1、学科网（北京）股份有限公司2023 年 7 月高三阶段性调研试卷数学 2023.07 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合230Ax xx=，集合()3log11Bxx=，则 AB（）A.03xx B.13xx C.04xx D.14xx 2.已知()()311nxx+的展开式中所有项的系数之和为 64，则展开式中含4x 的项的系数为（）A.20 B.25 C.30 D.35 3.已知sincos()6sin(2)2+=，则2sincoscos+等于（）A.35 B
2、.25 C.35 D.25 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数2()()af xxax=+R 的图像不可能是（）A.B.C.D.5.已知函数1()f xxx=，若5log 2a=，0.5log0.2b=，0.50.5c=，则（）A.()()()f bf af c B.()()()f cf bf a C.()()()f bf cf a D.()()()f af bf c，若存在实数 abc，满足()()()f af bf c=，则
3、()()()af abf bcf c+的最小值为_.四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知35sin413+=，3cos 45=，且3044，0，函数()f x 图象上相邻两个对称中心之间的距离为 4，且在3x=处取到最小值2.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 6 个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调递增区间；（3）若函数()g x 在,6xm内的值域为2,1，求 m 的取值范围.20.在
4、锐角ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2 sin30bAa=.（）求角 B 的大小；（）求coscoscosABC+的取值范围.21.某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为 12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为 p，假设每道题答对与否互不影响.（1）当15p=时，（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii）甲答了 4 道题，计甲答对题目的个数为随机变量 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 EX；（2）乙答对每道题的概率为 23（含亲友团），现甲乙两人各答两个问
5、题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于 1536，求甲的亲友团每道题答对的概率 p 的最小值.学科网（北京）股份有限公司22.已知函数()ln()f xaxx a=R.（1）求函数()yfx=的单调区间；（2）若函数()yfx=在其定义域内有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围；（3）若120 xx，且1212lnlnxxaxx=，证明：12112lnxxxx.学科网（北京）股份有限公司2023 年 7 月高三阶段性调研试卷答案（数学）一、单选 1.B 2.B 3.A 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 二、多选 9.BD 10.AC 11.BCD 12.BCD 三、填空
6、题 13.2 14.480 15.0.29 16.e四、解答题 17.（1）3365；（2）2 2.【详解】（1）3044，3344+，024，又35sin413+=，3cos 45=，312cos413+=，4sin45=，333cos()sinsincoscossin444444+=+=+531243313513565=；5 分（2）()()23sin10cos103sin10cos 180101cos10cos190 13 tan10cos10cos10cos701cos402 sin 20cos20cos702cos 20+=+132cos10sin10224sin 402 222 s
7、in 402sin 20cos202+=10 分 18.（1）1058 （2）358 x 【详解】（1）解：因为展开式的第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以73nnCC=，解得10n=，则展开式通项为1011041()2rrrrTCxx+=学科网（北京）股份有限公司1020 324410101122rrrrrrrCxxCx=，令 20324r=，解得4r=，代入通项有：4422510110528TCxx=，所以2x 的系数为1058；6 分（2）二项式412nxx+通项为：2324414111()222rrn rnrrn rrnnnrrrrTCxCxxCxx+=，所以第一项的系数为：0
