具体例子出发，在老师的有效引导下归纳、概括出一类事物共同的本质属性。二、明确概念及其表达形式，有效地剖析概念的本质属性。明确概念，主要是明确概念的内涵和
183、外延。在教学中要使学生对每一个概念都有明确的认识，包括掌握概念的定义、名称、符号等。明确概念，还要讲清概念的确定性和某些概念的发展与深化。一些用语、用词非常严密、精练、具有高度概括性的概念，我们必须抓住概念中的关键词句进行，揭示每一个词、句的内在含义。我们还可以利用变式、对比、直观化和举反例等有效的方法突出概念的本质属性。例如“无理数”的概念教学中，我们可以用无理数的发现的数学故事吸引学生的兴趣，接着告诉学生，我们可以动手构造一个“无理数”。这时学生的兴趣更浓。让学生拿出两张同样大小的正方形纸片（边长视为 1）剪拼出面积为 2 的正方形；利用计算器探求正方形边长的小数部分；学生真实体会到了面积
184、为 2的正方形的边长不能用有理数来表示，但它确实存在，切身感受到除有理数外还有一类数点出概念“无理数”。明确概念：无限不循环小数叫做无理数。82 这时学生虽然感受到无理数确实存在，但也会相当疑惑它具体是怎样形式的，学生想通过举例记住它。别外学生现在学习了许多带有“数”这个名称的概念，与无理数概念相关的有：他们真的会很乱，如果给出无理数的概念后只是做一些题目巩固概念，那么在以后的学习中会还是会出现错误判断一个数是否是无理数的情况。这时候我们应该和学生一起对上面“有限小数、无限小数，有限循环小数、无限循环小数、无限不循环小数；有理数、无理数”的概念进行举例、分类、析疑。另外在后面的不断学习中要呈现
185、下面各种变式来全面理解无理数。无限不循环小数：3.12112111211112 开不尽方的数:2，2 5,3 7 负的无理数：-32，-4 11,-332 圆周率 另外特别指出 722 是分数，它是有理数，它是一个无限循环小数，小数位后 12 位开始循环；分数可以转化成有限小数或无限循环小数，这里要多多举例让学生明白。再如，我们可以从不同的角度来刻画同一个数学概念，通过比较让学生能明确概念的本质属性。例如：“一元一次不等式的解集”的概念教学中，学生对“不等式的解集”比较难理解。这时，我们可以用它和“方程的解”进行对比学习。通过具体例子向学生明确：一元一次方程的解是使方程两边的值相等的未知数的值
186、，而一元一次不等式的解集是使不等式成立的未知数的取值范围。从使原式成立的这一观点上看，一元一次方程的解和一元一次不等式的解集是意义相同的。从解的个数看，一元一次方程的解是唯一的，但一元一次不等式的解集是一个或几个或几个数值范围内的无穷多个数。反映在数轴上，一元一次方程的解是一个点，而一元一次不等式的解集是无数个点的集合。用实例（包括正例与反例）引导学生分析关键词的含义，利用变式、对比进行概念特性的考察，这是明确概念、再次认识概念本质的有效的方法。三、培养学生建构概念体系，有效地理清概念之间的关系。皮亚杰认为：知识既不是客观的东西，也不是主观的东西。而是主体与环境相互作用的过程，即是建构的结果。
187、因为能力体现在知识网络的熟练之中，能力可以进一步促进新的知识网络的建立。在概念教学中，学生掌握单个概念是不够的，还应引导学生把所学的概念进行整理、归类，理清概念之间的关系，从而形成概念体系，建构良好完整的数学认知结构，促进学生思维的灵活性、深刻性。83 B A l 四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形两组对边分别平行有一个角是直角邻边相等邻边相等有一个角是直角一组对边平行另一组对边不平行两腰相等有一个角是直角有一个角是直角且邻边相等四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形两组对边分别平行有一个角是直角邻边相等邻边相等有一个角是直角一组对边平行另一组对边不平行两腰相等有一
188、个角是直角有一个角是直角且邻边相等 例如，学习四边形这单元后，要求学生能自己对知识进行网络化的梳理，我们可以用树状图的形式帮助学生建立知识的结构图，从而对特殊四边形性质和判定方法进行记忆和比较，达到理清各种特殊四边形之间的关系。在教学中，我们要在一定的学习阶段中建立和完善数学概念体系，例如代数中数的概念体系，方程和不等式、方程和函数、函数和不等式的概念体系。几何中有关角的概念体系，三角形全等、相似的概念体系，特殊四边形概念体系。建立章节或学科的概念网络体系，有利于概念的储存和检索，有助于对概念的深化和理解。建立数学概念体系，是理清概念之间的关系最有效的方法。四、在练习中巩固，在应用中“升华”。
