1、绝密启用前宁夏六盘山高级中学 2020 届高三第三次模拟考试理科数学试卷命题教师：审题教师：注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题目要求的1已知集合13|3 xxA，0124|2xxxB，则BACR)()A、3,(B、)2,3C、),6()2,3D、),6()2,3(【解析】集合3|03|33|03xxxxxAx，3|xxACR，集合62|0)6)(2(|xxxxxxB或，),6()2,3)(BACR，故选 C。2在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是)1,2(A和)1,0(B，则21zz()A、i21B、i21C、i21D、i21【解析】iz 21，iz 2，故iiizz21221，故选 C。3如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩 y 关于测试序号 x 的函数图像，为了容
3、易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；二班成绩不够稳定，波动程度较大；三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升。其中正确结论的个数为()A、0B、1C、2D、3【解析】由图可知，一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好，故正确；二班的成绩有时高于年级整体成绩，有时低于年级整体成绩，特别是第六次成绩远低于年级整体成绩，可知二班成绩不够稳定，波动程度较大，故正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，只有第六次高于年级整体成绩，但在稳步提升，故正确。正确结论的个数为，故选 D。4孙子算经是中国古代重要的数学著
4、作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若记堤与枝的个数分别为,m n，现有一个等差数列 na，其前 n 项和为nS，且2am，6Sn，则4a （）A84B159C234D243【答案】B【解析】由题意得39,9mn,3269,9aS,则13196159adad，即166,75ad,所以4663 75159a ,故选：B5.已知抛物线2:(0)C yaxa的焦点 F 是双曲线223312yx 的一个焦点，则 a（）A2B4C 12D 14【解析】抛物线的方程为2(0)y ax a，即其标准方程为2()10 xy aa
5、，则其焦点坐标为 F1(0,)4a，又双曲线方程为223312yx，即其标准方程为2211233yx，则其焦点坐标为（0，1），由题意可得，114a，解得14a，故选：D6.设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2 coscoscoscBbAaB，则B=（）A 6B 3C 56D 23【解析】由正弦定理可得：2sinCcosBsinBcosAsinAcosB 2sinsinCcosBABsinC ，12cosB .因为),0(B，所以32B.故选：D7已知等边 ABC的边长为 2，若BEBC3，DCAD，则 AEBD()A、2B、310C、2D、310【解析】如图所示
6、，)()(BEABABADAEBD)3131()21(ABACABABAC)3231()21(ABACABAC，2432461326122ABAC，故选 A。8已知直三棱柱111CBAABC 中，120ABC，2AB，11 CCBC，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为()A、510B、515C、23D、33【答案】A【解析】如图所示，补成直四棱柱1111DCBAABCD，则所求角为DBC1，21 BC，360cos122122BD，511 ABDC，易得21221BCBDDC，51052cos111DCBCBDC，故选 A。9.若函数()sin()f xAx（其中0A，|)2 图象的
7、一个对称中心为(3，0)，其相邻一条对称轴方程为712x，该对称轴处所对应的函数值为 1，为了得到()cos2g xx的图象，则只要将()f x的图象()A向右平移 6 个单位长度B向左平移 12 个单位长度C向左平移 6 个单位长度D向右平移12 个单位长度【解析】根据已知函数 sinf xAx(其中0A，)2 的图象过点,03，7,112，可得1A，1 274123，解得：2 再根据五点法作图可得 2 3，可得：3，可得函数解析式为：sin 2.3fxx故把 sin 23fxx的图象向左平移12 个单位长度，可得sin 2cos236yxx的图象，故选 B10.已知 满足2sin()46，
8、则2tan12tan （）A 98B98C3D 3【解析】由2sin()46 可得22(sincos)26，即1sincos3，平方可得112sincos9，即8sin29，故222sin1tan1119cos2sin2tan2sin cossin28cos .故选：B11已知函数)(xf是定义在 R 上的偶函数，设函数)(xf的导函数为)(xf，若对任意的0 x都有0)()(2xfxxf恒成立，则()A、)3(9)2(4ffB、)3(9)2(4ffC、)2(3)3(2ffD、)2(2)3(3ff【解析】构造函数)()(2xfxxg，则)()(2)()(2)(2xfxxfxxfxxxfxg，又
9、)(xf为定义在 R 上的偶函数，则)(xg也为定义在 R 上的偶函数，当0 x时0)()(2xfxxf，则0)(xg，则)(xg在),0(上单调递增，则)2()2(gg，)3()3(gg，且)3()2(gg，则)3(3)2()2(22ff，即)3(9)2(4ff，选 A12已知)0,1(F为抛物线 P：pxy22(0p)的焦点，过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 P 交于 B、C 两点，过O 与 BC 中点 M 的直线与曲线 P 交于 N 点，则OBNOMCSS的取值范围是()A、)41,0(B、)21,0(C、)22,0(D、)23,0(【解析】由题意知12 p，则抛物线 P 的方
