1、推理合情推理演绎推理归纳类比三段论本节知识结构推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。复习提问：一.推理推理合情推理演绎推理二.合情推理先根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想;再进行归纳、类比;然后提出猜想的推理.统称为合情推理.1.合情推理的概念2.合情推理的过程从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳类比提出猜想数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.3.合情推理的作用由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠.说明:与合情推理一样，演绎推理也是
2、日常活动和科学研究中经常使用的一种推理形式。特别地，数学证明主要通过演绎推理来进行。什么是演绎推理？它与合情推理有哪些不一样？下面,我们共同学习-演绎推理 数学中,常以某些一般的判断为前提,得出一些个别的、具体的判断.(1)所有的金属都能够导电,铀是金属,所以铀能够导电;(2)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星,因此,冥王星以椭圆轨道饶太阳运行;1.例题引入(3)在一个标准大气压下,水的沸点是100oC,所以在一个标准大气压下把水加热到100oC时,水会沸腾;三.演绎推理 (4)一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除;(5)
3、三角函数都是周期函数,tan是三角函数,因此tan是周期函数;(6)两条直线平行,同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角,那么A+B=180o.以上推理有何特征?请问:一般到特殊从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.(又称逻辑推理)简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.2.演绎推理的定义 上面列举的演绎推理的例子都有三段，又称为“三段论”。(1)所有的金属都能够导电,铀是金属,所以铀能够导电;第三段称为“结论”,如“铀能够导电”,是所得的结论.下面以题(1)为例说明：第一段称为“大前提”,如“所有的金属都能够导电”,讲的是一个一般的原理;第二段称为
4、“小前提”,如“铀是金属”,指的是一种特殊情况;“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:大前提 已知的一般原理;小前提 所研究的特殊情况;结论 根据一般原理,对特殊情况做出的判断.思考:你能再举出一些用“三段论”推理的例子吗?3.三段论(1).“三段论”的一般模式(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,例6如图所示,在锐角三角形ABC中,ADBC,BEAC,D,E是垂足.求证:AB的中点M到D,E的距离相等.证明:在ABC中,ADBC,即ADB=90o,所以ADB是直角三角形，同理,AEB也是直角三角形.ABCEDM利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半相等证明分析:大前提小前提结 论
5、 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,而M是RtABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,所以DM=AB/2同理,EM=AB/2.所以,DM=EM大前提小前提结论ABCEDM(2).“三段论”的表示大前提:M是P.小前提:S是M.结论:S是P.我们可以利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(1)应用“三段论”解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁,如果大前提是显然的,则可以省略.说明:(2)应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式之一错误,都可能导致结论错误.例7.证明函数
6、f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.分析:证明本例所依据的大前提是:增函数的定义,即函数y=f(x)满足:在给定区间内任取自变量的两个值x1,x2,若x1x2,则有f(x1)f(x2).小前提是:f(x)=-x2+2x,x(-,1满足增函数的定义,这是证明本例的关键.任取x1,x2(-,1,且x1x2,证明:f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)因为x10;因为x1,x21,x1x2,所以x1+x2-20.因此,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.在演绎推理中,只要前
7、提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.于是,根据“三段论”，可知:注意:思考所以菱形是正多边形因大前提是错误的(因为所有边长都相等,内角也相等的凸多边形才是正多边形),所以所得的结论是错误的.(1)上面的推理形式正确吗?(2)推理的结论正确吗?为什么?因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形,小前提结 论例:正确错误至此,我们学习了两种推理方式:思考:合情推理与演绎推理有何区别?合情推理与演绎推理.从推理形式上看:四.合情推移与演绎推理的主要区别合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.演绎推理
8、是由一般到特殊的推理归纳是由部分到整体、个别到一般的推理.类比是有特殊到特殊的推理;合情推理包括归纳和类比从推理所得的结论来看:合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.人们在认识世界的过程中,往往:(1)需要通过观察、实验等获取经验;(2)需要辨别它们的真伪;(3)将积累的知识加工、整理,使之条理化、系统化.就数学而言:因此,我们不仅要学会证明,也要学会猜想.演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程;数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理.1.例题引入三.演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理.2.演绎推理的定义3.三段论(1).“三段论”的一般模式大前提 已知的一般原理;小前提 所研究的特殊情况;结论 根据一般原理,对特殊情况做出的判断.小结(2).“三段论”的表示大前提:M是P.小前提:S是M.结论:S是P.在应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式之一错误,都可能导致结论错误.从推理形式上看:四.合情推移与演绎推理的主要区别合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.演绎推理是由一般到特殊的推理归纳是由部分到整体、个别到一般的推理.类比是有特殊到特殊的推理;合情推理包括归纳和类比从推理所得的结论来看:1.P42练习1、2、3、42.P44习题2.1 A组 7;B组3
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