189、华罗庚曾经说过：“数学是一门解题的学科”，思维能力的培养，概念广泛应用，是使学生牢固掌握概念和加深概念的理解的必由之路。概念的练习设计应由易到难，循序渐进，形成梯度，以促进学生思维的合理过渡。通过解决实际问题，灵活运用所学概念，深入理解数学概念的本质。例如：点到直线的距离概念练习设计。北师大版七年级上册对“点到直线的距离”的概念,在同一个平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。如图,过 A 点作 l 的垂线，垂足为 B，线段AB 的长度叫做点 A 点到直线 l 的距离。下面谈谈如何从现实生活的各种实例理解概念。（1）如图，要把水渠中的水
190、引到水池 C，需在渠岸 AB 上开沟在 AB 上的何处开沟就能使水渠到水池 C 的距离最短？请你在图中找到符合题意的开沟处 D，并说明这样开沟距离最短的道理。根据点到直线的所有线中，垂线段最短，过点 C 作 AB的垂线，垂足就是开沟处的位置，本例中垂线段 CD 的长度就给人以“点到直线的距离”之形象。解：如图所示，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，则点 D 就是符合题意的开沟处 D理由是：垂线段最短。(2)又如教科书“怎样测量跳远成绩”一例,可作这样分析:把起跳线看成一条直线,沙坑里的落脚点即直线外的一点,测量84 跳远成绩,就是度量直线外一点(落脚点)到直线(起跳线)所作的垂线段的长度(皮
191、尺上的读数)，这个长度,也给人以“点到直线的距离”的形象。(3)如图，ACBC，AC=9，BC=12，AB=15试说出点 A 到直线 BC 的距离；点 B 到直线 AC 的距离；点 C 到直线 AB 的距离是多少？你是怎样求得的？通过画图，计算掌握“点到直线的距离”的概念。（4）九年级上册“船有触礁危险吗”中利用三角函数和“点到直线的距离”的概念解决实际问题。如图，海中有一小岛 B，它的周围 15 海里内有暗礁有一货轮以 30 海里/时的速度向正北航行，当它航行到 A 处时，发现 B 岛在它的北偏东 30方向，当货轮继续向北航行半小时后到达 C 处，发现 B 岛在它的东北方向问货轮继续向北航行
192、有无触礁的危险？（参考数据：2 1.414,3 1.732）分析：作 BDAC 于点 D，在直角三角形 ABD 和直角三角形 CBD 中求得点 B到 AC 的距离，继而能判断出有无危险。（5）如图，A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 320km 的 B 处，以每小时 40km 的速度向北偏东 60的 BF 方向移动，距离台风中心 200km 的范围内是受台风影响的区域。（1）A 城是否为什么？（2）若 A 城受到这次台风影响，那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间？笔者在教学中发现学生过点 A 作 AB 的垂线，交 BF于点 C，在直角三角形 ACB 中求得 AC 的距离，继而能判断出
193、有无危险。这个方法是错误的，这种错误体现到学生对“点到直线的距离”的概念未能在实际中应用，学生对能 A 城看作一个点，但却没找对那条是我们关注的线。我们把可作这样分析:因台风每小时 40km 的速度向北偏东 60的 BF 方向移动，台风移动的路线看成一条直线,A 城看作一个点即直线外的一点,A 城是否受到这次台风的影响既求 A 城到台风移动的路线 BF的最短距离，也就是“点到直线的距离”，垂线段 AC 最短，如果最短距离小于台风中心 200km 的范围，那么 A 城没有影响。（学生错误答案）（正确答案）在教学中，我们除了新授课时通过作业检查学生对概念的掌握情况外，我们也可以巧妙地插入数学概念的综合题，促使学生在运算、作图、推理、证明中发挥数学概念的理论指导作用，培养学生的概念的思维能力。俗话说：教学有法、教无定法，只要教师能重视基本概念蕴含的智力开发价85 值，注意充分挖掘基本概念蕴含的数学思想方法的教育价值，能够使学生掌握知识、发展能力的概念教学都是有效的、好的教学。希望我们大家一起努力，使小小的概念教学中，能折射出我们教师大大的智慧吧。参考文献：数学课堂教学设计方法论龚运勤著 北京理工大学出版社 2011 年 7 月 初中数学教师科研入门席玉虎主编 首都师范在学出版社 2012 年 1 月 智力发展与数学学习林崇德著 中国轻工业出版社 2011 年 12 月