10、程为：xy42，设直线 l 的方程为：)1(xky，代入抛物线 P 的方程：xy42，整理得0)42(2222kxkxk，设),(11 yxB、),(22 yxC，则222142kkxx，22212)(21kkxxxM，kxkyMM2)1(，222 kkkOM，直线OM：xkky222，代入xy42 解得222)2(kkxN，M 为 BC 中点，OMCOMBSS，21|2 kxxONOMSSSSNMOBNOMBOBNOMC，02 k，)21,0(212k，即OBNOMCSS的取值范围是)21,0(，故选 B。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知函数2log()(
11、0)()31(0)xx xf xx，且 10f af，则实数 a 的值等于_.【解析】当0a 时，因为 10f af，所以2log3 10a ，即2log2a ，得到14a ；当0a 时，因为 10f af，所以3120a ，即31a ，方程无解.综上所述，14a .故答案为:1414.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全.某马拉松赛事报名网站的登录验证码由 0，1，2，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为_【答案】415.【解析】由 0，1，2，9 中的任取四
12、个数字，共有410C 种，验证码的首位数字是1时，只能从 2，3，9 中任取 3 个，即有38C 种，所求概率38410415CPC.故答案为：41515如图所示，半径为4 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是。【答案】32【解析】设OOA，半径rAOcos4，sin4OO；2sin32cossin64sin42cos4222OOrS圆柱侧，当12sin，即45时，圆柱的侧面积取得最大值32，此时64164球S，32圆柱侧球SS。16已知函数axexxfx2)1()(，若0)(xf有且仅有一个整数根，则实数a 的取值范围为_.【解析】axexxfx2)
13、1()(，2)2()(xexxf，当2x时，02)2(xex，0)(xf；当02x时，22)2(0 eexx，0)(xf；当0 x时，02)2(xex，0)(xf；当0 x时，22)2(0 eexx，0)(xf；综上：当0 x时0)(xf，)(xf在)0,(上递减；当0 x时0)(xf，)(xf在),0(上递增；当0 x时0)(xf，)(xf取极小值也就是最小值为afxf1)0()(min，由0)(xf有且仅有一个整数根，故02)1(022)1(01)0(afaefaf，解得2221aeaa，故a 的取值范围为2,1(三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 172
14、1 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分.17.已知正项数列 na的前 n 项和为nS，若数列13logna是公差为 1 的等差数列，且22a 是13,a a的等差中项.（1）证明数列 na是等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）若nT 是数列1na的前 n 项和，若nTM恒成立，求实数 M 的取值范围.【解析】（1）因为数列13logna是公差为 1 的等差数列，所以11133loglog1nnaa ，故113log1nnaa ，所以13nnaa；所以数列 na是公比为 3 的等比数列，因为22a 是13,a a 的等差中
15、项，所以 21322aaa，所以 1112 329aaa，解得11a；数列 na的通项公式为13 nna；（2）由（1）可知1113nna，故数列1na是以 1 为首项，13为公比的等比数列，1123111111133nnnTaaaa 1131331123213nn，因为nTM恒成立，所以32M，即实数 M 的取值范围为 3,2.18.某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种
16、参与.（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为，求 的分布列及期望.【解析】（1）由题意可知，甲、乙同时参加围棋比赛的概率132411124CpC.（2）由题意可知，选择“中国象棋”比赛的人数 的可能取值为 1，2，3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为1324112CC；111111224P 1211121222PC1113224P 的分布列为：123P141214故所求期望 1111232424E .19（本小题满分 12 分）三棱柱111CBAABC 中，90ACB，21 CCBCAC，CBBA11。(1)证明：111CCCA；(2)若3
17、21BA，在棱1CC 上是否存在点 E，使得二面角CABE1的大小为30。若存在，求CE的长；若不存在，说明理由。【解析】(1)证明：连接1BC，11BBCC为平行四边形，且21 CCBC，11BBCC为菱形，CBBC11，2 分又CBBA11，CB1平面BCA11，111CACB，又1111BCCA，11CA平面11BBCC，111CCCA。4 分(2)解：321BA，211CA，221 BC，BCCC 1，CA、CB、1CC 两两垂直，以C 为坐标原点，CA、CB、1CC 的方向为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyzC，5 分则)0,0,0(C、)0,0,2(A、)2,2,0(