8、0 112nC =，第二项的系数为：11 122nnC =，第三项的系数为：222 128nnnC=，由于前三项的系数成等差数列，所以22128nnn=+，解得8n=，或1n=，因为至少有前三项，所以1n=（舍），故8n=，所以展开式有 9 项，中间一项为4541813528TCxx=12 分 19.（1）()2sin 46f xx=+；（2）,()2kkkZ;（3）5,26.【详解】（1）函数()sin()f xAx=+图象上相邻两个对称中心之间的距离为 4，设()f x 周期为 T，则 24T=，即2T=，因此，24T=，因()f x 在3x=处取到最小值2，则 43232k+=+，k Z
9、，而0，则6=，2A=，所以函数()f x 的解析式是()2sin 46f xx=+；4 分（2）由（1）知：将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）得到2sin 26yx=+，再将所得图象向左平移 6 个单位，到函数()2sin 22cos22g xxx=+=的图象，学科网（北京）股份有限公司由 222()kxkkZ 得：()2kxkkZ，所以函数()g x 的单调递增区间为,()2kkkZ；（3）由（2）知()2cos2g xx=，由于,6xm，则有2,23xm，8 分 因函数()g x 的值域为()2,1g x ，而16g =，22g =，显然()g x
10、在,6 2 上单调递减，则有2m，当,2x 时，2,2x，于是有()g x 在,2 上单调递增，又()max1g x=，则()2cos21g mm=，即1cos22m，从而得523m，解得56m，综上得：526m，所以 m 的取值范围为5,26.12 分 20.（）3B=；（）31 3,22+（）由2 sin3bAa=，结合正弦定理可得：2sinsin3sinBAA=，3sin2B=，ABC为锐角三角形，故3B=4 分（）结合（）的结论有：12coscoscoscoscos23ABCAA+=+1313111coscossinsincossin22222262AAAAAA=+=+=+.由2032
11、02AA 可得：62A，2363A+，8 分 学科网（北京）股份有限公司则3sin,162A+，131 3sin6222A+，.即coscoscosABC+的取值范围是31 3,22+12 分 21.（1）（i）56；（ii）分布列答案见解析，数学期望；125；（2）最小值为 23.【详解】（1）（i）记事件 A 为“甲答对了某道题”，事件 B 为“甲确实会做”，则111()225P A=+，1()2P AB=，所以()1()5211 1()622 5P ABP AP B A=+3 分（ii）随机变量 X 可取 0、1、2、3、4，甲答对某道题的概率为11 13()22 55P A=+=，则3
12、4,5XB，则4432()(0,1,2,3,4)55kkkP XkCk=，则随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 166259662521662521662581625则312()455E X=7 分（2）记事件iA 为“甲答对了 i 道题”，事件iB 为“乙答对了 i 道题”，其中甲答对某道题的概率为 111(1)222pp+=+，答错某道题的概率为111(1)(1)22pp+=，则()()1212111(1)(1)1222P ACppp=+=，()22211(1)(1)24P App=+=+，()201139P B=，()1122 143 39P BC=，9 所以甲答对题数
13、比乙多的概率为()()()()102120102120P A BA BA BP A BP A BP A B=+()()22221114111151(1)(1)31072949493636ppppp=+=+，学科网（北京）股份有限公司解得 213p，即甲的亲友团助力的概率 P 的最小值为 2312 分 22.【详解】（1）函数()f x 定义域为()0,+，()ln()f xaxx a=R，()1aaxfxxx=.当0a 时，()0fx时，()0fx=，解得 xa=，当()0,xa时，()0fx，函数()yfx=的单调递增区间为()0,a，当(),xa+时，()0fx时，函数()yfx=的单调递
14、增区间为()0,a，单调递减区间为(),a+；3 分（2）由（1）知，当0a 时，函数()yfx=在()0,+上单调递减，函数()yfx=至多有一个零点，不符合题意，当0a 时，函数()yfx=在()0,a 上单调递增，在(),a+上单调递减，()()maxlnf xf aaaa=,又函数()yfx=有两个零点，()ln(ln1)0f aaaaaa=，ea，又()110f=，()0ga，函数()g a 在()e,+上单调递减，()()maxe2e0g ag=为所求7 分（3）依题意，1x，2x（120 xx，121121lnlnlnlnxxtxaxxxt=+，1lnln1txt=，1111lnlnatxxt=，学科网（北京）股份有限公司不等式11211111111222121lnlnlnlnxxtxxtxxttxxxt ，所证不等式即2 lnln10tttt+，设()2 lnln1h ttttt=+，1()2ln21h ttt=+，221()0h ttt=+，()h t在()1,+上是增函数，且()()10h th=，所以()h t 在()1,+上是增函数，且()()10h th=，即 2 lnln10tttt+，从而所证不等式成立.12 分