1、上下确界与上下极限的性质 数学与应用数学 2001070097 蓝明添 指导老师：王成名教授【内容摘要】数学分析课本中引入了上下确界及上下极限的概念,但是对它们性质的讨论却微乎其微,鉴于上下确界及上下极限的重要应用价值,本文系统地讨论了函数上下确界及数列上下极限的性质. 【关键词】上确界 下确界 上极限 下极限 数列一 引言上下确界不但在离散数学、数学分析等学科中有重要应用，而且又是极限理论的基础，但是在数学分析课本中对它的讨论却微乎其微。另一方面，数列上下极限又是极限理论的一部分，它在数学分析、实变函数和复变函数中也同样占有极其重要的位置，我们也经常会遇到一些需要依靠函数上下确界及数列上下极
2、限的知识才能解决的数学分析、实变函数和复变函数等学科中的问题，很可惜对于如此重要、应用如此之广的数列上下极限的运算，一般极限性质对它已不再适用，而且在数学分析课本中对它们的讨论又少得可怜，因此我们有必要系统地探讨它们的一些性质，以便应用。二 数集的上确界与下确界(一)有关的概念定义1：设集合（i）若存在.使得对于任何都有，则称集合是有上界的，并称为的一个上界；（ii）若存在使得对于任何都有则称集合是有下界的，并称为的一个下界。（iii）既有上界又有下界的集合称为有界集。定义2：（i）如果集合的上界集中有最小元，则称之为集合的上确界，记为 (ii)如果集合的下界集中有最小元，则称之为集合的下确界
3、，记为（二）上下确界的性质定理1 设为定义在上的有界函数，则 （i） (ii) 若.则（iii） （iv）定理2 设为上有界函数，则定理3 设，为上有界函数，且，.则定理4 设为定义在上的有界函数，且，则 （i） (ii) （三）上下确界的性质定理1的证明证明：（i）令. 由下确界的定义知，对任意的,.即. 可见是的一个上界；又由知对于任意的，存在，使得，即 ，可见是的上界中最小者，所以 .（ii）同理可证.(iii)令.若，由下确界的定义知，对任意的,.又因 ，所以 ，由此可见是的一个下界；又由知，对于任意的，存在，使得.又因且 ，故，取，则对于，可见是的下界中最大者，所以 若，上式显然成立
4、.从而（iv）同理可证.定理2的证明证明：对于任意的，由于所以 因此 （1）由（1）又有所以由定理1.同理可证 .又由 得 由定理1知 即 （2）分别以，代替（2）式中的， 得综上得结论成立.定理3的证明证明：对于任意的，由于，且， 所以 故 同理可得.易见 ，又由于是的一个下界，而下确界又是下界中的最大者，且，是一个确定的正数.因而，由定理1有 同理可得.显然又有 .由于是的一个上界，而上确界是上界集中的最小者，且，是一个确定的非负数.因此，由定理1又有 同理可证.综上可得结论成立.定理4的证明证明：令. 由下确界的定义知，对任意的,.又由以知，故. 可见是的一个上界；对任给正数（取充分小，
5、使得，且.）令 由可知，对于上述的，存在，使得，即，可见是的上界中最小者，所以 同理可证 .三 数列上下极限的性质（一）有关的概念定义3 设，为一列实数，称之为数列，并简记为.定义4 数列的上极限为，记为.即. 数列的下极限为，记为.即.（二）数列上下极限的性质定理5 .若存在，则有.定理6 若、为有界数列，则有 ，当 、之一收敛时，等号成立.定理7若、为有界数列，则有 ，当 、之一收敛时，等号成立.定理8 若、为非负有界数列，则有 当 、之一收敛时，等号成立.定理9若、为有界正数序列，且.则有 当 、之一收敛时，等号成立.定理10 若， 是集合上的一串非负可测函数，则 （三）数列上下极限性质
6、的证明定理5的证明 证明：由上下确界的定义知 从而 即 下证明当存在时，成立等号.当存在时，设.若，则， 有 从而 可见 即 若，则，有从而 于是 即 若，同理可证.定理6、7的证明证明定理6 由定理2知 上述不等式两边取极限，得 由上极限的定义得 （3）当 、之一收敛，不妨设收敛，则由定理5有 代入（3）式得 （4） 由定理2得 由此得到 （5）由（4）（5）式得到 （6）所以当 收敛时，同理可证定理7证明定理6 由定理2知 由上式得 以代替上式的得到 （7）由定理1知 由此得到 将之代入（7）式，得到当 、之一收敛，不妨设收敛，则由定理5知 以代替（6）式的得到 因而 .同理可证定理7.定
7、理8的证明 证明 因为且，且、有界，由定理3知 两边取极限由上极限的定义得 当 、之一收敛，不妨设收敛，则由定理5知 由定理3知 由此得到 因而 同理可证 .定理9的证明 证明因为，且、有界，所以，且亦有界.由定理3知 因而 （8）以代替（8）式中的得到由定理4得 故 （9）当 、之一收敛，设收敛，则由定理5知 将之代入（9）得到 因此 若收敛，则可用定理3及类似的推理得到结论： .且当 、之一收敛时，等号成立.引理 设（i）是集合上的一串非负可测函数；(ii) (iii)则 引理的证明见：高等教育出版社实变函数与泛函分析基础126-127页，程其襄，张奠宙，魏国强，阎革兴，钱自强等编写.定理
8、10的证明 证明： ， 是可测集合上的一串非负可测函数设 则为上的非负可测递增函数列且又因为.故 ，又有 所以由引理得到 故 参考文献 1华东师范大学数学系.数学分析第二版（上册）. 北京: 高等教育出版社，1991.26-28、232-236.2李成章，黄玉民. 数学分析（上）.北京:科学出版社,1999.45-54.3徐森林.实变函数论.合肥:中国科学技术大学出版社，2002.232-255.4夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌.实变函数论与泛函分析.北京：人民教育出版社，1978.175-191.5程其襄，张奠宙，魏国强，阎革兴，钱自强.实变函数与泛函分析基础.北京：高等教育出版社,2003
9、.124-130.6B.吉米多维奇.数学分析习题集题解(一).济南:山东科学技术出版社,2001.67-817张宗达主编,刘锐,王勇,高有,宋作中副主编.工科数学分析(上).哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2000.63-648李大林,林益,汤燕斌主编.工科数学分析(上).武汉:华中理工大学出版社,1999.7-9The properties of least upper bound and greatest lower bound and limit superior and limit inferiorAbstract The concept of least upper bound and
10、 greatest lower bound and limit superior and limit inferior is introduced in the textbook of mathematics analysis, but little is discussed about their properties. In view of their important values in application, this article mainly discusses the properties of least upper bound and greatest lower bound of function. it also discusses the properties of limit superior and limit inferior in ordered series of numbers.Key Wordsleast upper bound; greatest lower bound; limit superior; limit inferior; sequence