18、1B、)2,0,0(1C、)0,2,0(B，设),0,0(aE，则),0,2(aAE，)2,2,2(1AB，)2,2,0(1BC，易知，1BC平面CAB1，则平面CAB1的一个法向量)1,1,0(m，7 分设)1,(yxn 是平面EAB1的一个法向量，则001ABnAEn，022202yxax，得)1,12,2(aan，9 分231)12()2(2|22|,cos|22aaanmnmnm，解得1a，在棱1CC 上存在点 E，当1CE时，得二面角CABE1的大小为30。12 分20（本小题满分 12 分）设椭圆13222 yax(3a)的右焦点为 F，右顶点为 A，已知|3|1|1FAeOAOF
19、，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率。(1)求椭圆的方程；(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点H，若HFBF，且MAOMOA，求直线的 l 斜率的取值范围。【解析】(1)设)0,(cF，由|3|1|1FAeOAOF得)(311caaeac，则2223cca，2 分又3222bca，12 c，42 a，椭圆的方程为13422 yx。4 分(2)由题意可知直线 l 存在斜率，设直线 l 的方程为)2(xky，设),(BB yxB，联立)2(13422xkyyx可得0121616)34(2222kxkxk，5 分
20、解得2x或346822kkxB，从而34122 kkyB，6 分由(1)知，)0,1(F，设),0(HyH，有),1(HyFH，)3412,3449(222kkkkBF，由HFBF 得0 HFBF，034123449222kkykkH，解得kkyH12492，8 分因此直线 MH 的方程kkxky124912，设),(MM yxM，则)2(124912xkykkxky消去 y 解得)1(1292022kkxM，10 分在 MAO中，MAOMOA|MOMA，即2222)2(MMMMyxyx，化简得1Mx，即1)1(1292022kk，解得46k或46k，直线 l 的斜率的取值范围为),4646,
21、(。12 分21（本小题满分 12 分）已知函数xaxaxxfln)12()22(21)(2。(1)若曲线)(xfy 在点)2(,2(f处的切线的斜率小于0，求)(xf的单调区间；(2)对任意的25,23a，2,121xx、(21xx)，恒有|11|)()(|2121xxxfxf，求正数 的取值范围。【解析】(1)函数)(xf的定义域为),0(，则xaxxxaaxxf)12)(1(12)22()(，0 x，2 分由题意可得0221)2(af，可得21a，1212a，由0)(xf，可得12 ax或10 x；0)(xf，可得121ax。即有)(xf的增区间为)1,0(，),12(a；减区间为)12
22、,1(a；4 分(2)由25,23a，可得6,412a，由(1)可得)(xf在2,1递减。设2121xx，即有)()(21xfxf，2111xx，原不等式即为22111)(1)(xxfxxf，对任意的25,23a，2,121xx、恒成立，6 分令xxfxg)()(，即有)()(21xgxg，即为)(xg在2,1递增，即有0)(xg对任意的25,23a，2,121xx、恒成立，即012)22(2 xxaax，即为0)12()22(23xaxax，8 分则02)22(232xxxaxx，25,23a，由2,1x，可得0222 xx，只需02)22(25232xxxxx。10 分即06723xxx对
23、于2,1x恒成立，令xxxxh67)(23，06143)(2xxxh在21 x恒成立，则有)(xh在2,1递减，可得)2(h取得最小值，且为08，解得8。即有正数 的取值范围是),8 。12 分（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，过点)1,3(P的直线 l 的参数方程为tytxsin1cos3(t 为参数，为 l 的倾斜角，2)。以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。曲线1C：cos2，曲线2C：cos4。(1)若直线 l 与曲线1C 有且
24、仅有一个公共点，求直线 l 的极坐标方程；(2)若直线 l 与曲线1C 交于不同两点C、D，与2C 交于不同两点 A、B，这四点从左至右依次为 B、D、C、A，求|BDAC 的取值范围。【解析】(1)曲线1C：cos2，即cos22，把222yx、cosx，代入可得1C 的直角坐标方程为：1)1(22yx，圆心为)0,1(，半径为1，直线 l 的参数方程为tytxsin1cos3(t 为参数，为 l 的倾斜角)，化为普通方程为：)3(tan1xy，2 分直线 l 与1C 相切，则1tan1|1tan2|2，解得0tan或34tan，直线 l 的普通方程为：1y或0934yx，直线 l 的极坐标
25、方程为：1sin或09sin3cos4，4 分(2)直线 l 与曲线1C 交于不同两点C、D，由可知34tan0，令两点C、D 对应参数分别为 1t、2t，联立 l 与1C 得：1)sin1()cos2(22tt，即04)sin2cos4(2tt，)sin2cos4(21 tt，6 分又2C 的直角坐标方程为：4)2(22yx，令两点 A、B 对应参数分别为3t、4t，联立 l 与2C 得：4)sin1()cos1(22tt，即02)sin2cos2(2tt，)sin2cos2(43 tt，8 分而cos2)()()()(|21434213ttttttttBDAC，|BDAC 的取值范围是)2
26、,56(。10 分23.已知函数()|f xxaxbc（1）若1,2,3abc，求不等式8()10f x的解集；（2）当0,0,0.abc时，若()f x 的最小值为 2，求 111abc的最小值.【解析】（1）根据题意，22,2()1236,1242,1xxf xxxxx x ，因为8()10f x所以210228xx或110428xx，解得34x或 32x ，所以解集为(3,2)(3,4).（2）因为()f xxaxbc()()xaxbcabc，当且仅当 axb 时，等号成立，又0,0ab，所以 abab，所以()f x 的最小值为abc，所以2abc.所以 1111111119()()(3)(3222)2222baaccbabcabcabcabcabc.